第六章 气体动理论基础 §6-1 平衡态 温度 状态方程 §6-2 理想气体压强公式 §6-3 温度的统计解释 §6-4 能量均分原理 内能 §6-5 麦克斯韦速率分布律

1. 第六章 气体动理论基础 §6-1 平衡态 温度 状态方程 §6-2 理想气体压强公式 §6-3 温度的统计解释 §6-4 能量均分原理 内能 §6-5麦克斯韦速率分布律 §6-6 玻尔兹曼分布律 §6-7平均碰撞次数 平均自由程

2. §6-1平衡态　温度　状态方程 一、热力学系统 平衡态 1、热力学系统 由大量微观粒子（分子、原子等微观粒子）所组成的宏观物体或系统。 ★ 热力学系统分类 根据系统与外界交换能量或物质的特点，可以分为三种： (1) 孤立系统－－与外界既无能量交换，又无物质交换的系统 (2) 封闭系统－－与外界只有能量交换，但无物质交换的系统 (3) 开放系统－－与外界既有能量交换，又有物质交换的系统 ２、平衡态 指在不受外界影响（或不变的）的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态 称热平衡态。

3. 系统在热平衡时，系统内任一宏观体元均处于力学平衡、系统在热平衡时，系统内任一宏观体元均处于力学平衡、 热平衡、相平衡中。 ※ 从微观的角度应理解为动态平衡态 ※ 平衡态是一种是理想概念 ※ 若在我们所讨论的问题中，气体活动的高度空间不是很大，即重力加速度随高度的变化可以忽略，则在达热力学平衡态时，上述宏观量不仅是稳定的（指不随时间变化）还是均匀的（即不随位置变化）。 ※ 处于热平衡态时，系统的宏观属性具有确定的值。因此可以用一些确定的物理量来表征系统的这些宏观属性。用来描写热平衡态下各种宏观属性的物理量叫系统的宏观参量。

4. 我们可以从这些参量中，选取不多的相互独立的几个物理量作为描述系统热平衡态的参量，叫系统的状态参量。　我们可以从这些参量中，选取不多的相互独立的几个物理量作为描述系统热平衡态的参量，叫系统的状态参量。　 主要的参量有：几何参量，力学参量，热学参量， 化学参量，电磁参量; 体积V，压强P，热力学温度 T，摩尔数v。 二、温度 温标 １、温度概念 温度是表征物体冷热程度的宏观状态参量。 温度概念的建立是以热平衡为基础的。

5. 绝热壁 导热壁 B B A A C C B A B A 如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡，那么，这两个系统彼此也处于热平衡。这个结论称热力学第零定律。

6. 处在相互热平衡状态的系统必定拥有某一个共同的物理性质，我们把描述系统这一共同宏观性质的物理量称为系统的温度 。 ２、温标　温度计 温度计:即测温的工具。 温度计要能定量表示和测量温度，还需要建立温标　──即 温度的数值表示法。 ※ 主要有三个步骤 其一、要选定一种合适物质（称测温质）的测温特性； 其二、规定测温质的测温特性与温度的依赖关系（线性）； 其三、选定温度的标准点（固定点），并把一定间隔的冷热程度分为若干度。

7. ※选用不同的测温物质或不同的测温特性，测量同一系统所得的温度数值，一般情况下并不完全相同。 例如，（一个大气压下） 　对水的冰点，华氏温标为32F0，攝氏温标为0C0, 对水的沸点，华氏温标为212F0，攝氏温标为100C0。 ３、热力学温标 一种与测温质和测温特性无关的温标。开尔文（lord Kelvin）在热力学第二定律的基础上建立了这种温标，称热力学温标。 规定水的三相点（水，冰和水蒸汽平衡共存的状态）为 273.16K。 由热力学温标可导出摄氏温度 Ｔ＝t＋２７３.１５

8. 过程方程 克拉珀龙方程 三、理想气体及其状态方程 1、理想气体 2、理想气体的状态方程 热平衡态下，系统各个状态参量之间满足一定的关系，这样的关系叫系统的状态方程 式中Ｒ是气体普适常量，在ＳＩ中Ｒ＝8.31 (J·mol-1·K-1), Mmol是气体的摩尔质量。

9. Ｐ ０ Ｖ ３、状态图（Ｐ－Ｖ图、Ｐ－Ｔ图、Ｖ－Ｔ图） 气体的平衡态除了可用一组状态参量来描述，还可用状态图来表示，而一组状态参量在状态图中对应的是一个点。不同的状态在状态图中对应点不同。 在状态图中，一条光滑的曲线代表一个由无穷多个平衡态所组成的变化过程，如右图所示。 曲线上的箭头表示过程进行的方向。 由于非平衡态不能用一组确切的状态参量来描述，因此在状态图中，非平衡态过程也就无法找到相应的过程曲线与之对应。

10. §6-2 理想气体压强公式 一、理想气体分子的微观模型 1、分子可以看作质点。（除特别考虑） 2、除碰撞外，分子之间，分子与器壁不计相互作用力。 3、分子间，分子与器壁间的碰撞是完全弹性的，遵守动量和能量守恒定律。 即： 理想气体分子可看作彼此间无相互作用的遵守 经典力学规律的弹性质点。

11. (1) 每个分子向各个方向运动的机会均等（ ）；　 (2) 对于大量分子，向各个方向运动的分子数平均相等( )； 二、气体分子的统计假设 每个分子运动具有偶然性，然而正是由于每个分子的偶然性，才使得大量分子运动出现了规律性。这种规律性具有统计平均意义，称为统计规律性。 在平衡态，当重力的影响可以忽略时，容积内各处的压强、密度、温度都相同，而分子始终在作无规则的热运动，故我们可以认为：

12. 例如： (3)分子速度在各个方向上的分量的各种平均值平均相等； (4) 每个分子运动速度不尽相同，由于分子不停地发生碰撞而发生变化，因而分子具有各种可能的速度。对于全同分子，不会因碰撞而丢失具有某一速度的分子。 以上就是用统计平均的观点所得出的气体分子的性质。

13. 对于i分子： 由牛顿第三定律，i分子给予器壁的冲量为 三、压强的统计解释 设一容器，边长为1、2、3，内有Ｎ个分子。 设器壁光滑，考虑速度为vi的分子 ,现讨论其对于Ａ１面的碰撞。 １、先考察一个分子（例如i分子）一次碰撞中给予器壁A1的冲量

14. 故若令 i分子单位时间内与A1面碰撞的次数为 ２、i分子在单位时间内施于A1面的平均冲力 则 i分子单位时间内施于A1面的总冲量（冲力）为 ３、所有分子在单位时间内对器壁的冲力──对i求和 表示分子在X方向速率平方的平均值，

15. 那么 • 令 ──为分子数密度（即单位体积内的分子数） 又由统计平均的观点有 于是所有分子在单位时间内施于A1面的冲力为 ４、求压强的统计平均值 所以

16. (1) 压强是对大量分子的分子数密度和分子平均平动动能的统计平均结果。---这就是宏观量P与微观量 之间的关系。 引入分子平均平动动能 压强的微观解释: • 气体压强是指：容器壁的单位面积上受到的大量分子碰撞冲力的时间平均值。 因此，对少量分子或个别分子上述公式不成立。 ※气体压强与大气压强的区别： 前者如上所述，后者则是空气重量所致。

17. 玻尔兹曼恒量 理想气体方程 §6-3 温度的统计解释 一、温度的统计解释 （No为阿伏加德罗常数）

18. 则有： 或 此即宏观量T与微观量 的关系，这说明 １、温度是描述热力学系统平衡态的一个物理量。 上式给出的是“动态”的含义，非平衡态系统不能用温度 来描述。 ２、宏观量温度T是一 统计概念， 是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动 动能的量度。

19. 6、阿伏加德罗定律的一种表述， 3、零点能的问题 例如铜块中的自由电子在０Ｋ时平均平动动能为4.23eV。 4、温度所描述的运动是分子无规则运动（热运动，是相对质心参照系，平动动能是系统的内动能）， 温度和系统的整体运动无关。 ５、 上式结果与分子的种类无关，即只要温度相同，则分子的平均平动动能就相同。 即在相同的压强，相同的温度下，各种气体的分子数密度相同──这是一个很有用的公式

20. 二、气体分子的方均根速率 称之为气体分子的方均根速率。

21. 解：已知 例6-1求００Ｃ时氢分子和氧分子的平均平动动能和方均根速率 氢分子和氧分子的平均平动动能相等，均为 氢分子的方均根速率

22. 氧分子的方均根速率

23. 例6－2在一密闭容器中，储有A、B、C三种理想气体，处于平衡状态。A种气体的分子数密度为n1，它产生的压强为P1，B种气体的分子数密度为2n1，C种气体的分子数密度为3n1，则混合气体的压强P为例6－2在一密闭容器中，储有A、B、C三种理想气体，处于平衡状态。A种气体的分子数密度为n1，它产生的压强为P1，B种气体的分子数密度为2n1，C种气体的分子数密度为3n1，则混合气体的压强P为 (A)3P1 (B)4P1 (C)5P1 (D)6P1 答 [D]

24. 例6－3　在推导理想气体压强公式中，体现统计意义的两条假设是例6－3　在推导理想气体压强公式中，体现统计意义的两条假设是 (1) . (2) . 沿空间各方向运动的分子数目相等

25. 例6－4　推导理想气体压强公式可分四步： (1)求任一分子i一次碰撞器壁施于器壁的冲量2mvix； (2)求分子i在单位时间内施于器壁的冲量的总和（m/l1）(vix)2 (3)求所有N个分子在单位时间内施于器壁的总冲量 N（m/l1）(vix)2； (4)求所有分子在单位时间内施于单位面积器壁的总冲量—压强。 在上述四步过程中，哪几步用到了理想气体的假设？哪几步用到了平衡态的条件？哪几步用到了统计平均的概念？(l1、l2、l3分别为长方形容器的三个边长) 答：(1),(2),(3) 用到了理想气体的假设, (2),(4) 用到了平衡态的条件， (4) 用到了统计平均的概念。

26. §6-4 能量按自由度均分原理 内能 一、自由度 １、什么叫自由度： 决定一个物体在空间位置所需的最少的独立坐标数。 例如， 一个自由质点的自由度是3── 3个平动自由度

27. A Y B C Z X 一个自由刚体的自由度是6 －－3个平动自由度，以确定质心的位置； －－3个转动自由度，以确定轴和绕轴转动的角度。 注意：当物体运动受到一定限制或约束时，自由度减少。 结论：一个自由度对应着一个独立的坐标， 表明一种独立的运动。

28. C Y Y c X X Z Z ２、气体分子的自由度──与气体分子的结构有关  理想气体的刚性分子 A：单原子分子----3个自由度 （视作质点） B：双原子分子 决定质心----3个自由度 确定转轴方位----2个自由度 C：三原子以上的分子 6个自由度----视为刚体  实际气体---不能看成刚性分子，因原子之间还有振动。

29. 二、能量按自由度均分原理 1、分子的平均平动能平均地分配在每一个平动自由度上，且每一个平动自由度上的平均平动能的大小都是(1/2)kT。 之所以会出现上述结果，是因为分子无规则热运动，相互碰 撞后达热平衡的结果。

30. 在平衡态下，气体分子的每一个自由度的平均动能相 等，每一个自由度的能量均为 。 （1）一个自由度为i的刚性分子所具有的平均总动能为 2、能均分原理 上述结果可推广到转动和振动自由度（这是因为他们之间都能通过碰撞而交换能量）。即得： 在平衡态下，分子无规则热运动碰撞的结果，使得没有那 一个自由度上的能量比其它自由度上的能量更占优势。 这就是能均分原理 3、气体分子的平均总动能，气体分子的热运动能量

31. 单原子分子 全为平均平动能 双原子分子 平均平动能为 多原子分子 平均平动能为 平均转动能为

32. 三、理想气体分子的内能 １、什么是内能： 内能是指系统内所有分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和。 ２、内能是态函数 是热力学状态参量P、V、T的函数，即Ｅ=Ｅ（P、V、T）， 是相对量。──因为状态参量是相对量。 ３、理想气体内能 （１） 由于理想气体不计分子间相互作用力，因此理想气体的内能仅为热运动能量之总和。

33. （２） 设热力学体系内有N个刚性分子，则N个分子的平均总动能的总和──即内能为 由于我们只讨论刚性分子，所以理想气体刚性分子的内能只是：所有分子的平均总动能之总和。

34. (II)单原子气体 双原子气体 多原子气体子 (I)这说明理想气体的内能仅为温度的单值函数，因此当理想气体的状态发生变化时，其内能的增量仅与始末状态的温度有关，而与过程无关，即

35. 事件A出现的概率 （X）称之为随机变量X的概率密度。 随机变量在X+dX间隔内的概率 §6-5 麦克斯韦速率分布律 * 几个概念的说明： 1、概率 （1）离散型随机变量的概率（如掷骰子）—等可能事件的概率 （2）连续型随机变量的概率（如麦克斯韦速率分布） 概率具有以下性质 （1）概率的取值域为0≤P（A）≤1； （2）各种可能发生事件的概率总和等于1，即

36. 对于随机变量，则为 此式称为概率归一化条件。 2、统计分布律 一种对于大量偶然事件的整体起作用的规律。 考虑事件的统计规律时，个别事件的偶然性和其自身所遵从的规律退居次要地位，而且一般说来，不可能从个别事件所遵从的规律导出其所遵从的统计规律。 3、概率和统计值都遵从涨落规律

37. 一、气体分子的速率分布函数 对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但对于大量分子，其速率的分布从整体上会出现一些统计规律。 如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的运动速率(在经典物理中为0→)，按照从小到大的排列，分成一系列相等的速率区间，例如从： （i）如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到底在哪个速率区间内运动，那么，我们发现这种运动完全是偶然的，无规则的(即随机的），毫无意义的。

38. （ii）如果我们考察的对象，不是个别的具体的分子，而是大量分子的整体，例如我们考察：在某一平衡态下，分布在各个速率区间内的分子数Ｎ，占总分子数N的百分比──这时就会发现，它是存在确切的统计规律的，按照这个思路考虑下去，就可得到麦氏速率分布律。（ii）如果我们考察的对象，不是个别的具体的分子，而是大量分子的整体，例如我们考察：在某一平衡态下，分布在各个速率区间内的分子数Ｎ，占总分子数N的百分比──这时就会发现，它是存在确切的统计规律的，按照这个思路考虑下去，就可得到麦氏速率分布律。 １、麦克斯韦速率分布函数 将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分隔成一系列相等的速率间隔，即v1v1+v, v2v2+v,…,然后考察分布在速率间隔v+v内的分子数N占总分子数的百分比N/N, 为了进一步消除速率间隔v的影响，将比值N/N除以v,即得 N/Nv 取极限，并令极限值为以f(v)表示，──其是速率v的确定函数。即

39. ──这就是麦氏速率分布函数。 １）速率分布函数的物理意义 一定质量的气体，在给定温度下，在平衡态时，

40. ２）麦氏速率分布函数式： 式中m是分子的质量，Ｋ是玻尔兹曼恒量。 ３）分布函数的归一化条件 表示分布在v1-v2区间内的分子数。

41. 10分布在v1-v2区间内的分子数占总分子数的百分比10分布在v1-v2区间内的分子数占总分子数的百分比 （或一个分子的速率处于v 1→v2区间内的概率） ２０ 分布在0→速率区间内所有的分子，其与总分子数的比值是1，即 (一个分子的速率分布在0→的所有可能区间的概率当然是1) ──这就是分布函数的归一化条件的数学表示。

42. f(v) v vp 二、麦氏速率分布曲线 若以v为横轴，f（v）的值为纵轴，以分布函数作曲线，这就是麦氏速率分布曲线。 1、 图中小方块面积的物理意义 小方块的面积为 表示分子速率分布在v附近，v～v+△v区间内的分子数占总分子数N的百分比，

43. 由小方块面积可知，曲线下总面积为 2、曲线下总面积 由归一化条件可知，曲线下总面积之总和为1，是一个常数，虽然曲线形状与温度等有关，但总面积将保持不变。 3、最概然速率vp 与气体分子速率分布曲线极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率vp。 物理意义是：对所有相同的速率区间而言，速率在含有vp区间内的分子数占总分子数的百分比最大。 或：气体分子的速率取vp附近值的概率为最大。

44. 1、平均速率 三、分子速率的三种统计平均值 将麦氏速率分布函数式代入得

45. 2、方均根速率

46. 将函数f(v) 对v求导得 3、最概然速率

47. 以上各种速率各有用处， f(v) m相同 分布函数的特征由vp表示； 讨论分子的平均平动能用 讨论平均自由程用 v ７３Ｋ ２７３Ｋ １２７３Ｋ （１）温度与分子速率 (设它们的温度分别为 73K,273K,1273K)

48. f(v) v m1 m2 T相同, m3<m2<m1 m3 （２）质量与分子速率

49. (1) 表示速率分布在 区间 内的分子数 例6-5 试说明下列各式的物理意义 表示速率分布在v1→v2区间内的分子数对平均速率的贡献 表示速率分布在v1→v2区间内的分子数占总 分子的百分比

50. 例6－6已知麦克斯韦速率分布函数为f（v），vp是分子的最可几速率，则 表示 ; 速率 v>vp的分子的平均速率表达式为 。 解 :(1)表示速率分布在0vp区间内的分子数占总分子数的百分比