线性代数第 10 讲

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2. §2 矩阵的秩 矩阵的秩的概念是研究线性方程组理论的重要基础.

3. 定义2.2在mn矩阵A中, 任取k行与k列(km,kn), 位于这些行列交叉处的k2个元, 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式.mn矩阵A的k阶子式共有 个

4. 定义2.3设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D, 且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0, 那么D称为矩阵A的最高阶非零子式, 数r称为矩阵A的秩, 记作R(A), 并规定零矩阵的秩等于0.

5. 由行列式的性质可知, 在A中当所有r+1阶子式全等于0时, 所有高于r+1阶的子式也全为0, 因此把r阶非零子式称为A的最高阶非零子式, 并由此可知矩阵A的最高阶非零子式可能不止一个. 而A的秩R(A)就是A的非零子式的最高阶数.

6. 由于R(A)是A的非零子式的最高阶数, 因此:(1) 若矩阵A中有一个r阶非零子式, 则R(A)r;(2) 若A中所有r阶子式全为0, 则R(A)<r;(3) 若A为mn矩阵, 则R(A)m, R(A)n;(4) 对于n阶矩阵A, 若detA0, 则R(A)=n; 若detA=0, 则R(A)<n. 因此, 可逆矩阵又称满秩矩阵, 不可逆矩阵又称降秩矩阵.(5) R(A)=R(AT).

7. 例2.5求矩阵A和B的秩, 其中

9. 因此, 对于行阶梯形矩阵, 总有行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数.而对于任何矩阵A, 总可以经过有限次初等行变换把A化为行阶梯形矩阵.因此, 要求矩阵的秩自然想到用初等行变换把矩阵化为行阶梯形. 问题是: 矩阵经过初等行变换后, 它的秩是否保持不变呢? 答案是肯定的

10. 定理2.5若A与B是同型矩阵, A~B的充要条件是R(A)=R(B)(不证).

11. 推论 设可逆矩阵P,Q使PAQ=B, 则R(A)=R(B).证 由定理2.4可知, 可逆矩阵P,Q可表示成一些初等矩阵的乘积, 即存在初等矩阵P1,P2,,Ps,Q1,Q2,,Qt, 有P=P1P2PsQ=Q1Q2Qt式PAQ=(P1P2Ps)A(Q1Q2Qt)表示对A进行一系列初等行变换和列变换, 而PAQ=B, 故我们得到A~B. 于是根据定义2.5有R(A)=R(B).

12. 例2.6设 求矩阵A的秩.

13. 解 对A进行初等行变换化为阶梯矩阵 因此, R(A)=4.

14. 矩阵的秩的一些性质:(1) 0R(Amn)min(m,n).(2) R(AT)=R(A).(3) 若A~B, 则R(A)=R(B).(4) 若P,Q可逆, 则R(PAQ)=R(A).

15. (5) max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B).证 因为A的最高阶子式总是(A,B)的非零子式, 所以R(A)R(A,B), 同理有R(B)R(A,B). 两式合并起来即为max{R(A),R(B)}R(A,B).设R(A)=r, R(B)=t, 由于

17. 从而

18. 性质5的含义是: 若A和B两矩阵的行数相同, 则由A和B作为子阵的分块矩阵(A,B)的秩大于等于其中任何一个矩阵的秩, 小于等于两个矩阵秩的和.

19. (6) R(A+B)R(A)+R(B).证 设A和B两矩阵都为mn矩阵, 对矩阵(A+B, B)作列变换ci-cn+i(i=1,,n), 即得(A+B,B)~(A,B), 于是R(A+B)R(A+B,B)=R(A,B)R(A)+R(B).性质6的含义是: 两矩阵的和的秩小于等于两矩阵秩的和.

20. (7) R(AB)min{R(A),R(B)} (证明见下章).性质(7)的含义是, 乘积矩阵的秩小于等于其中任何一个矩阵的秩.(8) 若AmnBnl=O, 则R(A)+R(B)n (证明见下章).性质(8)的含义是: 如果两个矩阵的乘积等于零, 则两个矩阵秩的和小于等于左边矩阵的列数.

21. 作业习题二第86页开始第7题,第8题