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1. 第二篇 运动学 Theoretical Mechanics 第七章 点的运动 主讲教师 黄 璟 返回总目录

2. 第七章 点的运动 目 录 引 言 § 7-1　点的运动的矢径法 § 7-2　点的运动的直角坐标法 § 7-3　点的运动的自然法

3. 第二篇 运动学 引 言 一、运动学的研究任务 （1）研究物体的机械运动及运动的几何性质 （2）研究机构传动规律 二、学习运动学的目的 1 学习动力学的基础 受力分析和运动分析是学习动力学的两大基础。 2 学习机械原理和设计传动机构的基础 3 解决工程问题 三、研究方法 不考虑引起运动的原因，只研究运动的几何性质。

4. 第二篇 运动学 引 言 四、研究对象 将实际物体抽象化为两种力学模型：几何学意义上的点（或动点）和刚体。 点：无质量、无大小、在空间占有其位置的几何点； 刚体：点的集合，而且其任意两点的距离保持不变。 例如，在研究地球绕太阳运行的规律时，可以将地球抽象化为一个动点；而在研究地球上的河岸冲刷、季候风的成因时，则要将地球抽象化为一个刚体。 物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。 时间概念要明确：瞬时和时间间隔。

5. 7.1 点的运动的矢径法 7.1.1 点的运动概述 本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。 点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。 表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。 本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。

6. z M M´ r M r´ r y x 7.1 点的运动的矢径法 7.1.2 运动方程 运动方程 运动方程 用点在任意瞬时t的位置矢量r(t)表示。r(t)简称为矢径。 动点M在空间运动时，矢径r的末端将描绘出一条连续曲线，称为矢径端图，它就是动点运动的轨迹。 r = r (t)

7. 7.1 点的运动的矢径法 7.1.3 速 度 t瞬时: 矢径 r(t) 速 度 t＋t 瞬时: 矢径r (t＋ t )或r  t 时间间隔内矢径的改变量 r(t)＝ r (t ＋t )－ r(t) 点在 t瞬时的速度 动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。

8. 7.1 点的运动的矢径法 7.1.3 速 度 速 度—— 描述点在 t 瞬时运动快慢和运 动方向的力学量。速度的方向沿着运动 轨迹的切线；指向与点的运动方向一致； 速度大小等于矢量的模。

9.  t 时间间隔内速度的改变量 v(t)＝ v (t ＋t )－ v(t) 7.1 点的运动的矢径法 7.1.4 加 速 度 加 速 度 t瞬时: 速度v(t) t＋t 瞬时:速度v(t ＋t ) 或v 点在 t瞬时的加速度：

10. 7.1 点的运动的矢径法 7.1.4 加 速 度 动点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数或矢径对时间的二阶导数。 加速度—— 描述点在 t 瞬时速度 大小和方向变化率的力学量。 加速度的方向为 v 的 极限方向， 指向轨迹曲线的凹向；或为速度端 图的切线方向。 加速度大小等于矢量 a 的模。

11. 7.2 点的运动的直角坐标法 7.2.1 运动方程 运动方程 在直角坐标系中，点在空间的位置由3个方程确定： x = f1(t) y = f2(t) z = f3(t) 矢径r与x,y,z的关系 r＝xi＋yj＋zk 由运动方程消去时间t可得到点的轨迹方程

12. 矢径 (Oxyz)为定参考系 7.2 点的运动的直角坐标法 7.2.2 速 度 速 度 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。 结论

13. 大小 方向由方向余弦确定 7.2 点的运动的直角坐标法 7.2.2 速 度 已知速度的投影求速度

14. 7.2 点的运动的直角坐标法 7.2.2 加 速 度 加速度 点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。 结论

15. 方向余弦 加速度大小 7.2 点的运动的直角坐标法 7.2.2 加 速 度 已知加速度的投影求加速度

16. 例5-1 杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知 （ 为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。 即 7.2 点的运动的直角坐标法 例 题 解：建立如图所示的直角坐标。则 即为小环M的运动方程。

17. 故M点的速度大小为 其方向余弦为 如图。 故M点的加速度大小为 且有 加速度的方向如图。 7.2 点的运动的直角坐标法 例 题

18. 例5-2 半径为 ( R 的轮子沿直线轨道纯滚动 无滑动 ) 地滚动 。设轮子保持在同一竖直平面内运 u 动，且轮心的速度为已知值 ， 试分析轮子 M 边缘一点 的运动。 j o M M j R 7.2 点的运动的直角坐标法 例 题

19. y o R A x C 7.2 点的运动的直角坐标法 例 题 取坐标系Axy如图所示，并设M点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为 解： 这是旋轮线的参数方程。

20. y o R A 其中 可由轮心速度求出： x C 当M点与地面接触，即 时，M点速度等于零。 此时M点的加速度是否为零？为什么？ 7.2 点的运动的直角坐标法 例 题 M点的速度为：

21. Ψ 7.2 点的运动的直角坐标法 例 题 例5-3 在曲柄连杆机构中，曲柄OA以匀角速度 绕O轴转动，在连杆AB的带动下，滑块B沿直线导槽作往复直线运动。已知且。求滑块B的运动方程、速度及加速度。 曲柄连杆机构在工程中有广泛的应用。这种机构能将转动转换成直线平移，如压气机、往复式水泵、锻压机等；或将直线平移转换为转动，如蒸汽机、内燃机等。

22. Ψ 7.2 点的运动的直角坐标法 例 题 解：滑块B沿OB方向往复直线运动，用直角坐标法建立运动方程。

23. 由已知条件 ，因此 恒小于1 通常 ，上式等号右侧第三项的系数 7.2 点的运动的直角坐标法 例 题 滑块B的加速度 滑块B的运动的精确解。 根据二项式定理

24. 7.2 点的运动的直角坐标法 例 题 在一般的工程精度情况下，可以略去此项及其后的各项，由三角函数倍角公式并化简可得滑块B的运动方程 滑块B的速度和加速度分别为

25. 7.3 点的运动的自然法 7.3.1 运动方程 运动方程 若点沿着已知的轨迹运动，则点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。 设动点M的运动轨迹如图。 S —— 弧坐标 当动点运动时，弧坐标随时间t连续变化，且为时间t的单值连续函数，即 这就是自然坐标形式的点的运动方程。

26. 7.3 点的运动的自然法 7.3.2 自然轴系 自然轴系 M点的密切面的形成 当M´点无限接近于 M点时，过这两点的切线所组成的平面，称为M点的密切面。

27. b(副法线) n(主法线) s + (切线) s - M b－ 过动点P垂直于切线 和主法线的直线，其正向由 确定。 7.3 点的运动的自然法 7.3.2 自然轴系 自然轴系 自然轴系M－ nb M－空间曲线上的动点； 过M点作垂直于的平面，称为曲线在M点的法面 －过动点P的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向； n－ 密切面内垂直于切线的直线，其正向指向曲率中心；

28. n  b b－ 过动点P垂直于切线 和主法线的直线，其正向由 确定。 7.3 点的运动的自然法 7.3.2 自然轴系 自然轴系M－ nb 自然轴系 M－空间曲线上的动点； －过动点P的密切面内的切线，其正向指向弧坐标正向； n－ 密切面内垂直于切线的直线，其正向指向曲率中心；

29. b(副法线) n(主法线) s + (切线) s - b n M  7.3 点的运动的自然法 7.3.2 自然轴系 自然轴系的基矢量：、n、b 自然轴系的特点 跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。 自然轴系的单位矢量、n、b是方向在不断变化的单位矢量.而直角坐标系的单位矢量i、j、k。则是常矢量。

30. 7.3 点的运动的自然法 7.3.3 速 度 点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。 弧坐标中的速度表示

31. ,则 若 ，即点沿着s+的方向运动； 反之点沿着s－的方向运动。 式 中 7.3 点的运动的自然法 7.3.3 速 度 讨论 v和分别表示速度的大小与方向。

32. ? 7.3 点的运动的自然法 7.3.4 加 速 度 弧坐标中的加速度表示 根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式

33. 7.3 点的运动的自然法 7.3.4 加 速 度 当0时，和´以及同处于M点的密切面内，这时，的极限方向垂直于 ，亦即n方向。

34. 切向加速度 法向加速度 7.3 点的运动的自然法 7.3.4 加 速 度 加速度表示为自然轴系投影形式

35. 表示速度矢量大小的变化率； 切向加速度 表示速度矢量方向的变化率； 法向加速度 表明加速度a在副法线方向没有分量； 还表明速度矢量v和加速度矢量a都位于密切面内。 7.3 点的运动的自然法 7.3.4 加 速 度 讨论

36. 点的加速度的大小和方向 7.3 点的运动的自然法 7.3.4 加 速 度 讨论

37. 7.3 点的运动的自然法 例 题 例5-4 在图的摇杆滑道机构中，滑块M同时在固定圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动。圆弧BC的半径为R，摇杆的转轴O在BC弧的圆周上，摇杆绕O轴以匀角速度转动。当运动开始时，摇杆在水平位置。求∶ （1）滑块相对于BC弧的速度 和加速度； （2）滑块相对于摇杆的速度 和加速度。

38. 7.3 点的运动的自然法 例 题 解1：先求滑块M相对圆弧BC的速度、加速度。 BC弧固定，滑块M的运动轨迹已知，宜用自然法求解 以M点的起始位置为原点，逆时针方向为正 方向如图 方向如图

39. 7.3 点的运动的自然法 例 题 建立图示坐标系 解2：直角坐标法

40. 7.3 点的运动的自然法 例 题 讨论： 在轨迹已知情况下，用自然法不仅简便，而且速度、加速度的几何意义很明确。

41. 7.3 点的运动的自然法 例 题 求滑块M相对于杆的速度与加速度 将参考系Ox固定在OA杆上，此时，滑块M在OA杆上作直线运动，相对轨迹是已知的OA直线。M点相对运动方程为 方向沿OA且与x正向相反 其方向沿指向x′轴负向