第 12 讲

1. 第 12 讲 空间曲面与曲线

2. 一. 曲面及其方程 z 1.球面方程 M ● 求以点 为球心, 半径为 M0 的球面的方程。 ● 点 在球面上，当且仅当 y O x 上式称为球面的标准方程。

3. 1.球面方程 标准方程： 球心 半径 因此，当且仅当 例、判断方程 时，方程为球面方程。 是否为球面的方程。 球心： 将上式左端配方得： 解： 半径：

4. 1. 球面方程 球心： 标准方程： 半径： 球心 半径 参数方程： 一般方程： 当 时, 称 为球面的一般方程。 球心： 半径： 为参数。

5. 2. 特殊柱面 z 柱面 母线 y O x 准线

6. 2. 特殊柱面 z 以z轴为母线的柱面的方程： 以y轴为母线的柱面的方程： ● y x轴为母线的柱面的方程： O x ●

7. 3. 旋转曲面 z 母线 旋转曲面 O y x 旋转轴

8. 3. 旋转曲面 z 求 yoz平面内曲线 绕y轴旋转 所得旋转曲面的方程。 ● O y ● x 于是

9. 3. 旋转曲面 例 2、求yoz平面内曲线 绕 z轴旋转所 yoz平面内曲线 得曲面的方程。 绕y轴旋转所得旋转曲面 代替变 解： 用 的方程： 量 y 得所求曲面方程 例 1、求yoz平面内曲线 绕y轴旋转所得曲面 的方程. 解： 故所 母线上 求方程为：

10. 例 3、求xoz平面内曲线 3. 旋转曲面 绕 x轴旋转所 xoz平面内曲线 得曲面的方程。 绕x轴旋转所得旋转曲面 解： 用 代替变量 的方程： z 得所求方程 注:此时给定曲线（母线） 上点的 z坐标需既可能 整理得 取正，也可能取负。

11. 二.曲线及其方程 设曲面 相交， 则 点 其坐标同 当且仅当 在两曲面的交线上, 时满足两曲面的方程。 称 为曲线的一般方程。 曲线还可以有参数方程， 其形式为： 其中t为参数。

12. 三.曲线在坐标面的投影 从两个方程中消 设空间曲线 L 的方程为 称此 这是母线平行于z 轴的柱面, 去z 得 柱面与 xoy 平面的交线 为曲线 L 在 简称投影。 xoy 平面的投影曲线， 为曲线 L在 xoy 平面的 此时也称柱面 投影柱面。

13. 三.曲线在坐标面的投影 投影柱面 z y 投影曲线 O x

14. 例 4、求曲线 在 xoy, yoz 面的投影。 得 代入 将 解： 因此, 曲线在 xoy 平面的 投影为： 类似可知 yoz 面的投影为

15. 且垂直于 xoz 平面的 例 5、求过曲线 柱面的方程。 将 解： 代入 消去 y 得 此为所求柱面方程。

16. 四 . 二次曲面 二次方程 ( 1 ) 所表示的曲面称为二次曲面。 总可经坐标平移或旋转将 ( 1 ) 简化为如下形式： ( 2 ) 改变方程 ( 2 ) 的系数，可得到多种类型的二次曲面。

17. 4.1.椭球面 z c 标准方程： y O b a 截痕法 x 描出曲面与几个关键平面 的交线，从而了解其整体形状。

18. z y o x 4.2.单叶双曲面 z 标准方程： b y O a x

19. 4.2.单叶双曲面 （直纹面） 作方程组 不全为 0 .

20. z 4.3.双叶双曲面 标准方程： o y x

21. 4.4椭圆抛物面 z 标准方程： y o x

22. z o y x 4.4 双曲抛物面 标准方程：

23. 求 例 6、设a, b为非零矢量, 且 解：

24. 绕 z 轴旋转一周所得曲面 例 7、求直线 的方程。 解： 在所得曲面上任取一点 设该点是由已 知直线上点 旋转得到的。 则有： 将 代入已知直线方 程得 即

25. 为准线，母线平行于矢量 例 8、求以 的柱面。 解： 取柱面上一点 设 为准线 线上一点，使直线 与母线平行。 则有 其中 k为常数。 进而得 因此， 此即所求柱面的方程。

26. 内与直线 垂直 例 9、求平面 相交的直线的方程。 可得已知直线与平面的 解： 解方程组 交点为 已知直线的方向矢量为 过上述交点且与已知 直线垂直的平面为 所求方程为：

27. 五.练习 为边的平行四 求以 1、设 边形的对角线的长。 都是单位向量，且满足 2、已知 求 求 3、已知 答：

28. 共线, 且 4、已知向量 求 5、确定参数a, b, 使得直线 平行于直线 且与圆心在原点， 6、求过直线 半径为 的球面相切的平面。 答：

29. 反射面为 7、设入射光线方程为 求反射光线方程。 和曲线 8、求过曲线 的交线在 xy 面的投影柱面和投影曲线的方程。 答：

30. 母线有方向矢量 9、已知准线为 求满足此条件的柱面的方程。 答：

31. 作业： 无