探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力 , 主要包括规律探索问题、动态探索问题、结论探索问题和存在性探索问题 .

3. 探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力,主要包括规律探索问题、动态探索问题、结论探索问题和存在性探索问题.探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力,主要包括规律探索问题、动态探索问题、结论探索问题和存在性探索问题. (1)规律探索问题通常考查数的变化规律，然后用代数式表示这一规律，或者根据规律求出相应的数值.解题时，要通过观察、猜想、验证等步骤，应使所得到的规律具有普遍性，只有这样才能应用与解题.

4. (2)动态探索问题通常与几何图形有关，给出相应的背景，设置一个动态的元素，在此基础上，探索其中的位置关系或数量关系，解题时应化动为静. (3)结论探索问题，通常给出相应的条件，然后探索未知的结论.解题时，首先结合已知条件，大胆猜想，然后经过推理论证，最后作出正确的判断，切忌想当然的确定结论. (4)存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断.

6. 规律探索问题 规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.

7. 【例1】(2010·铁岭中考)有一组数： …,请观 察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n(n为正整数)个数为_______.

8. 【思路点拨】 【自主解答】经观察发现，分子是连续的奇数，即2n-1,分母是序数的平方加1，即n2+1，因此第n个数为 答案：

9. 1.(2010·湛江中考)观察算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，38＝6 561，… ….通过观察，用你所发现的规律确定32 002的个位数字是( ) (A)3 (B)9 (C)7 (D)1 【解析】选B.经观察可知，3n的个位数字按照3、9、7、1；3、9、7、1；3、9、7、1…的规律循环，而2 002÷4= 500……2，因此32 002的个位数字是9.

10. 2.(2011·山西中考)如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案(1)需要4根棒，图案(2)需要10根小棒……，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒_____根(用含有n的代数式表示).2.(2011·山西中考)如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案(1)需要4根棒，图案(2)需要10根小棒……，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒_____根(用含有n的代数式表示).

11. 【解析】本题考查的是规律探索题目，可以结合图形从不同方向研究其变化规律.如从第二个图形开始，图案都是由两层构成，上面的层数共有4n个小棒，下面小菱形个数比上面少一个，每个小菱形只需再加2根小棒，即下层共需2(n-1)根，所以第n个图案需要4n+2(n-1),即(6n-2)根小棒.【解析】本题考查的是规律探索题目，可以结合图形从不同方向研究其变化规律.如从第二个图形开始，图案都是由两层构成，上面的层数共有4n个小棒，下面小菱形个数比上面少一个，每个小菱形只需再加2根小棒，即下层共需2(n-1)根，所以第n个图案需要4n+2(n-1),即(6n-2)根小棒. 答案：(6n-2)

12. 3.(2011·成都中考)设 则S=______(用含n的代数式表示，其中n为正整数).

13. 【解析】通过探索规律可得 答案：

14. 动态探索问题 动态探索问题的特点是：以几何图形为背景，讨论某个元素的运动变化，探索其中隐含的规律，如线段关系、角度大小、面积关系、函数关系等.在解决动态问题时，要抓住不变的量，找出其中的规律,同时还应该考虑到，当动态元素去某一位置时，“动”则变为“静”，从而化动为静.

15. 【例2】(2010·泰安中考)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.【例2】(2010·泰安中考)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.

16. (1)求证：△PDQ是等腰直角三角形； (2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由. 【思路点拨】(1)利用三角形全等证明PD=QD和∠PDQ=90°. (2)结合正方形的判定方法以及题目的已知条件，探索当点P运动到何处时，满足正方形的条件.

17. 【自主解答】(1)连接AD. ∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点, ∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B. 又∵BP=AQ,∴△BPD≌△AQD. ∴PD=QD，∠BDP=∠ADQ. ∵∠BDP+∠ADP=90°, ∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°. ∴△PDQ为等腰直角三角形.

18. (2)当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形,(2)当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形, 由(1)知△ABD为等腰直角三角形, 当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°. 又∵∠BAC=90°，∠PDQ=90°, ∴四边形APDQ为矩形. 又∵DP=AP= AB, ∴四边形APDQ为正方形.

19. 4.(2011·益阳中考)如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是( )

21. 【解析】选C.小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l先变短再变长，只有选项C符合这一变化过程.【解析】选C.小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l先变短再变长，只有选项C符合这一变化过程.

22. 5.(2010·河南中考)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的5.(2010·河南中考)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的 中点，AD=5，BC=12，CD= ，∠C=45°，点P是BC边上一动 点，设PB的长为x. (1)当x的值为______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形； (2)当x的值为______时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

23. (3)点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.(3)点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.

24. 【解析】(1)3或8 (2)1或11 (3)能,理由如下:由(2)知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形, ∴EP=AD=5. 过D作DF⊥BC于F，∵∠C=45°,CD= , ∴DF=FC=4， ∴EF=EC-FC=6-4=2, ∴FP=EP-EF=5-2=3， ∴DP=

25. ∴EP=DP,故此时平行四边形PDAE是菱形. 即以点P、A、D、E为顶点的四边形是菱形.

26. 结论探索问题 结论探索问题主要是指根据条件，结合已学的相关知识、数学思想方法，通过归纳分析逐步得出结论，或通过观察、试验、猜想、论证等方法求解.这类问题的解决特别强调数形结合思想的运用.

27. 【例3】(2010·蚌埠中考)已知如图1,⊙O过点D(3，4),点H与点D关于x轴对称，过H作⊙O的切线交x轴于点A.【例3】(2010·蚌埠中考)已知如图1,⊙O过点D(3，4),点H与点D关于x轴对称，过H作⊙O的切线交x轴于点A. (1)求sin∠HAO的值；

28. (2)如图2，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点(与点P不重合)，连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin∠CGO的大小怎样变化，请说明理由.(2)如图2，设⊙O与x轴正半轴交点为P，点E、F是线段OP上的动点(与点P不重合)，连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交x轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin∠CGO的大小怎样变化，请说明理由.

29. 【思路点拨】(1)连接OH, 过点H作HP⊥y轴于点P，构造直角三角形，利用勾股定理求出线段的长，然后利用等角，求出sin∠HAO的值. (2)过点D作DM⊥EF于M，并延长DM交⊙O于N，连接ON，交BC于T，利用等腰三角形的性质以及圆的轴对称性，证明∠CGO =∠MNO，而sin∠MNO的值不变.

30. 【自主解答】(1)如图所示：连接OH,过点H作HP⊥y轴于点P，则根据题意可知OP=4,PH=3,则OH=5.【自主解答】(1)如图所示：连接OH,过点H作HP⊥y轴于点P，则根据题意可知OP=4,PH=3,则OH=5. ∵AH为⊙O的切线,∴OH⊥AH. 又∵∠AOP=90°,∴∠HAO=∠HOP. 因此sin∠HAO=sin∠HOP=

31. (2)当E、F两点在OP上运动时(与点P不重合)，sin∠CGO的值不变.(2)当E、F两点在OP上运动时(与点P不重合)，sin∠CGO的值不变. 过点D作DM⊥EF于M，并延长DM交⊙O于N， 连接ON，交BC于点T. 因为△DEF为等腰三角形，DM⊥EF， 所以DN平分∠BDC, 所以 所以OT⊥BC， 所以∠CGO+∠GOT=∠GOT+∠MNO=90°,

32. 所以∠CGO =∠MNO, 所以sin∠CGO =sin∠MNO= 即当E、F两点在OP上运动时(与点P不重合)，sin∠CGO的值不变.

33. 6.(2010·青海中考) 观察探究，完成证明和填空. 如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形.

34. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：

35. 当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是_____；当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是_____； 当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是___________； 当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是___________； 当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是_________； (3)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的？

36. 【解析】(1)连接BD. ∵E、H分别是AB、AD的中点， ∴EH是△ABD的中位线, ∴EH＝ BD，且EH∥BD. 同理得FG＝ BD，且FG∥BD. ∴EH＝FG，且EH∥FG. ∴四边形EFGH是平行四边形. (2)填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形. (3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的.

37. 7.(2011·菏泽中考)我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20-10)=1(元)，因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元.7.(2011·菏泽中考)我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20-10)=1(元)，因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元.

38. (1)求一次至少买多少只，才能以最低价购买? (2)写出该专卖店当一次销售x(只)，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围; (3)若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？

39. 【解析】(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有：【解析】(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有： 0.1(x-10)=20-16，解这个方程得x=50; 答：一次至少买50只，才能以最低价购买. (2)y=

40. (3)将y= +8x配方得y= (x-40)2+160， 所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元.(也可用公式法求得)

41. 存在性探索问题 存在性探索问题是指满足某种条件的事物是否存在的问题，这类题目的一般解题规律是：假设存在→推理论证→得出结论.若能推导出合理的结论，就作出“存在” 的判断，若推导出不合理的结论，或与已知、已证相矛盾的结论，则作出“不存在”的判断.

42. 【例4】(2010·陕西中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A(-1,0)，B(3,0),C(0，-1)三点.【例4】(2010·陕西中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A(-1,0)，B(3,0),C(0，-1)三点.

43. (1)求该抛物线的表达式； (2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标. 【思路点拨】

44. 【自主解答】(1)设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,【自主解答】(1)设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 根据题意，将A、B、C三点的坐标代入 得 解得 ∴所求抛物线的表达式为

45. (2)

46. ①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可. 又知点Q在y轴上， ∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1,P2. 而当x=4时，y= ；当x=-4时，y=7，此时 P1(4， ),P2(-4,7).

47. ②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可,又知点Q在y轴上，且线段AB中点的横坐标为1,②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可,又知点Q在y轴上，且线段AB中点的横坐标为1, ∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3. 而当x=2时,y=-1，此时P3(2，-1). 综上，满足条件的点P的坐标为(4， )或(-4,7)或(2，-1).

48. 8.(2010·南通中考)在平面直角坐标系xOy中，已知点8.(2010·南通中考)在平面直角坐标系xOy中，已知点 P(2，2)，点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有( ) (A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个 【解析】选B.以OP为底边时，Q点的坐标是(0，2)，以OP为腰 时，Q点的坐标是(0，4)或(0， )或(0， ).

49. 9.(2011·江津中考)A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是(2，2)，点B的坐标是(7，3).9.(2011·江津中考)A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是(2，2)，点B的坐标是(7，3).

50. (1)一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标.(1)一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标. (2)若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标.