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9.8 串联电路的谐振

R,L,C 电路. 9.8 串联电路的谐振. 谐振 ( resonance ) 是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。. 1. 谐振的定义. 含有 R 、 L 、 C 的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。. 发生谐振. R. +. j  L. _. 2. 串联谐振的条件. 谐振条件. 谐振角频率 ( resonant angular frequency ). 仅与电路参数有关.

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9.8 串联电路的谐振

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  1. R,L,C 电路 9.8 串联电路的谐振 谐振(resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。 1. 谐振的定义 含有R、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。 发生谐振

  2. R + j L _ 2. 串联谐振的条件 谐振条件 谐振角频率 (resonant angular frequency) 仅与电路参数有关 谐振频率 (resonant frequency)

  3. 串联电路实现谐振的方式： （1） L C不变，改变 w。 0由电路本身的参数决定，一个 R L C串联电路只能有一个对应的0 , 当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。 （2） 电源频率不变，改变 L或 C ( 常改变C )。 3. RLC串联电路谐振时的特点 入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。 电流I达到最大值I0=U/R (U一定)。

  4. |Z( )| Z ( ) XL( ) X( ) R  0  O XC( ) R + _ + + j L _ + _ _ (2) LC上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，也称电压谐振，即

  5. 特性阻抗 品质因数 当＝w0L=1/(w0C )>>R 时， UL= UC >>U

  6. R + L u _ C 例 某收音机 L=0.3mH，R=10，为收到中央电台560kHz 信号，求（1）调谐电容C值；（2）如输入电压为1.5V 求谐振电流和此时的电容电压。 解

  7. C L Q + R _ P (3) 谐振时的功率 P=UIcos＝UI＝RI02=U2/R， 电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。 电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。

  8. (4) 谐振时的能量关系 则 设 电场能量 磁场能量 表明 （1）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等WLm=WCm。L、C的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。

  9. （2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。（2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。 电感、电容储能的总值与品质因数的关系： Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小， 振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般讲在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高Q值。

  10. 4. RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性 谐振曲线 物理量与频率关系的图形称谐振曲线， 研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。 （1） 阻抗的频率特性 幅频特性 相频特性

  11. |Z( )| Z ( ) XL( )  ( ) /2 X( ) R  0  0   O O XC( ) –/2 阻抗幅频特性 阻抗相频特性 2. 电流谐振曲线 幅值关系： I(w )与 |Y(w )|相似。

  12. I( ) U/R I( ) |Y( )|  0  O 电流谐振曲线 • 选择性 (selectivity) 从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当偏离0时，电流从最大值U/R降下来。即，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。

  13. 通用谐振曲线 为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以w0和I(w0)，即

  14. 0.707 Q=0.5 Q=1 Q=10 1  2 0 1 通用谐振曲线 Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。因此，Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。

  15. 0.707I0 Q=1 1 2  0  0 根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。 称为通频带BW (Band Width) 可以证明： I/I0=0.707以分贝(dB)表示： 20log10I/I0=20lg0.707= –3 dB. 所以，1， 2称为3分贝频率。

  16. + R u L _ C 10 例 一信号源与R、L、C电路串联，要求 f0=104Hz，△f=100Hz，R=15，请设计一个线性电路。 解

  17. + R u1 _ L + u2 _ C + u3 _ 中央台 北京台 北京经济台 f (kHz) 820 640 1026  L 1290 1000 1611 1290 –1660 1034 X 0 – 660 577 I=U/|Z| (mA) I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173 例 一接收器的电路参数为： L=250mH, R=20W, C=150pF(调好), U1=U2= U3 =10mV, w0=5.5106 rad/s, f0=820 kHz.

  18. I(f ) f (kHz) 1200 820 0 640 I=U/|Z| (mA) I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173 小得多 ∴收到北京台820kHz的节目。

  19. （3） UL(w )与UC(w )的频率特性

  20. U( ) UC(Cm) UL( ) QU U UC( ) Cm  Lm 1 0 UL(w ) ： 当w=0，UL(w)=0；0<w<w0，UL(w)增大；w=w0， UL(w)=QU； w>w0，电流开始减小，但速度不快， XL继续增大，UL仍有增大的趋势，但在某个w下UL(w)达到最大值，然后减小。 w，XL， UL()=U。 类似可讨论UC(w)。

  21. 根据数学分析，当 =Cm时，UC()获最大值；当 =Lm时，UL()获最大值。且UC(Cm)=UL(Lm)。 w Lm•w Cm =w 0 Q越高，wLm和wCm 越靠近w0

  22. R + u L _ C V 例 一接收器的电路参数为：U=10V w=5103 rad/s, 调C使电路中的电流最大，Imax=200mA，测得电容电压为600V，求R、L、C及Q 解

  23. + L C G _ 9.9 并联电路的谐振 1. G、C、L 并联电路 对偶： G C L 并联 R L C 串联 谐振角频率

  24. |Z| |Y| R G O O w0 w w0 w I( ) U( ) IS/G U/R    0  0 O O R L C 串联 G C L 并联

  25. R L C 串联 G C L 并联 电压谐振 电流谐振 IL(w0)=IC(w0)=QIS UL(w 0)=UC (w 0)=QU 推导过程如下：由定义得

  26. R C L 2. 电感线圈与电容器的并联谐振 实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图： （1）谐振条件 谐振时 B=0，即

  27. 谐振角频率 L C Ge 等效电路 此电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足 一般线圈电阻R<<L，则等效导纳为：

  28. （2）谐振特点 (a)电路发生谐振时，输入阻抗达最大值： (b)电流一定时，总电压达最大值： (c)支路电流是总电流的Q倍，设R<<L

  29. 100k 等效电路 R C L Re C 100k L 如图R=10的线圈其QL=100，与 电容接成并联谐振电路，如再并联 上一个100k的电阻，求电路的Q. 例 解

  30. ＋ i0 50k ＋ u uS － － R C L 如图RS=50k，US=100V，0=106，Q=100，谐振时线圈获取最大功率，求L、C、R及谐振时I0、U和P。 例 解

  31. C3 L3 C2 L1 C2 L1 (a) (b) 3. 串并联电路的谐振 讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路： 上述电路既可以发生串联谐振(Z=0)，又可以发生并联谐振(Z=)。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。 对(a)电路，L1、C2并联，在低频时呈感性。随着频率增加，在某一角频率1下发生并联谐振。>1时，并联部分呈容性，在某一角频率2下可与L3发生串联谐振。

  32. L3 C2 L1 (a) 对(b)电路L1、C2并联，在低频时呈感性。在某一角频率w1下可与C3发生串联谐振。w>w1时，随着频率增加，并联部分可由感性变为容性，在某一角频率w2下发生并联谐振。 定量分析： (a) 当Z(w )=0，即分子为零，有：

  33. X( ) L3  1  2 O  C2 L1 (a) 可解得： 当Y(w )=0，即分母为零，有： Z ( )=jX( ) 可见， w1<w 2。 阻抗的频率特性

  34. C3 L1 C2 (b) X( )  2  1 O  (b) 分别令分子、分母为零，可得： 串联谐振 阻抗的频率特性 并联谐振

  35. + u1(t) u2(t) _ LC串并联电路的应用： 可构成各种无源滤波电路(passive filter)。 例 激励u1(t)，包含两个频率w1、w2分量(w1<w2)： u1(t) =u11(w1)+u12(w2) 要求响应u2(t)只含有w1频率电压。如何实现？ 解 设计下列滤波电路实现：

  36. L1 C3 + + C C2 u1(t) R u2(t) _ _ 并联谐振，开路 串联谐振，短路 w1 信号短路直接加到负载上。 该电路w2 >w1 ，滤去高频，得到低频。

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