第四章稳定性理论

倒立摆稳定控制 导弹稳定控制第四章稳定性理论在控制系统的分析和设计中，首先要解决系统的稳定性问题。动力学系统的稳定机制与其本身的结构密切相关，如何根据动力学系统的构成分析其稳定性受到普遍的重视。

在控制系统稳定性研究中，李亚普诺夫(A.M.Lyapunov)方法得到了广泛的应用。李亚普诺夫方法包括第一方法（也称为间接法）和第二方法（通常称为直接法）。在控制系统稳定性研究中，李亚普诺夫(A.M.Lyapunov)方法得到了广泛的应用。李亚普诺夫方法包括第一方法（也称为间接法）和第二方法（通常称为直接法）。本章首先介绍外部温度性和内部稳定性的概念，然后讨论李亚普诺夫稳定性的定义，定理，李亚普诺夫方法在线性系统中的应用。

对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常数 及一个标量，使得对于任意的，当系统的输入满足时，所产生的输出满足则称该因果系统是外部稳定的，也就是有界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。第一节外部稳定性和内部稳定性一外部稳定性定义4.1（有界输入，有界输出稳定性）

定理4.1[时变情况] 对于零初始条件的线性时变系统，设为其脉冲响应矩阵，则系统为BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限常数k，使得对于一切，的每一个元满足 (4-1) 这里必须指出，在讨论外部稳定性时，是以系统的初始条件为零作为基本假设的，在这种假设下，系统的输入-输出描述是唯一的。线性系统的BIBO稳定性可由输入-输出描述中的脉冲响应阵或传递函数矩阵进行判别。

证明为了方便，先证单输入-单输出情况，然后推广到多输入-多输出情况。在单输入-单输出条件下，输入-输出满足关系证明为了方便，先证单输入-单输出情况，然后推广到多输入-多输出情况。在单输入-单输出条件下，输入-输出满足关系 (4-2) 先证充分性已知式(4-1)成立，且对任意输入满足 , , 要证明输出有界。由(4-2)式，可以方便得到从而根据定义4.1知系统是BIBO稳定的。

再证必要性采用反证法，假设存在某个 使得 (4-3) 定义如下的有界输入函数在上述输入激励下，系统的输出为

现在将上述结论推广到多输入-多输出的情况。考察系统输出y(t)的任一分量现在将上述结论推广到多输入-多输出的情况。考察系统输出y(t)的任一分量这表明系统输出是无界的，同系统是BIBO稳定的已知条件矛盾。因此，式(4-3)的假设不成立，即必定有

定理4.2 [定常情况]对于零初始条件的定常系统，设初始时刻，单位脉冲响应矩阵为，传递函数矩阵为，则系统为BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限常k，使的每一个元满足或者为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递函数的所有极点处在左半复平面。由于有限个有界函数之和仍为有界函数，利用单输入-单位输出系统的结果，即可证明定理4.1的结论。证毕。

证明定理4.2第一部分结论可直接由定理4.1得到，下面只要证明定理的第二部分。证明定理4.2第一部分结论可直接由定理4.1得到，下面只要证明定理的第二部分。由假设条件，为真有理分式，则利用部分分式法将其展开为有限项之和的形式，其中每一项均具有形式为 (4-4) 这里为极点，和为常数，也可为零且式(4-4)对应的拉普拉斯反变换为： (4-5)

当时，式(4-5)为函数。这说明，由 取拉普拉斯反变换导出是由有限个形为(4-5)式之和构成的，和式中也可能包含函数。容易看出，当且仅当处在在半复平面时，才是绝对可积的，即为绝对可积，从而系统是BIBO稳定的。证毕。

考虑如下的线性时变系统 设系统的外输入，初始状态是有界的。系统的状态解为 (4-6) 这里为时变系统的状态转移矩阵。如果由系统的初始引起的状态响应(4-6)满足：二内部稳定性

(4-7) 则称系统是内部稳定的或是渐近稳定的。若系统是定常的，则，这时假定系统矩阵具有两两相异的特征值，则

其中显然，当矩阵的一切特征值满足进一步可得则式(4-7)成立。内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。

这里顺便说说有界输入，有界状态稳定性（简记为BIBS）问题。在内部稳定性的定义中，要求系统的输入 。如果对于任意有界输入以及任意有界初始状态，存在一个标量使得系统状态解满足，则该系统称之为有界输入-有界状态稳定的。对于线性定常系统而言，满足渐近定常系统而言，满足渐近稳定性时，一定是BIBS稳定的，详细讨论见参考文献[9]。

点击观看 三、内部稳定性和外部稳定性的关系内部稳定关心的是系统内部状态的自由运动，这种运动必须满足渐近稳定条件，而外部稳定性是对系统输入量和输出量的约束，这两个稳定性之间的联系必然通过系统的内部状态表现出来，这里仅就线性定常系统加以讨论。

证明对于线性定常系统，其脉冲响应矩阵为：定理4.3线性定常系统如果是内部稳定的，则系统一定是BIBO稳定的

这里，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有这样，的每一个元均是由一些指数衰减项构成的，故满足这里为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。

定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则系统未必是内部稳定的。证明根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论成立。

定理4.5线性定常系统如果是完全能控，完全能观测的，则内部稳定性与外部稳定性是等价的定理4.5线性定常系统如果是完全能控，完全能观测的，则内部稳定性与外部稳定性是等价的证明利用定理4.3和定理4.4易于推出该结论。定理4.3给出：内部稳定性可推出外部稳定性。定理4.4给出：外部稳定性在定理4.5的条件下即意味着内部稳定性，证毕。

系统设系统方程为 式中为维状态向量，且显含时间变量。为任意的线性或非线性、定常或时变的维函数，其展开式为：第二节李雅普诺夫对稳定性的有关定义

假定方程的解为式中、 分别为初始状态向量及初始时刻，那么，初始条件必满足平衡状态对于所有，满足 (4-8) 的状态称平衡状态。平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。已知状态方程，令所求得的解便是平衡状态。

线性定常系统，其平衡状态满足 ，只要非奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于原点的平衡状态。至于非线性系统，的解可能有多个，取决于系统方程。李雅普诺夫的稳定性定义均针对平衡状态而言。它反映了平衡状态邻域的局部（小范围）稳定性。鉴于线性系统只唯有一个平衡状态，平衡状态的稳定性便表征了系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，因为各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑：至于全局（大范围）稳定性，需结合具体初始条件下的运动轨迹来考虑。

稳定性设系统初始状态位于以平衡状态为球心、半径为的闭球域内，即稳定性设系统初始状态位于以平衡状态为球心、半径为的闭球域内，即 (4-9) 若能使系统方程的解在的过程中都位于以平衡状态为球心、任意规定的半径为的闭球域以内，即 (4-10) 则称该平衡状态是稳定的，通常称为李雅普诺夫意义下的稳定性。其平面表示见图4-1(a)。

式中称为向量的范数， 为平衡状态向量端点至初始向量端点和“初始状态偏差向量”的范数，其几何意义为“初始状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为： (4-11) 同理，为“状态偏差向量”的空间距离的尺度。通常时变系统的与有关，定常系统的与无关。只要与无关，这种平衡状态称一致稳定的。要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减振荡运动时，将在平面描出一条封闭曲线，但只要不超出则认为稳定，同经典理论中线性定常系统稳定性的定义相比是存在差异的。

(4-12) 渐近稳定性不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且存在则称平衡状态是渐近稳定的。这时，从出发的轨迹不仅不会超出，且当时收敛于平衡状态或其附近，其平面表示见图4-1(b)。显见经典理论中稳定性定义与渐近稳定性对应。当与无关时，且称一致渐近稳定。

大范围（全局）渐近稳定性当初始扰动 扩展到整个状态空间，但具有渐近稳定性时，称此平衡状态为大范围渐近稳定的，此时，或，由状态空间中任一点出发的轨迹都收敛至平衡状态。若系统是线性的，可将初始扰动扩展至整个状态空间，故线性系统如果是渐近稳定的，必具有大范围渐近稳定性，一般非线性系统的特性与初始扰动条件密切相关，其总是有限的，故通常只能在小范围内渐近稳定。当与无关时，则为大范围一致渐近稳定。

不稳定性不管任意给定的、 有多么小，只要在域内出发的轨迹超出以外，则称此平衡状态为不稳定的，其平面表示见图4-1(c)。线性系统的平衡状态不稳定，表征系统不稳定；非线性系统的平衡状态不稳定，只说明存在局部发散的轨迹，至于是否趋于无穷远，要看域外是否存在其它平衡状态，若存在，如有极限环，则系统仍然是李雅普诺夫意义下稳定的。

定常系统的特征值判据系统 渐近稳定的充要条件是：状态阵的全部特征值位于复平面左半部，即 (4-13) 证明假定有相异特征值，经满秩变换可使对角化，于是，式中第三节线性系统稳定性判据这里提出的是基于李雅普诺夫对有关稳定性的定义、用状态空间描述的线性系统的稳定性判据。

变换后状态方程的解： 由于，故原状态方程的解可表为：利用，故

展开该式，的每一元素 都的线性组合，进而析出写成矩阵多项，对应矩阵记以，故一定可记成的线性组合： (4-14) 该式以显式表出了与的关系。显然，只要式(4-13)成立，式(4-14)中所有指数项随而趋于零，且对任意都成立。如果对某些有，只要，式(4-8)中的相应项将无限增长，此时系统不稳定。如果，表示有零或虚特征值时，式(4-8)中含有常数项或sin 、cos 的项，将使不衰减至零，此时系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。至于A有重根的情况，结论同上。

时变系统的稳定性判据系统 ，由于阵不是常数矩阵，不能采用特征值判据，需用状态转移矩阵的范数（定义为各元素平方和再开方），且有如下充要条件成立，它们均自李雅普诺夫稳定性定义导出。若存在某正常数，对于任意有：若存在某正常数及，对于任意有：

则系统一致渐近稳定。因为 ，故一致稳定；因，故，系统又是渐近稳定的。

根据古典力学中振动现象，若系统能量随时间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，不过寻求实际系统的能量函数相当困难。李雅普诺夫提出，可虚拟一个能量函数，一般它与和t有关，记以；若不显含t，则记以。它是一个标量函数，考虑到能量总大于零，故为一个正定函数。其能量衰减特性用或表征。李雅普诺夫利用及的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求出动态方程的解，故第二法有直接法之称。用此方法解决过一些用其它稳定性判据无法解决的特定非线性系统的稳定性问题，遗憾的是对一般非线性系统仍未形成构造李雅普诺夫函数的一般方法，对线性系统则常用二次型函数作为李雅普诺夫函数。第四节李雅普诺夫第二法稳定性定理

正定性标量函数在域 中对所有非零状态（即）有，且，则称在域内正定。如是正定的。负定性标量函数在域中对所有非零有，且则称在域内负定。则正定的。如是负定的。下面我们不打算对第二法诸稳定性定理在数学上作严格证明，而着重于物理概念的阐述和应用。先简明回顾标量函数正定性概念。

负（正）半定性在域 中的某些状态处有及，其它状态处均有（），则称在域内负（正定）半定。负半定，同正半定。如，有时，；时，故负半定。则为正半定。不定性在域中可正可负，则称不定。如是不定的。若正定，则对于及所有非零状态有，且。其余定义类同。

二次型函数是一类重要的标量函数，记以 ；显然满足；其正定性由赛尔维斯特准则判定：当式中为对称阵的各顺序主子行列式均大于零时，即

正定，且称为正定矩阵。当 的各顺序主子行列式负、正相间时，即负定，且称为负定矩阵。对应主子行列式且含有等于零的情况时，则为负半定或正半定的。不属于以上所有情况者为不定的。

设系统状态方程为 ，其平衡状态满足，即不失一般性地把原点作为平衡状态；在原点邻域存在向量的标量函数，具有连续一阶偏导数。定理一若满足下列条件： 1．正定； 2．负定；则原点是渐近稳定的。浅释：负定表示能量随时间连续单调地衰减，与渐近稳定性定义叙述一致。下面来介绍李雅普诺夫第二法诸稳定性定理。

定理二若满足下列条件： 1．正定； 2．负半定； 3. 负半定表示在非零状态存在 = 0 。在从任意初态出发的轨迹上若存在系统将维持某等能量水平运行而不再衰减，但条件3说明不存在这种情况，状态轨迹只是经历能量不变的状态而不会停留在该状态，系统会继续运行至原点。经校验确知满足条件3，负半定即可渐近稳定；已知负半定，必须校验条件3，才能确定稳定性质。

定理三若满足以下条件： 1．正定； 2．负半定； 3．在非零状态存在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。定理四若满足以下条件： 1．正定； 2．负半定；则原点是不稳定的。浅释：正定表示能量函数随时间增大，故状态在原点邻域发散。对线性系统来说，原点不稳定表示系统不稳定；对非线性系统来说，并不能说明系统一定不稳定。

当正半定，且 在非零状态不恒为零，则原点不稳定；若在非零状态存在恒为零，则原点仍是李雅普诺夫意义下稳定的。满足定理一、二、三可确定渐近稳定或稳定的，习惯上能称李雅普诺夫函数。的选取不唯一，但只要有一个满足了定理所述条件，便可对原点稳定性用出判断，不因选取不同而有所影响。至今尚无构造李雅普诺夫函数的一般方法，这是应用李雅普诺夫稳定性理论的主要障碍，如选取不当，便导致不定，便不能作出确定判断。以上定理按照连续单调衰减的要求来确定稳定性，并未考虑实际稳定系统存在衰减振荡的情况，显见所述条件是偏于保守的，故借稳定性定理判稳定者必稳定，李雅普诺夫稳定性定理所述条件是充分条件。

分析计算时，虚构 ，通常任选一个二次型函数，求其导数，代入所研究的状态方程，再判其负定性等。关于在非零状态有无恒为零的分析，可令及利用状态方程，若能导出非零解，表示非零状态恒为零条件成立；若导出全零解，表示只有原点满足恒为零条件。详见举例。

解令，知原点为平衡。 设，则，显见存在非状（如）使，对于其它任意状态存在，故负半定。非零状态时，是否存在恒为零？令，知，状态方程中，故，其状态解只有全零解，表明非零状态不恒为零，原点是渐近稳定的，且大范围一致渐近稳定。点击观看例4-1设线性系统状态方程为：试判断平衡状态稳定性。

若设，则 ，当时，故不定，应予重选。若设则，显见负定，所得稳定性结论同上。

设， ，显见负半定，且在任意非零状态恒为零，故系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。例 4-2判断下列线性系统的平衡状态稳定性：解原点是平衡状态。

解原点是平衡状态。设， ，由于与无关，显见非零状态有，故正半定。令，知，，由状态方程知，得全零解，表明非零状态不恒为零，故原点不稳定，即线性系统不稳定。例 4-3判断下列线性系统的平衡状态稳定性：

设状态方程为，为 维非奇异矩阵，系统有唯一平衡状态，位于原点。设取如下正定二次型函数作为可能的李雅普诺夫函数： (4-15) 式中为维实对称正定常数矩阵。其且考虑状态方程有： (4-16) 第五节线性系统的李雅普诺夫分析一定常连续系统

(4-17) 令该式称为李雅普诺夫矩阵代数方程，于是有： (4-18) 据渐近稳定定理一，只要正定（即负定），则大范围一致渐近稳定。于是渐近稳定的充分条件表示为：给定一正定，存在一满足式(4-17)的正定。就是该系统的一个李雅普诺夫函数。

当或选取不当时，往往导致 不定，但根据该特定李雅普诺夫函数并不能断定系统稳定性，需另选一个或再行校验。以上先选、后验的步骤可能要进行多次，在实用上是缺陷的，于是有如下定理进行渐近稳定性的判断。定理系统的渐近稳定的充要条件为：给定一正定实对称矩阵，有唯一正定实对称矩使 (4-19) 成立。就是的系统的一个李雅普诺夫函数。

证明充分性。由于正定， 是正定二次型函数，其导数为：由于正定，必负定二次型函数，故的平衡状态具有渐近稳定性。必要性。即证明渐近稳定系统对于任意给定的正定对称矩阵，其有唯一正定对称解。首先来验证对于任意给定的正定对称矩阵，下式 (4-20) 是式(4-19)的一个解。只需将式(4-20)代入式(4-19)左端：

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