南靖四中：柯江海

1. 导数及其运用 南靖四中：柯江海

2. (3)(lnx)= , (logax)=logae; 1 1 x x 1.几种常见函数的导数 (1)c=0(c为常数), (xn)=nxn-1(nQ); (2)(sinx)=cosx, (cosx)=-sinx; (4)(ex)=ex, (ax)=axlna.

3. 2.导数的意义 函数y=f(x)在点x0 处的导数f(x0), 就是曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率k, 即: k=tan=f(x0). 相应的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0). (1)几何意义: 函数S=s(t)在点t0 处的导数s(t0), 就是当物体的运动方程为S=s(t)时, 物体运动在时刻t0 时的瞬时速度v, 即: v=s(t0). 设v=v(t)是速度函数, 则v(t0)表示物体在时刻t=t0 时的加速度. (2)物理意义:

4. 3.利用导数求曲线的切线斜率，切点坐标，曲线方程中的待定系数．3.利用导数求曲线的切线斜率，切点坐标，曲线方程中的待定系数． 1）. 已知曲线上一点的坐标，求曲线在这点处的切线方程的一般步骤： （1）根据导数的几何意义，求出曲线在一点处的切线斜率；（2）利用直线的点斜式方程，写出切线方程． 1.曲线 处的切线方程是（ ） 在点

5. (2).已知曲线在一点处切线的斜率，求切点坐标的一般步骤：(2).已知曲线在一点处切线的斜率，求切点坐标的一般步骤： （1）设切点坐标； （2）根据导数的几何意义，求出曲线在这点处切线斜率关于切点坐标的表达式； （3）列关于切点坐标的方程，求出切点坐标． （2）若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程是（ ）

6. (3).如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行, 求切点坐标与切线方程. 解: ∵切线与直线y=4x+3平行, ∴切线斜率为4. 又切线在x0 处斜率为y|x=x0 =(x3+x-10)|x=x0 =3x02+1. ∴3x02+1=4. ∴x0=1. 当x0=1时, y0=-8; 当x0=-1时, y0=-12. ∴切点坐标为(1, -8)或(-1, -12). 切线方程为y=4x-12或y=4x-8.

7. 4.函数的单调性 (1)(函数单调性的充分条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果f(x)>0, 则y=f(x)为增函数, 如果f(x)<0, 则y=f(x)为减函数, (2)(函数单调性的必要条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果f(x)在该区间单调递增(或减), 则在该区间内f(x)≥0 (或f(x)≤0). 注当f(x)在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正(或负)时, f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的. 例f(x)=x3 在(-1, 1)内, f(0)=0, f(x)>0(x0). 显然f(x)=x3 在(-1, 1)上仍旧是增函数.

8. (3).利用导数判断单调性的一般步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数f(x); (3)求f(x)=0的根; (4)用f(x)=0的根将f(x)的定义域分成若干个区间, 列表考查各区间上f(x)的符号, 进而确定f(x)的单调区间.

9. 设f(x)=x3- x2-2x+5. 求函数f(x)的单调递增、递减区间. 令f(x)<0得- <x<1; 令f(x)>0得x<- 或x>1. ∴y=f(x)的单调递减区间是(-, 1); 单调递增区间是(-∞, -)和(1, +∞). 2 1 2 2 2 3 2 3 3 3 解:由已知f(x)=3x2-x-2,

10. a<0, △=36+12a<0. =-3(x-)3+ , 1 8 9 3 典型例题 已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数, 求a的取值范围. 解: 由已知, f(x)=3ax2+6x-1. 当f(x)<0(xR)时, f(x)是减函数. 而3ax2+6x-1<0(xR) a<-3. 又当a=-3时, f(x)=-3x3+3x2-x+1 由y=x3在R上为增函数知, a=-3时, f(x)(xR)是减函数. 当a>-3时, 在R上存在一个区间, 其上有f(x)>0, ∴当a>-3时, f(x)不是减函数. 综上所述, a的取值范围是(-∞, -3].

11. 2.函数极值的定义 设函数f(x)在点x0 及其附近有定义, 如果对x0 附近的所有点, 都有f(x)<f(x0), 我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值, 记作: 如果对x0附近的所有点, 都有f(x)>f(x0), 就说f(x0) y极大值=f(x0); 是函数f(x)的一个极小值, 记作: y极小值=f(x0), 极大值与极小值统称为极值. 3.判断f(x0)是极值的方法 一般地, 当函数f(x)在点x0 处连续时 (1)如果在x0 附近的左侧 f(x)>0, 右侧 f(x)<0, 那么f(x0)是 极大值; (2)如果在x0 附近的左侧 f(x)<0, 右侧 f(x)>0, 那么f(x0)是 极小值. 4.求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域;

12. (2)求导数f(x); (3)求方程f(x)=0的根; (4)检查f(x)在方程f(x)=0的根左右的值的符号, 如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取得极小值.（常采用列表的方法） 5.函数的最大值与最小值 在闭区间[a, b]上连续的函数f(x)在[a, b]上必有最大值与最小值. 但在开区间(a, b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值, 例如f(x)=x, x(-1, 1). 6.设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 求f(x)在[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求f(x)在(a, b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a), f(b)比较, 其中最大的一个是最大　 值, 最小的一个是最小值.

13. (2)由f(-1)=0得, a= . 由f(x)=0得, x=-1或. 50 ∵f(-2)=0, f(-1)= , f( )=-, f(2)=0, 27 4 4 ∴f(x)在[-2, 2]上的最大值为 , 最小值为- . 3 3 1 9 9 2 2 2 50 27 典型例题2 已知a为实数, f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求导函数f(x); (2)若f(-1) =0, 求f(x)在[-2, 2]上的最大值和最小值; (3)若f(x)在(-∞, -2]和[2, +∞)上都是递增的, 求a的取值范围. ∴f(x)=3x2-2ax-4. 解: (1)由已知f(x)=x3-ax2-4x+4a, ∴f(x)=3x2-x-4. (3)∵f(x)的图象为开口向上的抛物线且过点(0, -4), ∴由题设得f(-2)≥0且f(2)≥0. ∴-2≤a≤2. ∴8+4a≥0且8-4a≥0. 故a的取值范围是[-2, 2].

14. 典型例题3 已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数, 当x=1时, f(x) 取得极值-2. (1)求f(x)的单调区间和极大值; (2)证明: 对任意x1, x2(-1, 1), 不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立. (1)解:∵函数f(x)是R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d对xR恒成立. f(x)=3ax2+c. ∴d=0. ∴f(x)=ax3+cx, ∴f(1)=-2且f(1)=0. ∵当x=1时, f(x)取得极值-2, ∴a+c=-2且3a+c=0. ∴a=1, c=-3. ∴f(x)=3x2-3. 由f(x)<0得-1<x<1; 由f(x)>0得x<-1或x>1. ∴f(x)在(-∞, -1)上是增函数, 在(-1, 1)上是减函数,在 (1, +∞)上是增函数. ∴当x=-1时, f(x)取得极大值f(-1)=2. 故函数f(x)的单调递减区间是(-1, 1), 单调递增区间是 (-∞, -1) 和(1, +∞); f(x)的极大值为2.

15. 典型例题3 已知函数f(x)=ax3+cx+d(a0)是R上的奇函数, 当x=1时, f(x) 取得极值-2. (1)求f(x)的单调区间和极大值; (2)证明: 对任意x1, x2(-1, 1), 不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立. (2)证: 由(1)知f(x)=x3-3x在[-1, 1]上是减函数, 且f(x)在[-1, 1]上的最大值M=f(-1)=2, f(x)在[-1, 1]上的最小值m=f(1)=-2, ∴对任意x1, x2(-1, 1), 不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.

16. 5 5 9 9 2 2 2 2 由①, ②得: a= , c=- . ∴f(x)= x4- x2+1. 典型例题4 偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0, 1), 且在x=1处的切线方程为y=x-2, (1)求y=f(x)的解析式; (2)求y=f(x)的极大(小)值. 解: (1)∵f(x)是偶函数, ∴b=d=0. ∴e=1. 又f(x)的图象过点P(0, 1), 此时f(x)=ax4+cx2+1, f(x)=4ax3+2cx. ∵函数在x=1处的切线方程为y=x-2, 切线的斜率为1. ∴1=f(1)=4a+2c. 即4a+2c=1. ① ∵切线的切点在曲线上, ∴a+c+1=-1. ②

17. x=0或 . 10 - 0 ( ,+∞) (- , 0) (0, ) 由上表可知: 当x= 时, f(x)极小值=- ; 11 3 3 3 3 3 3 10 10 10 10 10 10 (-∞, - ) 3 10 3 10 10 10 典型例题4 偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0, 1), 且在x=1处的切线方程为y=x-2, (1)求y=f(x)的解析式; (2)求y=f(x)的极大(小)值. 解: (2)由(1)知, f(x)=10x3-9x. 由f(x)=0得: 当x变化时, f(x), f(x)的变化情况如下表: 极小值 极大值 极小值 当x=0时, f(x)极大值=1.

18. 已知向量a=(x2,x+1), b=(1-x,t). 若函数f(x)=ab在区间(-1, 1)是增函数, 求t的取值范围. ∵g(x)的图象是开口向上的抛物线, 对称轴为直线x= , 1 3 典型例题 5 =-x3+x2+tx+t. 解:由题设f(x)=x2(1-x)+t(x+1) ∴f(x)=-3x2+2x+t. ∵函数f(x)在区间(-1, 1)是增函数, ∴f(x)≥0, 即-3x2+2x+t≥0, 亦即t≥3x2-2x对x(-1, 1)恒成立. 考虑函数g(x)=3x2-2x, x(-1, 1). 故t≥3x2-2x对x(-1, 1)恒成立等价于t≥g(-1), 即t≥5. 而当t≥5时, f(x)在(-1, 1)上满足f(x)>0, 即f(x)在(-1, 1)是增函数, 故t的取值范围是[5, +∞).

19. 2 2 2 2 3 3 3 3 y o x 令f(x)=0得, x=0或x=-a. 故由已知可得当x=-a时, 函数有极小值-4. ∴-4=(-a)3+a(-a)2. 典型例题 6 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图所示, 且与x轴在原点相切, 若函数极小值为-4, (1)求a, b, c的值; (2)求函数的递减区间. 解: (1)∵函数f(x)的图象过原点, ∴c=0. ∵函数f(x)的图象与直线y=0相切, f(x)=3x2+2ax+b, ∴f(x)=3x2+2ax. ∴0=f(0)=302+2a0+b. ∴b=0. 解得a=-3. 故a, b, c的值分别为-3, 0, 0. (2)由(1)知f(x)=3x2-6x=3x(x-2). 令f(x)<0得 0<x<2. ∴函数的递减区间为(0, 2).

20. 某厂生产某种产品, 已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p=24200-x2, 且生产x吨的成本为R=50000+200x元. 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大? 最大利润是多少?(利润=收入-成本) y=(24200-x2)x-(50000+200x) 由y=-x2+24000=0得 -2003+24000200-50000 =-x3+24000x-50000. 1 1 1 1 3 5 5 5 5 5 导数的应用举例 解:设每月生产x吨的利润为y元, 则x≥0, 且 x=200(-200舍去). ∵在[0, +∞)上只有一个点x=200使y=0, ∴它就是最大值点, 且最大值为 =3150000(元). 故每月生产200吨产品时利润最大, 最大利润是315万元.