Л Е К Ц И Я (тема 3. 8.) ТЕМА: “СЛОЖНО ДВИЖЕНИЕ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА”

1. Л Е К Ц И Я(тема 3. 8.)ТЕМА: “СЛОЖНО ДВИЖЕНИЕ НА МАТЕРИАЛНА ТОЧКА” • УЧЕБНИ ВЪПРОСИ: • 1. Относително, преносно и абсолютно движение на точка 1.1. Примери за сложно движение. 1.2. Дефиниции. 1.3. Симулационна (анимационна) графична интерпретация. 2. Теореми за събиране на скоростите и ускоренията. 2.1. Връзка между производните на променлив вектор в неподвижната и подвижната система. 2.2. Теорема за събиране на скоростите при сложно движение. 2.4. Теорема на Кориолис (Coriolis) – теорема за събиране на ускоренията при сложно движение. 2.5. Кориолисово ускорение – големина и посока. Примери. :

2. Сложно движение на материална точка Относително, преносно и абсолютно движение на точка. 2. Теореми за събиране на скоростите и ускоренията

3. 1. Относително, преносно и абсолютно движение на точка • 1.1 Примери за сложно движение. • дъждовни капки; • пътник във влак; • планетите (πλάνήτης); • топче в тръба; • плувец в река; • реките и планетата. • подвижно оръдие (танк) и снаряд в цевта. • вие дайте примери!

4. 1.2 Дефиниции • Кривата която описва точка М спрямо неподвижната координатна система S, ще наречем (условно!) абсолютнатраектория на точката. • Скоростта и ускорението, които има точката в това движение се наричат абсолютна скорост и абсолютно ускорение. • Кривата, която описва точка М спрямо подвижната координатна система S1, ще наречем относителна траектория, а скоростите и ускоренията в това движение – относителни. • Проекцията на точката М върху точка от подвижната координатна система която в момента t съвпада с нея, ще наречем съответна точка М1. • Траекторията, скоростта и ускорението на т. М1, неподвижно свързана с координатната система S1и участваща в нейното движение ще наричаме преносни.

5. y2 y1 y x2 x1 M2 M1 О2 О1 z2 z1 O x z 1.3 Симулационна интерпретация

6. y2 y1 y x2 x1 M2 M1 О2 О1 z2 z1 O x z 2. Теореми за събиране на скоростите и ускоренията2.1 Връзка между производните на променлив вектор в неподвижната и подвижната система. A • r = r0 + r2; r = OM2, r0 = OO1; r2 = O1M2; dr2/dt =? • dr2/dt – производна на r2в неподвижната с-ма S. • dr2*/dt – производна на r2в подвижната с-ма S1. r2 = x I + y j + z k ; r2/1 = x1I1+ y1j1 + z1k1 [1] Да означим с: • dr2/dt = xI + yj + zk ;dr2/1*/dt = x1I1+ y1j1 + z1k1 ; [2] От [1] следва: x I + y j + z k = x1I1+ y1j1 + z1k1 [3]

7. r2 dr2*/dt dr2/dt Връзка между производните на променлив вектор в подвижната и неподвижната система (продължение) Диференцираме [3] спрямо времето и получаваме: d/dt(x I + y j + z k ) = d/dt(x1I1+ y1j1 + z1k1 ) xI + yj + zk = x1I1+x1I1+y1j1+y1j1+z1k1+z1k1 xI + yj + zk =x1I1+y1j1+z1k1 + x1I1+y1j1+z1k1 [4] но: i1=ω1 x i1 ; j1=ω1 x j1 ; k1 =ω1 x k1 ; [5] като заместим [5] в [4] се получава: xI + yj + zk = x1I1+y1j1+z1k1 + ω1 x (x1I1+y1j1+z1k1) [6] или: dr2/dt = dr2*/dt + ω1 x r2(1) [7]

8. y2 y1 y x2 x1 r2 M2 M1 r О2 О1 r0 z2 z1 O x z 2.2 Теорема за събиране на скоростите при сложно движение r = r0 + r2 ; диференцираме: dr/dt = dr0/dt + dr2/dt ; или: vM2 = v01 + dr2*/dt + ω1 x r2(1) но: v01 + ω1 x r2(1)= vM1 = vпрен., а: dr2*/dt = vM2M1 = vотн. Тогава: vM2 = vM1 + vM2M1или: Vабс. = Vпрен. + Vотн. Теорема:Абсолютната скорост е равна на векторната сума на преносната и относителна скорост при сложно движение.

9. 2.3 Теорема на Кориолис (Coriolis)за абсолютното ускорение • имаме: vM2 = v01 + dr2*/dt + ω1 x r2(1); • или: vM2 = v01 + vrel + ω1 x r2(1); [8] (vrel = vотн.= vM2M1) • Диференцираме [8]: • dvM2/dt = dv01/dt + dvrel/dt + dω1/dt x r2(1) + ω1 x dr2(1)/dt [9] • но: dr2/dt = dr2*/dt + ω1 x r2(1) и dvrel/dt = dv*rel/dt + ω1 x vrel; • dvM2/dt=aM2; dv01/dt=a01; dω1/dt=є1; dr2*/dt= vrel; dv*rel/dt=arel; • заместваме в [9]: • aM2 = a01+arel+ ω1x vrel+ є1 x r2(1)+ ω1 x (vrel+ ω1 x r2(1))= =a01+arel+ є1 x r2(1)+ ω1 x (ω1 x r2(1)) + 2 ω1 x vrel. • но: a01+ є1 x r2(1)+ ω1 x (ω1 x r2(1)) = aM1 = aпрен., и 2 ω1 x vrel=aK Тогава: аМ2 = аМ1 + аМ2М1 + аМ2М1К или: аабс.= апрен.+аотн.+акор. Теорема: Абсолютното ускорение е равно на сбора от преносното, релативното и кориолисовото ускорение при сложно движение.

10. Vотн ωпрен акор 2.4 Кориолисово ускорение • Кориолисовото ускорение е равно на: • акор.= 2 ω1 x vrelили акор.= 2 ωпрен.x vотн. • От това следва, че големината на кориолисовото ускорение ще бъде: • акор.= 2 ωпрен.* vотн.* sin (ω^v); • Кориолисовото ускорение ще бъде равно на нула, когато или преносната ъглова скорост е нула, или когато относителната линейна скорост е нула, или когато синуса от ъгъла между тях е равен на нула. • Посоката на кориолисовото ускорение се определя от правилото за резултата от векторното произведение на два вектора, т.е. вектор с посока перпендикулярна на равнината на другите два вектора, така че да образува с тях дясно ориентирана координатна система. • Просто правило: За да определите посоката на кориолисовото ускорение завъртете вектора относителна скорост на ъгъл алфа по посока на въртенето от ωпрен. • Примери. тук алфа = 90 градуса

11. Въпроси ?