1 / 36

Magični kvadrati i srodna im bića

Magični kvadrati i srodna im bića. Franka Miriam Brueckler 4. svibnja 2011. (Nastavna sekcija HMD-a). Što je zajedničko starim Kinezima, Majama, Babiloncima, špiljskim ljudima, Indijcima, Arapima i plemenu Hausa?. pogađate: magični kvadrati

wesley
Download Presentation

Magični kvadrati i srodna im bića

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Magični kvadrati i srodna im bića Franka Miriam Brueckler 4. svibnja 2011. (Nastavna sekcija HMD-a)

  2. Što je zajedničko starim Kinezima, Majama, Babiloncima, špiljskim ljudima, Indijcima, Arapima i plemenu Hausa? • pogađate: magični kvadrati • legenda o kineskom caru Yu-u oko 2200. g. pr. Kr. – kornjača Lo Shu iz rijeke Lo (Žute rijeke) • povijesno pouzdano: poznati od otprilike 4. st. pr. Kr. • u Europi od ca. 1300. A.D. (Emanuel Moschopolous) • renesansa: Luca Pacioli, Cornelius Agrippa, Albrecht Dürer http://pballew.net/magsquar.html

  3. Još neki poznati povijesni kvadrati • templarski kvadrat (Pompeji) • arapski srednji vijek • Benjamin Franklin, ca. 1770.

  4. Definicije • magični kvadrat je kvadratna tablica koja pokazuje određene pravilnosti obzirom na u njoj raspoređene brojeve ili druge objekte • tradicionalni magični kvadrat: prirodni brojevi od 1 do n2, zbrojevi stupaca, redaka i dvije glavne dijagonale su jednaki • kvadratna matrica A sa svojstvom • za sve j, k od 1 do n • iznos Mn se zove magičnom sumom ili magičnom konstantom • komplementarni magični kvadrat: • (n2 + 1)E − A, gdje je E =[1]n×n

  5. A sad malo Vi! • Rasporedite prirodne brojeve od 1 do 16 na stražnje strane post-it ceduljica i zalijepite ih na foliju tako da dobijete obostrani magični kvadrat (u oba kvadrata treba dodatno i svaki 2×2 kvadrat imati magičnu sumu) http://nrich.maths.org/public/

  6. O magičnoj sumi • za tradicionalni magični kvadrat iznosi • dokaz: zbroj svih brojeva u kvadratu je 1 + 2 + ... + n2 = n(n2 + 1)/2, što mora biti jednako nMn • iznosi su redom 1, *, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, …. • analogno, ako se magični kvadrat sastoji od brojeva koji čine aritmetički niz s početnim članom a i razlikom d, magična suma iznosi (Hunter&Madachy, 1975.)

  7. Koliko ih je? • poistovjećujemo magične kvadrate koji se jedan iz drugog mogu konstruirati zrcaljenjem ili rotacijom • Nije poznata opća ovisnost broja različitih magičnih kvadrata o redu kvadrata • Reda 1 i 3 su jedinstveni i to je odavno poznato; reda 4 ih ima 880 (de Bessy, 1693.), reda 5 ih ima 275 305 224 (Schroeppel, 1973.); reda 6 ih ima reda veličine 1019 (Pinn &Wieczerkowski,1998., Monte Carlo simulacije i metode statističke mehanike) ~

  8. Neke posebne vrste • Polumagični: jedan ili oba zbroja dijagonala nisu jednaki zbrojevima redaka i stupaca • Povezani: zbrojevi centralno simetričnih polja jednaki n2 + 1 (npr. LoShu) • Panmagični (pandijagonalni, vražji, Nasik): sve (uključivo i prelomljene) dijagonale imaju magičnu sumu – ne postoje reda 3 ni reda 4k + 2 • Polu-Nasik: nasuprotne kratke dijagonale imaju magičnu sumu (14 + 4 + 11 + 5 = 34, 12 + 6 + 13 + 3 = 34)

  9. panmagične kvadrate se može rasporediti u beskonačnu mrežu (popločamo ravninu s njima) i svaki podkvadrat veličine osnovnog bit će panmagičan • od 880 magičnih kvadrata reda 4, njih 448 su obični, tj. zadovoljavaju samo temeljna svojstva magičnosti, njih 48 su panmagični, a njih 384 su polu-Nasik (uključivo povezanih)

  10. Još neke podvrste • najsavršeniji: panmagični i svaki 2×2-podkvadrat ima isti zbroj (2n2 − 2) – svi panmagični reda 4 su takvi • antimagični: svi retci, stupci i dijagonale različitih suma i sume čine niz uzastopnih prirodnih brojeva • magični kvadrati temeljeni na oduzimanju, množenju ili dijeljenju

  11. Zadaci za početnike... može i s kartama!

  12. Puno tog se može istraživati o njima • koliko iznosi magična konstanta ovog kvadrata? • ovaj je kvadrat posebno magičan jer i neki 2 × 2podkvadrati imaju isti zbroj – koliko takvih možeš naći? • kako pribrajanje broja 2 svim brojevima mijenja magičnu konstantu? udvostručavanje? • možeš li naći 4 × 4 magični kvadrat s magičnom konstantom 17? kako si to uspio/la? a s magičnom konstantom 38? • koje druge magične konstante do 100 možeš dobiti tako da kreneš od ovog kvadrata i sve brojeve promijeniš po istom pravilu? mogu li se neke postići na više načina? ima li nekih koje se ne mogu dobiti?

  13. I još par zanimljivih... 1111 0100 0010 1000 1001 0001 0011 0101 1010 1100 1110 0110 0111 1101 1011 0000 • binarni Dürerov kvadrat • apokaliptični kvadrat

  14. Generiranje magičnih kvadrata • Nema poznatog sustavnog postupka za generiranje svih magičnih kvadrata proizvoljnog reda • Postoje razni poznati algoritmi za generiranje pojedinih magičnih kvadrata • Najlakše je generirati magične kvadrate neparnog reda • Nešto teže one parnog reda djeljivog s 4 • Najteže je konstruirati magične kvadrate parnog reda nedjeljivog s 4 – za njih su poznate samo metode koje se dijelom temelje na pokušaju i pogrešci, npr. Strachey-eva metoda

  15. De la Loubère-ova metoda 18 25 2 9 17 24 15 17 8 16 23 5 7 14 23 4 13 4 6 20 22 10 12 19 21 3 10 11 9 18 25 2 neke druge poznate metode za generiranje magičnih kvadrata neparnog reda: Bachet-ova, de la Hire-ova, stepeničasta, Fults-ova, rompska, metoda konjićeva skoka ...

  16. Dürer-ova metoda • neke druge metode za generiranje magičnih kvadrata reda 4k: de la Hire-ova, dijagonalna, ... 15 2 14 3 4 12 5 6 7 9 8 9 8 10 11 12 5 13 14 3 15 2 16

  17. Dopuni do magičnog kvadrata! http://www.web-books.com/Classics/Books/B0/B873/Contents.htm

  18. 8 veselih zatvorenika • ni u kojem trenu u jednoj ćeliji ne smiju biti dva zatvorenika • veseli monarh im je za Badnjak obećao posebno dobru hranu ako se, pridržavajući se tog načela, mogu rasporediti tako da im brojevi čine magični kvadrat • broj 7 je bio matematički nadaren pa je osmislio metodu kojom će to postići s ukupno najmanje hodanja • no, jedan tvrdoglavac je odbio sudjelovati i maknuti se iz ćelije • broj 7 je svejedno uspio rasporediti sviju u magični kvadrat s minimalnim šetanjem – kako? koji broj nosi tvrdoglavi zatvorenik? 4, 1, 2, 4, 1, 6, 7, 1, 5, 8, 1, 5, 6, 7, 5, 6, 4, 2, 7

  19. Španjolska tamnica • utvrda blizu Cadiza imala je posebno neugodnu tamnicu od 16 ćelija • guverner je bio veselo biće i volio je logičke zadatke te je otišao i rekao zatvorenicima da će ih osloboditi ako riješe zadatak: • “Rasporedite se u 16 ćelija tako da vaši brojevi čin magični kvadrat. No, pritom ni u jednom trenu ne smiju biti dvojica istovremeno u jednoj ćeliji.” 15, 14, 10, 6, 7, 3, 2, 7, 6, 11, 3, 2, 7, 6, 11, 10, 14, 3, 2, 11, 10, 9, 5, 1, 6, 10, 9, 5, 1, 6, 10, 9, 5, 2, 12, 15, 3

  20. Prosti magični kvadrati • Trgovac voćem ima 9 košara sa šljivama, kao na slici, u svakoj košari je drugi broj šljiva.Kad ih je rasporedio kao na slici, ti su brojevi činili magični kvadrat. Trgovac je jednom od svojih zaposlenika rekao da sadržaj jedne, bilo koje, košare rasporedi među nekom djecom, tako da svako dijete dobije jednako mnogo šljiva. Zaposlenik je utvrdio da je to nemoguće, neovisno o tome koliko je djece prisutno. Kako je to moguće? Može i aritmetički niz!

  21. Idemo se igrati na domine... • standardnih 28 domina se mogu rasporediti u 7 × 4 magični pravokutnik u kojem je u svakom stupcu broj točkica 24, a u svakom retku 42 • s 25 domina koje ostanu kad maknemo (0-5), (0-6) i (1-6) može se složiti magični kvadrat s magičnom sumom 30, i to na mnogo različitih načina • koja je najmanja/najveća moguća magična suma s 18 pločica raspoređenih u 6 × 3 pravokutnik? može li se postići magična suma 18?

  22. Geomagični kvadrati • temeljna ideja: • brojevi  • duljine dužina/površine/volumeni • retci, stupci, dijagonale  • rastav na dužine/popločavanje http://www.geomagicsquares.com/

  23. Simetrije magičnih kvadrata Franklinov kvadrat

  24. Mogu li se 6 magičnih kvadrata tipa 4×4 rasporediti na strane kocke tako da su redovi koji se po bridovima dodiruju jednaki?

  25. Magične kocke • Magična suma n(n3+1)/2 • Izuzetak od magične sume su dijagonale slojeva • ako još i to: savršene magične kocke – ne postoje reda 2,3,4; reda 7 i 9 poznate od kraja 19. stoljeća, a 2003. su Boyer i Trump našli savršene magične kocke redova 5 i 6 http://home.earthlink.net/~dwanecampbel/index.html http://www.trump.de/magic-squares/magic-cubes/cubes-1.html

  26. Ne postoji savršena magična kocka reda 3 • pretpostavimo suprotno • odaberimo neki njen sloj • magična suma je 42, dakle • C + X + D = A + X+ F = B + X + E = 42 • zbrojimo  3X + A + B + C + D + E + F = 126 • A + B + C = D + E + F = 42 • zbrojimo  A + B + C + D + E + F = 84 • stoga je 3X = 42, tj. X = 14 bi trebao biti u sredini svakog sloja

  27. Generiranje magičnih kocaka neparnog reda • dijagonalna metoda 21 5 16 17 19 6 13 27 2 4 18 20 3 14 25 8 10 24 26 1 15 22 9 11 12 23 7

  28. Latinski kvadrati • n različitih objekata, po n kopija svakog, raspoređenih u kvadratnu tablicu tako da se svaki pojavljuje točno po jednom u svakom stupcu i retku • reda 2 ih ima 2, reda 3 ih ima 12, reda 4 ih ima 576, ... • grčko-latinski (Eulerovi, ortogonalni latinski) kvadrati: još n različitih objekata s po n kopija svakog, u svakom polju po jedan objekt prve vrste i jedan druge, raspoređeni tako da objekti prve vrste čine latinski kvadrat, a tako i objekti druge vrste • Zadatak: složite Eulerov 4×4 kvadrat od karata A, B, D, K u četiri boje!

  29. problem 8 topova • problem 8 kraljica • Problem s 36 oficira (1779. Leonhard Euler): • U šest brigada služi po šest oficira različitog ranga. Mogu li se oni rasporediti u kvadratnu formaciju tako da u svakom retku i stupcu bude po jedan oficir iz svake brigade i po jedan svakog ranga?

  30. Razreži trake u što manje dijelova, tako da se dobije magični kvadrat • Zabranjeno je izokretanje, tj. svi dijelovi moraju ležati u polaznoj orijentaciji http://www.mathfair.com/sudokutype.html

  31. Sudoku • vrsta latinskih kvadrata • standardnih ima • 6,670,903,752,021,072,936,960 = • 9! × 722 × 27 × 27,704,267,971 • (Felgenhauer&Jarvis,2005.) http://www.geometer.org/mathcircles/sudoku.pdf

  32. Magično V i W Magično V: složi brojeve 1 do 5 u njega tako da oba kraka imaju isti zbroj! Koliko ima različitih mogućnosti? Primjećuješ li kakvu pravilnost u rješenjima koje si našao/la? Možeš li objasniti što vidiš? Možeš li me uvjeriti da si našao/la sva rješenja? Što ako uzmeš brojeve 2 do 6? 12 do 16? 37 do 41? 103 do 107? Što ako bi kraci bili za jedan dulji i koristimo brojeve 1 do 7? • 1, 2, ...,9, raspoređeni tako da dijelovi a-b-c, c-d-e, e-f-g i g-h-i imaju jednak zbroj • Koji su magični zbrojevi mogući? • Ako u danom magičnom W svaki broj zamijenimo s 10 minus taj broj, ponovno ćemo dobiti magično W. Koji mu je magični zbroj? • Dokaži da ne postoji magično W s magičnim zbrojem manjim od 13 niti s većim od 17.

  33. Magični fleksagoni http://www.flexagon.net/

  34. Magično svašta http://www.recmath.com/Magic Squares/ http://www.mathematische-basteleien.de/magquadrat.htm

  35. I gdje je tome kraj? • u višim dimenzijama! • magična hiperkocka – konstruirana 1982. (Berlekamp) • magična suma je n(n4 + 1)/2 • najmanja savršena magična hiperkocka je reda 16 (Hendricks, 1999.) • poznate su n-dimenzionalne magične hiperkocke reda 3 za n = 5, 6, 7, 8

  36. It’s a kind of magic... • http://www.youtube.com/watch?v=KLFZzInXAWI Clifford A. Pickover: TheZenofMagicSquares, Circles, andStars(PrincetonUniv. Press, 2002.) Royal Vale Heath: Mathemagic(DoverPubl., 1933./53.) Henry Ernest Dudeney: AmusementsinMathematics(DoverPubl., 1958.)

More Related