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第七讲 线性代数方程组的解法（上）. 第七讲主要知识点. 直接方法（高斯简单消去法 、选主 元消去法 、高斯 — 约当消去法 、三角分解法 ）. 引 言. 求解线性方程组的另一类重要方法是直接法。直接法利用一系列递推公式计算有限步能直接得到方程组的精确解。当然，实际计算结果仍有误差，譬如舍入误差。舍入误差的积累有时甚至会严重影响解的精度。 求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法。这是一个众所周知的古老方法，但用在现代电子计算机上仍然十分有效。. 约当消去法.
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第七讲主要知识点 直接方法（高斯简单消去法 、选主 元消去法 、高斯—约当消去法 、三角分解法 ）
引 言 求解线性方程组的另一类重要方法是直接法。直接法利用一系列递推公式计算有限步能直接得到方程组的精确解。当然，实际计算结果仍有误差，譬如舍入误差。舍入误差的积累有时甚至会严重影响解的精度。 求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法。这是一个众所周知的古老方法，但用在现代电子计算机上仍然十分有效。
约当消去法 消去法的基本思想是，通过将一个方程乘或除以某个常数，以及将两个方程相加减这两种手续，逐步减少方程中的变元的数目，最终使每个方程仅含一个变元，从而得出所求的解。 所谓约当消去法 ，其特点是，它的每一步仅在一个方程中保留某个变元，而从其它的各个方程中消去该变元，这样经过反复消元后，所给方程组中的每个方程最终被加工成仅含一个变元的形式，从而得出所求的解。
高斯消去法 高斯消去法是约当消去法的一种改进。 高斯消去法的求解过程分为消元过程和回代过程两个环节。消元过程将所给的方程组加工成上三角方程组。所归结的方程成组再通过回代过程得出它的解。 高斯消去法由于添加了回代的过程，算法结构稍复杂，但这种算法的改进明显减少了计算量。
选主元素 • 我们在高斯消去法的消元过程中检查方程组中变元 的各系数，从中挑选出最大者，称之为第 步的主元素。 • 设主元素在第 个方程，即 • 若 不等于 ，则我们先将第 个方程与第 个互易位置，使新的 成为主元素，这一手续称为选主元素。
解线性方程组的直接方法（续2） 解线性方程组的两类方法： 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确 解的方法(不计舍入误差!) 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一 个无穷序列去逼近精确解的方法。 （一般有限步内得不到精确解）
一、Gauss 消去法计算过程 相当于第i个方程-第一个方程×数→新的第i方程—同解！第一方程不动！
Gauss 消去法计算过程 上述消元过程除第一个方程不变以外,第2—第 n 个方程全消去了变量 1，而系数和常数项全得到新值：
Gauss 消去法计算过程（续5） 系数矩阵与常数项：
二、Gauss消去法乘法计算量 消去第一列的 n-1 个系数要计算 n*(n-1）个乘法。
三、Gauss消去法的矩阵表示 每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
LU 分解 设A为n阶方阵，若A的顺序主子式Ai均不为零，则矩阵存在唯一的LU(Doolittle 杜利特尔）分解。
一般计算公式 计算量与 Gauss 消去法同.
