گرافها و زیرگرافها

1. گرافها و زیرگرافها

2. گشت در G، دنباله ناتهی W=υ0e1υ1e2υ2…ekυkاست، که جمله های آن متناوبا راسها و یالها هستند به قسمی که برای 1 ≤ i ≤ k دو انتهای ei، vi-1 و vi هستند. میگوییم W گشتی از v0 به vk یا گشت (v0,vk) است. راسهای v0 و vk را به ترتیب مبدا و انتهای W و v1,v2…,vk-1 راسهای داخلی اش مینامند. عدد صحیح k طول W است. گشت : uavfyfvgyhwbv

3. اگر W=v0e1v1…ekvkو W'=vkek+1vk+1…elvlگشت باشند ، گشت v0e1v1…elvlرا که از پیوند WوW' در vk به دست می آید، به وسیله WW' نشان می دهند. گشت vkekvk1-1…e1v0را که از وارون کردن ترتیب Wبه دست می آید باW-1نمایش می دهند. در گراف ساده، گشت v0e1v1…ekvk به وسیله دنباله v0v1…vk متشکل از راسهایش تعیین میشود. از این رو گشت را در گراف ساده میتوان صرفا به وسیله دنباله راسهایش مشخص کرد. گشت : uavfyfvgyhwbv

4. اگر یالهای ek,…e2,e1 گشت W مجزا باشند، W را گذر مینامند. در این حالت طول W درست برابر ε(W) است. اگر علاوه بر این راسهای v0,v1,..,vk مجزا باشند، W را مسیر مینامند. گشت : uavfyfvgyhwbv گذر : wcxdyhwbvgy مسیر: xcwhyeuav

5. دو راس u و vی G را همبند خوانند اگر مسیر (u,v) در G موجود باشد. همبندی، یک رابطه هم ارزی در مجموعه راسهای V است. بنابراین افرازی از V به زیرمجموعه های ناتهی V1،V2،...،Vw وجود دارد به طوری که دو راس u وv همبندند اگر و تنها اگر u و v هر دو متعلق به یک مجموعه Vi باشند. زیرگرافهای G[V1]، G[V2]و...G[Vw] را مولفه های Gمینامند. اگر G دقیقا دارای یک مولفه باشد، G همبند است. در غیر اینصورت G ناهمبند است. تعداد مولفه های G را با ω(G) نشان میدهیم.

6. تمرین: 1- نشان دهید که اگر eE آنگاه (G)≤(G-e) ≤(G)+1 فرض کنید vV نشان دهید که در نابرابری بالا G-v را نمی توان در حالت کلی به جای G-e قرار داد.

7. e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 1 1 0 0 1 0 1 v2 1 1 1 0 0 0 0 M(G) v3 0 0 1 1 0 0 1 v4 0 0 0 1 1 2 0 v1 v2 v3 v4 v1 0 2 1 1 v2 2 0 1 0 A(G) v3 1 1 0 1 v4 1 0 1 1

8. تمرین • فرض کنید M ماتریس وقوع و A ماتریس مجاورت گراف G باشند: • نشان دهید که هر مجموع ستونی M برابر 2 است. • مجموعهای ستونی A چقدرند؟ • فرض کنید G دوبخشی باشد. نشان دهید که راسهای G را میتوان به قسمی شماره گذاری کرد که ماتریس مجاورتG به صورت  0 A12 A21 0 باشد. A21 ترانهاده A12 است.

9. گراف H زیرگراف G (بنویسید H زیر مجموعه G) است اگر V(H) زیرمجموعه V(G) و E(H) زیرمجموعه ای از E(G) بوده و ψH تحدید ψG به E(H) باشد. • وقتی که H زیرمجموعه G است و G≠H در این حالت H را زیرگراف سره G می نامیم. • اگر H زیرگراف G باشد، G زبر گراف Hاست. • زیرگراف فراگیر (یا زبر گراف فراگیر) G زیرگراف (یا زبرگراف) H با V(H)=V(G) است.

10. با حذف همه طوقه ها از G، و برای هر جفت راس مجاور، با حذف همه پیوندها بجز یک پیوند که آنها را به هم وصل میکند، زیرگراف ساده G را به دست می آوریم که آن را گراف ساده زمینه G نامیده اند.

11. فرض کنید که V' زیرمجموعه ناتهی V باشد. زیرگراف G را که مجموعه راسهایش V' است، و مجموعه یالهایش مجموعه ای از آن یالهای G است که هر دو انتهایشان در V' است، یزرگراف G، القا شده به وسیله V' مینامند و به وسیله G[V'] نشان میدهند: میگوییم که G[V'] یک زیر گراف القایی G است. یزر گراف القایی G[V\V'] را که به صورت G-V' نمایش میدهند، زیرگرافی از G است که با حذف راسهای V' همراه با یالهایی که راسهای V' بر آنها واقعند، به دست می آید. اگر V'={v} به جای G-{v} مینویسیم G-v.

12. گراف G و زیر گراف فراگیر G و گراف G-{u,w}

13. فرض کنید که E' زیرمجموعه ناتهی E است. زیرگراف G را که مجموعه راسهایش مجموعه ای از دو انتهای یالها در E' و مجموعه یالهایش E' است، زیرگراف Gی القایی به وسیله E' مینامند و آن را با G[E'] نمایش میدهند: G[E'] زیرگراف یال – القایی G است. زیرگراف فراگیر با مجموعه یالی E\E' را به صورت ساده G-E' مینویسند. این زیرگرافی از G است که به وسیله حذف یالهای E' به دست می آید. همچنین گرافی از G را که به وسیله اضافه کردن مجموعه یالهای E' به دست می آید با G+E' نمایش میدهند. اگر E'=e به جای G-{e} و G+{e} مینویسیم G-e و G+e

14. گراف G و گراف G-{a,b,f} و زیرگراف یال القایی G[{a,c,e,g}]

15. فرض کنید G1 و G2 زیرگرافهای G باشند. میگوییم که G1 و G2 مجزا هستند اگر هیچ راس مشترکی نداشته باشند. و مجزا یالند اگر هیچ یال مشترکی نداشته باشند. اجنماع G1 و G2 زیرگرافی با مجموعه راسهای V(G1) اجتماع V(G2) و مجموعه یالهای E(G1) اجتماع E(G2) است. اگر G1 و G2 مجزا باشند، غالبا اجتماع آنها را به صورت G1+G2 نماشی میدهیم.

16. تمرین • نشان دهید که (الف) هر زیرگراف القایی گراف کامل، گرافی کامل است. (ب) هر زیرگراف یک گراف دوبخشی، دوبخشی است.