Clase 6. Teoría básica de campos radiativos

1. Clase 6. Teoría básica de campos radiativos 1. Campos electromagnéticos Las definiciones operacionales de E(r,t) y B(r,t) se hacen a través de la fuerza ejercida sobre una partícula de carga q y velocidad v: Trabajo por unidad de tiempo hecho por el campo: Usando la expresión tenemos

2. 1.1 Generalización a un elemento de volumen con muchas cargas. Fuerza por unidad de volumen: donde es la densidad de carga es la densidad de corriente. y Tasa de trabajo hecho por el campo por unidad de volumen: Usando la ecn.(1)  donde Umec es la energia mecanica por unidad de volumen.

3. Las ecns. que relacionan E, B,  y j son las ecns.de Maxwell: (M1) (M2) (M3) (M4) donde D=E, B=H. Una consecuencia inmediata de estas ecns. es la ecuación de conservación de carga:

4. 2. Densidad de energía y flujo de energía del campo electromagnético. Considere el trabajo por unidad de volumen hecho en una distribución de partículas. Usando (M4), se tiene que Usando la identidad vectorial, y M(3)  Si  y  son independientes del tiempo:

5.  relacion que corresponde al teorema de Poynting en forma diferencial. Tasa de cambio de energía mecánica por unidad de volumen + tasa de cambio de energía del campo electromagnético por unidad de volumen = - divergencia del flujo de energía. Energía electromagnética por unidad de volumen: Vector de flujo electromagnético (vector de Poynting):

6. Integrando (3) sobre un elemento de volumen y usando el teorema de la divergencia:  Tasa de cambio de la energía total = flujo de energía a través de la superficie  Hagamos que la superficie , y consideremos el caso electroestático y magnetostático donde E y B son  r-2 cuando r . En este caso S  r-4 , y ya que dA  r2 , entonces  SdA 0.

7. Por otro lado, para campos que varían con el tiempo E y B son  r-1, de manera que  SdA cte cuando r . Esta cantidad finita de energía que fluye hacia afuera a grandes distancias es lo que se denomina radiación. Las partes de E y B  r-1 constituyen el campo de radiacion. 3. Ondas electromagnéticas planas. Las ecns. de Maxwell en el vacio son (4) (5) (6) (7) Una característica básica de estas ecns. es la existencia de ondas que se propagan transportando energía.

8. Tomando  ecn.(6) y usando la ecn.(7), tenemos Usando la identidad vectorial y la ecn.(4)  La misma ecn. es valida para B (las ecns. 4-7 son invariantes bajo la transformación EB y B-E). Consideremos soluciones del tipo: donde a1 y a2 son vectores unitarios, E0 y B0 son constantes complejas, k =kn es el vector de onda, y  la frecuencia.

9. Este tipo de solución representa ondas que viajan en la dirección n, ya que superficies de fase constante avanzan en la dirección n a medida que transcurre el tiempo. Substituyendo en las ecns. de Maxwell, y teniendo en cuenta que para se tiene que: obtenemos (8) (9) (10) (11)

10. De las relaciones (8) y (9), se deduce que y de las relaciones (10) y (11), se deduce que Ademas de las relaciones (10) y (11), tenemos   y Por lo tanto:

11. Derivando la fase del frente de onda con respecto al tiempo, tenemos donde vph es la velocidad de fase. Por lo tanto, es decir en el vacío las ondas se propagan con la velocidad de la luz. 4. Flujo de energía y densidad de energia. Ya que E y B varian sinusoidalmente en el tiempo, el vector de Poynting y la densidad de energía varían en el tiempo. La cantidad medida sin embargo corresponde a un promedio temporal. Si A(t) y B(t)  C y además tienen la misma dependencia sinusoidal en el tiempo, entonces:

12. Por lo tanto el promedio temporal del vector de Poynting es y ya que E0=B0 , se tiene que Similarmente, el promedio temporal de la densidad de energía es  La velocidad del flujo de energía es entonces:

14. 5. Ondas electromagnéticas en un plasma Consideremos la propagación de ondas en un plasma, es decir un gas ionizado pero globalmente neutro. 5.1 Dispersión en un plasma isotrópico. Veremos que las ecns. de Maxwell tienen la misma forma que para el vacío, debiendo ahora de tomarse en cuenta explícitamente la densidad de carga  y la densidad de corriente j debida al plasma. Suponiendo que la variación espacial y temporal de las variables involucradas tienen la forma ei(kr-wt), y recordando que para , se tiene que y entonces las ecns. de Maxwell se pueden escribir como (A es un vector cualquiera, como E y B, y no el vector potencial)

15. (12) (13) (14) (15) Supongamos que el plasma consiste de electrones con densidad ne y que no hay campos magnéticos externos. Los iones son despreciados pues por su gran masa son mucho menos móviles que los electrones. Cada electrón responde al campo eléctrico de acuerdo a la ley de Lorentz: donde hemos despreciado la fuerza magnética (del orden de v/c).

16. En términos de las cantidades oscilantes, Desfasamiento de p/2 La densidad de corriente es entonces  es la conductividad (¿porqué es imaginaria?). De la ecn. de conservación de carga, tenemos de manera que

17. Reemplazando en las ecns. de Maxwell, encontramos Introduciendo la cte. dieléctrica, , tenemos que (20) (21) (22) (23)

18. Estas ecns. son equivalentes a las del vacío y pueden ser resueltas en la misma forma. Se encuentra que k, E, y B forman un conjunto ortogonal de vectores. De las ecns. (22) y (23), tenemos y por lo tanto la relación de dispersión entre k y  es ahora (24)

19. Substituyendo la relación (17) en la relación (19) tenemos, o donde p es la frecuencia del plasma, definida por Numéricamente, Reemplazando (25) en (24), y por lo tanto

20. En el caso en que <p, el número de onda k es imaginario, y por lo tanto la amplitud de la onda decrece exponencialmente en una escala de distancia del orden de 2c/ p. p define una frecuencia límite bajo la cual no hay propagación de ondas electromagnéticas (la llamada frecuencia del plasma). Discutir Radio AM vs. FM. Cuando  > p hay propagación de ondas electromagnéticas con una velocidad de fase, donde nr es el índice de refracción y está dado por Note que la velocidad de fase excede la velocidad de la luz.

21. Por otro lado, la velocidad de grupo, que es la velocidad a la cual la onda de energía viaja, es y por lo tanto siempre menor que c. 6.6 Dispersión de la señal en pulsares Los pulsos de un pulsar tienen un espectro que cubre una amplia banda de frecuencias. Por lo tanto el pulso será dispersado en su interacción con el plasma interestelar ya que cada frecuencia tiene una velocidad de grupo diferente. Supongamos que el pulsar se encuentra a una distancia d. El tiempo que se demora un pulso en llegar a la Tierra es

22. donde s mide la distancia a lo largo de la línea de la visual entre el pulsar y la Tierra. Las frecuencias de plasma en el medio interestelar son generalmente muy bajas ( 103 Hz), y podemos asumir que p. En este caso Reemplazando en la expresión (26), obtenemos El primer término corresponde al tiempo de tránsito en el vacío y el segundo a la corrección debido al plasma. Lo que efectivamente se observa es la tasa de cambio del tiempo de llegada como función de la frecuencia: donde 0d ne ds se denomina la medida de dispersión.

23. B0329

24. B0329 Crab

25. Arecibo WAPP Un Pulso del Pulsar del Cangrejo Dispersado S ~ 160 x Crab Nebula ~ 200 kJy Detectable a ~ 1.5 Mpc con Arecibo

26. Rotación de Faraday Si hay campo magnético, la ecuación de movimiento es: Escogemos los dos modos de polarización circular: donde – es polarización circular derecha y + es polarización circular izquierda donde es la frecuencia ciclotrónica

27. La constante dieléctrica en este caso queda: Lo cual produce una rotación del eje de polarización lineal dado por: donde es la componente del campo magnético paralela a la línea de visión y la integral es la llamada medida de rotación. La combinación de la medida de dispersión y de la medida de rotación permiten estimar n y B promediadas en la línea de visión

29. Podemos estudiar el campo magnético del halo galáctico RM distribution Pulsars Pulsares y fuentes extragalácticas como sondas

30. To study halo field:unique to our Galaxy Extragalactic Radio Sources RM distribution <B> away from us RM<0 RM>0 <B> to us

31. Magnetic field configurations for basic dynamos A0 S0 S1

32. Anti-symmetric RM sky: A0 dynamo(Han et al. 1997 A&A322, 98) Evidence for global scale • High anti-symmetry to the Galactic coordinates • Only in inner Galaxy • nearby pulsars show it at higher latitudes Implications • Consistent with field configuration of A0 dynamo • The first dynamo mode identified on galactic scales Bv

33. Datos sin publicar de Han et al.

35. 7. Potenciales electromagnéticos Debido a la forma de las ecns. de Maxwell es posible expresar E y B en términos de un potencial escalar (r,t) y de un potencial vectorial A(r,t). De la ecn. de Maxwell B=0 se infiere que B puede ser expresado como el rotacional de un campo vectorial A, La ecn. (M3) puede entonces ser escrita como, Por lo tanto podemos expresar el término en paréntesis como el gradiente de un campo escalar - o De esta manera dos de las ecns. de Maxwell se satisfacen idénticamente en virtud de las definiciones.

36. La ecn. (M1) puede escribirse como, donde =libres+ligadas. Esta expresion puede re-escribirse como, Por otro lado, la ecn. (M4) puede escribirse como, y usando la identidad vectorial, 

37. Los potenciales no estan completamente determinados por las condiciones impuestas anteriormente. Si al vector A le agregamos el gradiente de una funcion escalar arbitraria: B no cambia, El vector E tampoco cambiara si al mismo tiempo cambiamos Estas alteraciones son denominadas transformaciones de gauge. Una eleccion importante de gauge es aquella en que A y  satisfacen la condicion, En este caso, denominado gauge de Lorentz, las ecns. (27) y (28) se transforman en:

38. y Las soluciones de estas ecns. se pueden escribir como, donde la integral denota integración sobre todas las fuentes. Estas expresiones son las denominadas potenciales retardados. La notación [Q] denota que Q debe ser evaluada en el tiempo retardado, donde corresponde al tiempo requerido por la luz para viajar entre r y r'.