DESCRIPCION DE SISTEMAS

1. DESCRIPCION DE SISTEMAS Tema 2 Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

2. Indice • Sistemas en Tiempo Continuo • Sistemas Lineales e Invariantes • Transformada de Laplace • Función de Transferencia • Diagramas de Bloques • Espacio de Estado Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

3. Sistemas en Tiempo Continuo • Un sistema en tiempo continuo viene caracterizado por magnitudes o señales que toman valor en cada instante de tiempo • Señales continuas frecuentes escalon impulso Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

4. Sistemas en Tiempo Continuo exponencial rampa senoidal Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

5. Sistemas en Tiempo Continuo • Descripcion de STC en base a ecuaciones diferenciales con F en general no lineal. • Particularización al caso de F combinación lineal de salidas y entradas • Objetivo: Determinación de la salida y(t) a partir de la entrada u(t) (solución de la ecuaciones diferenciales) Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

6. Sistemas Lineales e Invariantes • Los sistemas lineales poseen la propiedad de superposición: la respuesta del sistema ante un conjunto de entradas simultáneas se puede descomponer en la suma de las respuestas individuales Sistema Lineal Sistema Lineal Sistema Lineal Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

7. Sistemas Lineales e Invariantes • Un sistema en tiempo continuo definido mediante ecuaciones diferenciales se dice que es lineal si se puede expresar como una combinación lineal de derivadas de la salida y la entrada en la forma donde y son constantes o funciones del tiempo t . En el caso de que los coeficientes no dependan explícitamente del tiempo el sistema se dice que es invariante en el tiempo. Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

8. Sistemas Lineales e Invariantes • En el caso de que los coeficientes no cumplan las condiciones reseñadas anteriormente los sistemas se denominan No-lineales. • En Física, la mayor parte de las relaciones que definen a un sistema son No-lineales, y es más, los sistemas lineales son una particularización de los sistemas No-lineales en rangos limitados de operación. • Algunos tipos de relaciones No-lineales :valor absoluto, saturación, espacio muerto, relé ideal,… • La característica más importante de los sistemas No-lineales y a la vez limitante es la no aplicación del principio de superposición. Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

9. Sistemas Lineales e Invariantes No Linealidades comunes Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

10. Sistemas Lineales e Invariantes • La solución de los sistemas No-lineales presenta las siguientes limitaciones: 1. No son generalizables, esto es, las conclusiones extraídas solo son válidas para las condiciones iniciales y parámetros con que han sido determinadas. 2. No existen soluciones analíticas, por lo que se han de obtener en forma numérica mediante simulación. • La técnica de linealización consiste en desarrollar formas linealizadas de los sistemas No-lineales originales en torno a un punto llamado de operación nominal mediante técnicas de aproximación. • La forma linealizada obtenida será válida solo para pequeñas variaciones en torno al punto de operación nominal. Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

11. Transformada de Laplace Transformada Directa de Laplace • La técnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, transformando estas en ecuaciones algebraicas lineales. • La transformada de Laplace de una función se define como pasando del dominio temporal al dominio complejo , siendo el par funcion-transformada. Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

12. Transformada de Laplace • Propiedades de la Transformada de Laplace • Se exponen un conjunto de propiedades de la transformada que harán más fácil su cálculo. 1. Linealidad 2. Desplazamiento 3. Amortiguación 4. Derivacion Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

13. Transformada de Laplace En el caso más general 5. Integración 6. Multiplicación por potencias de t 7. Producto 8. Teorema del Valor Final Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

14. Transformada de Laplace Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

15. Transformada de Laplace Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

16. Transformada de Laplace • La aplicación de la transformada de Laplace a las ecuaciones diferenciales que definen a un sistema lineal e invariante conducen a un conjunto de ecuaciones algebraicas en s Transformada Inversa de Laplace • La transformada inversa de Laplace recupera una función a partir de su transformada , según • El cálculo de la transformada inversa no se suele hacer según su fórmula de definición, sino aprovechando el conocimiento de la transformada directa. Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

17. Transformada de Laplace • En la mayoría de las situaciones que se van a encontrar, la cuya transformada inversa se quiere hallar es una función racional con • El cálculo de la transf. inversa se realizará descomponiendo Y(s) en fracciones simples. Para ello se calculan las raíces del denominador D(s) = 0. • La resolución de esta ecuación llamada ecuación característica da como resultado un conjunto de raíces con grados de multiplicidad , en general complejas. Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

18. Transformada de Laplace • La descomposición en fracciones se hará de la forma • El cálculo de los coeficientes se hará por igualación o mediante el método de los residuos, tal que: 1) para raíces con grado de multiplicidad 1 (simples), 2) para raíces con grado de multiplicidad rj (repetidas) Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

19. Transformada de Laplace Una vez determinadas las Kij se procederá a calcular y(t) utilizando las relaciones expuestas en la tabla de transformadas de Laplace aplicadas a las fracciones simples obtenidas de la descomposición, tal que: 1) para raíces reales simples 2) para raíces reales múltiples 3) para raíces complejas simples Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

20. Función de Transferencia • La función de transferencia de un sistema lineal e invariante G(s) está definida como la relación entre la transformada de Laplace de la salida Y(s) y la transformada de la entrada U(s), bajo la suposición de condiciones iniciales nulas, tal que • Para el sistema tomando transformadas en ambos miembros • La función de transferencia es una propiedad del sistema en sí, ya que no depende de la entrada al sistema. Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

21. Función de Transferencia • Se pasa pues de representar un sistema que viene dado por su ecuación diferencial en la forma de función de transferencia. • Esta forma de representación corresponde a la descripción externa, la cual no provee ninguna información de la estructura interna del sistema. Más aún, la función de transferencia de sistemas distintos puede ser la misma (sistemas análogos). • A la potencia más alta del denominador de G(s) (ecuación característica) se le denomina orden del sistema • A las raíces de la ecuación característica se le denominan polos del sistema, mientras que a las raíces del numerador se le llaman zeros del sistema. Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

22. Función de Transferencia • Si un sistema tiene varias entradas y/o varias salidas existe una matriz de transferencia cuyos elementos relacionan cada salida Yi(s) con cada entrada Uj(s), cuando las demás entradas son nulas Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

23. Función de Transferencia • Por tanto, las funciones de salida serán Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

24. Diagramas de Bloques • Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones realizadas por cada uno de sus componentes y sus interrelaciones. En un diagrama de bloques las variables del sistema se enlazan entre sí a través de bloques funcionales. • El bloque simboliza la operación matemática que el bloque produce a la salida sobre la señal de entrada, expresada como func. de transferencia • Ademas de los bloques funcionales aparecen también el punto de suma y el punto de reparto Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

25. Diagramas de Bloques • El diagrama de bloques se obtiene a partir de las ecuaciones dinámicas que describen el comportamiento de cada componente a las que previamente se las aplica la transf. de Laplace, conectando finalmente los componentes del diagrama de bloques completo • A partir del diagrama de bloques de un sistema se pueden realizar modificaciones con objeto de simplificar o reducir el diagrama original, hasta quedar un solo bloque equivalente. • Reducción del diagrama de bloques original por aplicación de las reglas del algebra de bloques Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

26. Diagramas de Bloques Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12

27. Diagramas de Bloques Ing.Sist. sgp@isa.uma.es (i116-d El Ejido) 952-13-14-12