度数分布表における平均・分散（第 1 章記述統計の復習補足）

度数分布表における平均・分散（第1章 記述統計の復習補足）統計学　2007年度

算術平均を求める場合、8人の個々の点数について何らかの仮定が必要となる。算術平均を求める場合、8人の個々の点数について何らかの仮定が必要となる。 • 8人全員が上限のあたりや下限のあたり(8人全員が20点とか、8人全員が29点とか)という状態はあまり考えられない。通常は上限の近くから下限の近くまで適当に散らばっていると考えられる。このとき、8人の算術平均を取れば階級の真ん中あたりの値となると考えるのは自然な発想である。 • 階級値は、そういう意味で階級を代表する値である。 • 右のような度数分布表が入手できたとする。(元のデータは入手できなかったとする。) • この度数分布表で、20点以上30点未満の階級は8人いるが、この8人の個々の点数については情報がない。

算術平均を求める場合、8人全員が階級値の25点であったと仮定する。算術平均を求める場合、8人全員が階級値の25点であったと仮定する。 • すると、8人の点数の合計は 8×25 = 200(点) 　　となる。 • このように、各階級について度数×階級値 (fiyi)を求め、それを全階級について加えたものが全員の点数の合計(に近い値)と考えられる。 • よって、算術平均は（度数×階級値）の総和÷度数の総和　　として求められる。

度数分布表において算術平均を求めるには、度数×階級値 (fiyi)の列を計算し、その和を求める。 • そしてその和を度数の合計で割れば算術平均が求まる。 • 算術平均は　　となる。

分散の計算にも、8人全員が階級値の25点であったと仮定する。分散の計算にも、8人全員が階級値の25点であったと仮定する。 • すると、8人の偏差2乗和は 8×（25 – 48)2 = 8×529 = 4232 　　となる。 • 各階級について度数×（階級値－算術平均）2を求め、その総和を度数の総和で割ったものが分散となる。

　この式は次のように変形できる。 　よって、fiyi2の列を求め、その総和を度数の総和で割り、算術平均の2乗を引いたものが分散の近似値となる。

度数分布表における平均・分散 （第 1 章 記述統計の復習 補足）