第四章二元关系

第四章二元关系 • 关系：人与人的关系有朋友关系，上下级关系，父子关系，同学关系。两数之间有大于、小于、等于关系，还有整除、同余关系。两个变量有函数关系等。 • 关系描述个体之间相互联系。 • 关系的数学概念是建立在日常生活中关系的概念之上的。 1

例如，设A={a,b,c,d}是某乒乓球队的男队员集合，例如，设A={a,b,c,d}是某乒乓球队的男队员集合， • B={e,f,g}是女队员集合。如果A和B元素之间有混双配对关系的是a和g，d和e。我们可表达为： • R={<a,g>，<d,e>} • 这里R表示具有混双配对关系的序偶集合。所有可能具有混双配对关系的序偶集合是： • A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B} ={<a,e>，<a,f>，<a,g>，<b,e>，<b,f>，<b,g>，<c,e>，<c,f>，<c,g>，<d,e>，<d,f>，<d,g>} 2

有A，B，C三个人和四项工作α,β,γ,δ。已知A可以从事工作α和δ ，B可以从事工作γ ，C可以从事工作α和β。那么人和工作之间的对应关系可以记作：R={<A, α>,<A, δ>,<B, γ>,<C, α >,<C, α>} 这是人的集合{A,B,C}到工作的集合{α,β,γ,δ}之间的关系。 3

4.1 关系及其表示法 一、关系的定义 (1) A×B的子集叫做A到B的一个二元关系。 (2) A1×A2×…×An(n≥1)的子集叫做 A1×A2×…×An上的一个n元关系。 (3) 的子集叫做A上的n元关系。从定义可看出，关系是一个集合，所有定义集合的方法，都可用来定义关系。 4

例如，实数R上的二元关系＞可定义如下： ＞={<x,y>|x∈R∧y∈R∧x＞y} 最重要的关系是二元关系。本章主要讨论二元关系，今后术语“关系”都指二元关系。若非二元关系将用“三元”或“n元”一类术语指出。二元关系有自己专用的记法和若干新术语。 5

设 A={x1,x2,…,x7}， B={y1,y2,…,y6} R={<x3,y1>，<x3,y2>，<x4,y4>，<x6,y2>} 显然，<x3,y1>∈R，也可写成x3Ry1，称为中缀记法，读做：x3和y1有关系R。中缀记法常用来表示诸如“=”，“＜”，“＞”等关系，例如<3,5>∈＜，通常写作3＜5。 A叫做关系R的前域，B叫做关系R的陪域。 D(R)={x|∃y(<x,y>∈R)}叫做关系R的定义域。 R(R)={y| ∃x(<x,y>∈R)}叫做关系R的值域。 6

关系是序偶的集合，对它可进行集合运算，运算结果定义一个新关系。关系是序偶的集合，对它可进行集合运算，运算结果定义一个新关系。设R和S是给定集合上的两个二元关系，则R∪S、R∩S、R-S，~R等可分别定义如下： x(R∪S)y⇔xRy∨xSy x(R∩S)y ⇔ xRy∧xSy x(R-S)y ⇔xRy∧x$y x(~R)y ⇔ x R y 7

思考：如|A|=m，|B|=n，请问A到B的不同的关系共有多少？思考：如|A|=m，|B|=n，请问A到B的不同的关系共有多少？解答：由于关系是AB的子集，根据幂集个数的结论，AB的子集共有2mn。所以，A到B的关系共有2mn个。特别地，当A=B时，则A上的关系共有2n2个。 8

二、几种特殊的关系 • 对于任何集合A都有3种特殊的关系：空关系、全域关系UA和恒等关系A。定义如下： • 对于任意集合A， AA上有三个特殊的子集： (1) 是AA的子集，由定义的A上的关系，称为A上的空关系； (2) AA本身也AA的子集，由AA定义的A上的关系称为A上的全域关系，记作UA即 UA={<a,b>aA∧bA} (3)A={<a,a>aA}，称为A上的恒等关系。 9

例设集合A={0,1,2}，则： UA={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<2,2>} 由于UA是A上的全域关系，显然有 UA=A×A=9 A={<0,0>,<1,1>,<2,2>} 如果A是A上的恒等关系，则有A=A=3 10

三、常用关系举例 例1小于等于关系。A={1,2,3}，定义A上的关系 LA={<a,b>a,bA∧a≤b}。则LA ={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} 例2 整除关系。设B={1,2,3,4,5,6}，定义B上二元关系DB={ <a,b>a,bB∧baN}。则： DB={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>，<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<5,5>,<6,6>}注意：baN说成“a能整除b”，或“b能除整除以a”，“b能被a整除” 。 11

例3 同余关系。A={1,2,3,4}，A上的二元关系为 R={<a,b>( a-b)/2Z∧a,bA}。则 R={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,1>,<3,3><4,2>,<4,4>} 说明：此关系称为“模2同余关系”，记作a=b(mod2)。 12

例4 包含关系。A是一个集合，定义ρ(A)上的一个关系，R={<u,v>uρ(A)，vρ(A)，且uv}。例如，设A={a,b}, ρ(A)={ ,{a},{b},A}，则 R={<,{a}>，<,{b}>，<,>，<,A>，<{a},{a}>，<{a},A}>，<{b},{b}>，<{b},A>，<A,A>} 13

例5 设A={2,3,4,5,6}，用列举法表达下列关系： • ①R={<a,b>a是b的倍数}。 • ②R={<a,b>(a-b)2A}。 • ③R={<a,b>a/b是素数}。 • ④R={<a,b>ab}。 • ⑤R={<a,b>a,b互质} 14

解：因为A={2,3,4,5,6}， ①R={<a,b>a是b的倍数}。R={<2,2>，<3,3>，<4,2>，<4,4>，<5,5>，<6,2>，<6,3>，<6,6>} ②R={<a,b>(a-b)2A}。R={<2,4>，<3,5>，<4,6>，<4,2>，<5,3>，<6,4>} ③R={<a,b>a/b是素数}。R={<4,2>，<6,3>，<6,2>} ④R={<a,b>ab}。R=EA-A，共有25-5个序偶。 ⑤R={<a,b>a,b互质}。R={<2,3>，<2,5>,<3,2>，<3,4>，<3,5>，<4,3>，<4,5>，<5,2>，<5,3>，<5,4>，<5,6>，<6,5>} 15

四、关系的表示法 • 前面给出的关系都是用集合表达式来定义的。对于有限集合的二元关系，还可以用关系矩阵和关系图来给出。定义设集合A={a1,…,am}，B={b1,…,bn} R是A到B的关系，则R的关系矩阵是一个mn阶的矩阵 MR=(rij)mn rij =1，当<ai,bj>R rij =0，当<ai,bj>R 如果R是A上的关系时，则其关系矩阵是一个方阵。 16

例A={a,b,c,d}， B={x,y,z}， R={<a,x>,<a,z>,<b,y>,<c,z>,<d,y>} 由于 |A|=4，|B|=3, 则 MR是4×3的矩阵：例A={2,3,4,5,6}，则R1={<a,b>|a是b的倍数}的关系矩阵MR1为： 17

有关说明： <1> 空关系的关系矩阵M的所有元素为0。 <2> 全域关系UA的关系矩阵MU的所有元素为1。 <3> 恒等关系A的关系矩阵MI的所有对角元为1，非对角均为零，此矩阵在线性代数中称为单位矩阵，记作。 18

定义设A={a1,…,am}，B={b1,…,bn}，(AB) ① R是A到B的关系，用m+n个小圆圈分别表示a1,…,am和b1,…,bn(一般分列两边)，这些小圆圈称为图的结点。如果<ai,bj>R，则由结点ai向结点bj通一条有向边（弧）,箭头指向bj；如果<ai,bj>R，则不画相应的边（弧）。这样形成的图称为关系R的关系图。 ② 如果R是A上的关系，则只画m个小圆圈表示a1,…,am，(不画2m个小圆圈，而且不再分列两边)有向边（弧）,画法同①，如果<ai,ai>R，则画一条以ai到自身的一条有向弧，这种弧称为自回路。 19

a x b y c z d 例1 A={a,b,c,d}， B={x,y,z}， R={<a,x>,<a,z>,<b,y>,<c,z>,<d,y>} 画出该关系R的关系图如下。 20

例2 设A={1,2,3,4}，R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}是A上的关系。则R的关系矩阵和关系图如下：在关系图中，图的顶点集是{1,2,3,4} ，由<1,1>,<1,2>R可知，在图中有一条从1到1的边(过1的环)，还有一条从1至2的边。类似地可以作出对应于其余三个有序对的边。 21

例3 设A={2,3,4,5,6}，分别画出下列关系的关系矩阵和关系图： • ①R={<a,b>a是b的倍数}。 • ②R={<a,b>(a-b)2A}。 • ③R={<a,b>a/b是素数}。 • ④R={<a,b>a,b互质} 22

4.2 关系的运算 一、关系的合成引例：a,b,c三人，a,b是兄妹关系，b,c是母子关系，则a,c是舅甥关系。如R表示兄妹关系，S表示母子关系，则R与S的合成T是舅甥关系。如R是父子关系，R与R合成则是祖孙关系。 23

（1）合成关系的定义 定义设A,B,C是三个集合，R是A到B的关系，S是B到C的关系，则R与S的合成关系是一个A到C的关系,记作RS。定义为： R S={<x,z>xA∧zC∧yB，使<x,y>R,<y,z>S} 24

定义的有关说明: <1> R与S能进行合成的必要条件是R的值域所属集合B与S定义域所属集合B是同一个集合，否则就不能合成。 <2> <x,z>有合成关系的定义为：至少有一个做中间桥梁的元素y，使x,y有关系R，y,z有关系S。例1 A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5}，C={1,2,3} 设R={<x,y>|x+y=6}={<1,5>,<2,4>,<3,3>}，则R是A到B的关系。设S={<y,z>y-z=2} ={<3,1>,<4,2>,<5,3>} ，则S是B到C的关系。 25

从两个关系的序偶中搜索： ∵<1,5>∈R,<5,3>∈S,∴<1,3>∈RS ∵<2,4>R,<4,2>S,∴<2,2>R S ∵<3,3>R,<3,1>S,∴<3,1>R S 从而RS={<1,3>,<2,2>,<3,1>} 另外也可以用数学方法推导: ∵x+y=6，y-z=2，消去y得x+z=4 26

关系图为: A —→ B —→ C 从而RS的关系图 1 3 1 2 4 2 3 4 5 3 5 1 1 2 2 3 4 3 5 27

例2集合A={a,b,c,d,e}，A上的关系R、S分别为 R={<a,b>,<c,d>,<b,b>}，S={<d,b>,<b,e>,<c,a>} 则：R S={<a,e>,<c,b>,<b,e>} S R={<d,b> ,<c,b>} R R={<a,b>,<b,b>} S S={<d,e>} 从这个例子可以看出，R SS R 28

有关说明： 关系的合成运算不成立交换律 <1> R是A到B的关系，S是B到C的关系，RS是有定义，而S R根本不能合成。 <2> 如A=C，则RS是A上的关系，SR是B上的关系，两者根本不可能相等。 <3> 如A=B=C，R、S均为A上的关系，RS和SR也是A上的关系，一般地R SS R。这点可从上面例子中看出。 29

（2）合成关系的关系矩阵 定理设有集合 A={a1,…,am}，B={b1,…,bn}，C={C1,…, CP} R是A到B的关系，其关系矩阵MR是m×n阶矩阵。 S是B到C的关系，其关系矩阵MS是n×p阶矩阵。合成关系R S是A到C的关系，其关系矩阵 MR S是m×p阶矩阵则MR S=MR×MS 其中×是按布尔运算进行的矩阵乘法。 30

例设集合A={a,b,c,d}，R={<a,b>,<c,d>,<b,b>}， 0S={<d,b>,<b,d>,<c,a>,<a,c>} MR= MS= 则，MR S= MR ×MS = 而 MS R= MS×M R = 验证：R S={<a,d>,<b,d>,<c,b>} S R={<a,d>,<c,b>,<d,b>} 31

（3）合成关系的性质 ① 合成运算对∪,∩的分配律定理设R是从集合A到B的关系，S和T均为B到C 的关系。U是C到D的关系，则有 (1). R(S∪T)=R S∪R T； (2). R(S∩T)  R  S∩R T； (3). (S∪T) U=S U∪T U； (4). (S∩T) U  S U∩T U； 32

证明：(1)<x,z>∈R (S∪T) ⇔y∈B，使得<x,y>∈R∧<y,z>∈S∪T ⇔ y(<x,y>∈R∧(<y,z>∈S∨<y,z>∈T)) ⇔ y(<x,y>∈R∧<y,z>∈S)∨y(<x,y>∈R∧<y,z>∈T) ⇔<x,z>∈R  S∨<x,z>∈R  T) ⇔<x,z>∈R  S∪R  T 从而有： R  S∪R  T= R (S∪T) 33

② 合成运算成立结合律 定理设 R，S，T分别是A到B，B到C，C到D的关系，则有(R  S)  T = R (S  T)。 34

证明：<x,w>∈(R  S)  T z∈C，使得<x,z>∈R  S∧<z,w>∈T y∈B，使得<x,y>∈R∧<y,z>∈S∧<z,w>∈T <x,y>∈R∧<y,w>∈S  T <x,w>∈R (S  T)∴ (R  S)  TR (S  T）类似可以证，R  (S  T)( R  S)  T 从而(R  S)  T = R (S  T) 35

（4）关系的幂 定义设R是A上的二元关系，n∈N，则关系R的n次幂Rn定义为： (1). R0 =A是A上的恒等关系，即R0={<x,x>|xA}； (2). Rn+1=Rn  R 有关说明：如果R是A到B的关系，且A≠B，显然R2是无意义的。因为R  R是无法合成的。 36

定理设R是集合A上的关系，m,n∈N，则有 （1） Rm Rn=Rm+n (称第一指数律）（2）(Rm)n=Rmn (称第二指数律）此定理证明可以用数学归纳法来证明。证明：(1)对于任意给定的m∈N。若n=0，则有 Rm R0＝ Rm IA＝ Rm＝ Rm+0 假设Rm Rk=Rm+k，则有 Rm Rk+1＝ Rm (Rk R)＝ (Rm Rk) R＝ Rm+k+1，所以对一切m,n∈N有： Rm Rn＝Rm+n。 37

注意：一般来说，第三指数律是不成立的。 即 (R S)n≠Rn Sn 例如 (R S)2=(R S) (R S)=R (S R) S 而 R2 S2=R R S S=R (R S) S 显然，只要交换律不成立，第三指数律不成立。 38

例设A={1,2,3,4,5}，A上关系R为 R={<1,2>，<2,1>，<2,3>，<3,4>，<4,5>}。则关系R的各次幂为： R0=A ={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<4,4>，<5,5>} R1=R R2={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>，<3,5>} R3=R2  R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>，<2,5>} R4= R3  R1={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，<1,3>} R5=R4  R1={<1,2>，<1,4>，<2,1>，<2,3>，<2,5>} 39

2 4 5 1 3 2 4 5 1 3 2 4 5 1 3 2 4 5 1 3 从关系图来看关系的n次幂 R： R2： R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2的关系图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推： R3： R4： 40

证明：因为|A×A|=n2，则ρ(A×A)= 即A上有个不同的二元关系。而R0、R1、R2、…、都是A上的二元关系且有 +1个。因此，R的这些幂中至少有两个是相等的。定理设|A|=n，R  A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。 41

定理设A是集合，R  A×A，若有i，j∈N，i＜j，使得Ri=Rj，则有 ⑴. 对任何k∈N，有Ri+k=Rj+k; ⑵. 对任何k,m∈N，有Ri+md+k=Ri+k(d=j-i); ⑶. 对任意n∈N， Rn ∈{R0,R1,…,Rj-1}; 证明： (1) Ri+k＝Ri Rk＝Rj Rk＝Rj+k (2)对m归纳。若m=0，则有 Ri+0*d+k＝Ri+k假设 Ri+nd+k＝Ri+k，其中d＝j-i，则m=n+1时，有 Ri+(n+1)d+k＝ Ri+nd+d+k＝ Ri+nd+k Rd＝ Ri+k Rd=Ri+k+d ＝Ri+k+j-i＝ Rk+j＝ Rk+i 由归纳法命题得证。 42

结论 • 在计算关系R的幂时，当得到R的j次幂与前面的某i次幂相同时，则已计算出R的所有自然数次幂，即计算有限集合上的关系的所有次幂的过程总会停止。 • 给定A上的关系R和自然数n，如何计算Rn呢？方法如下： 43

如果R是用集合表达式给出的，可以通过n-1次合成计算得到Rn。如果R是用集合表达式给出的，可以通过n-1次合成计算得到Rn。如果R是用关系矩阵M给出的，则Rn的关系矩阵是Mn，即n个矩阵M之积。即：Mn=M×M×…×M 如果R是用关系图G给出的，可以直接由图G得到Rn的关系图G。G 的顶点集与G相同。考察G的每个顶点xi，如果在G中从xi出发经过n步长的路径到达顶点xj，则在G 中加一条从xi到xj的边。当把所有这样的边都找到以后，就得到图G'。 44

例：设A＝{a,b,c,d}，R＝{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，求R的所有自然数次幂(用关系矩阵表示)。 解： 45

由于M4=M2，故R的所有自然数次幂的集合为： {R0，R1，R2，R3}。 46

三、关系的逆 定义设R是集合A到B的二元关系，则定义一个B到A的二元关系R-1={<b,a>|<a,b>∈R}，称为R的逆关系，记作R-1。有关说明：（1）R-1是将R中的所有有序对中的两个元素交换次序而构成的，故|R|=| R-1|；（2）R-1 的关系矩阵是R的关系矩阵的转置，即：M R-1=MR （3）R-1的关系图只需将R的关系图中的边（弧）改变方向即可。 47

例设某合A={a,b,c,d}，A上的关系R为 R={<a,a>，<a,d>，<b,d>，<c,a>，<c,b>，<d,c>} 则有 R-1={<a,a>，<d,a>，<d,b>，<a,c>，<b,c>，<c,d>} 48

定理设R和S均是A到B的关系，则 • （1）(R-1)-1=R; • （2）(R∪S)-1=R-1∪S-1; • （3）(R∩S)-1= R-1∩S-1; • （4）(R-S)-1=R-1-S-1; • （5）(R)-1= R-1; • （6）(A×B)-1=B×A • （7）Ф-1=Ф; • （8）R=S  R-1=S-1。 49

证明： （3）<a,b>∈(R∩S)-1，则<b,a>∈R∩S,  <b,a>∈R ∧<b,a>∈S  <a,b>∈R-1 ∧ <a,b>∈S-1 <a,b>∈R-1∩S-1 ∴ (R∩S)-1=R-1∩S-1 （4）若（3）、（5）成立，则有(R-S)-1=(R∩S)-1=R-1∩(S)-1 =R-1∩S-1=R-1-S-1 50

第四章 二元关系