Gazdaságmatematika

1. Gazdaságmatematika 3. szeminárium

2. Dualitás – normál feladatok • Primál feladat – eredeti feladat • Duál feladat – új feladat • Ha a primál feladat maximumfeladat, akkor a duál feladat minimumfeladat • Ha a primál feladat minimumfeladat, akkor a duál feladat maximumfeladat • A korlátozó feltételek „iránya” megfordul! • A duális duálisa a primál feladat

3. Feladat – Winston 4.3 A Dakota Bútorkészítő Cég íróaszta-lokat, asztalokat és székeket gyárt. Mindegyik bútortípus gyártásához faanyag és kétféle szakmunka szük-séges: durva asztalosmunka és fe-lületkezelés. Az egyes bútortípusok előállításához a különböző erőfor-rásokból erőforrásokból szükséges mennyiséget a következő táblázat adja meg:

4. Feladat – Winston 4.3

5. Feladat – Winston 4.3 Jelenleg 48 egység faanyag, 20 órányi felületkezelés és 8 órányi asztalos-munka kapacitás áll rendelkezésre. Egy íróasztal 60, egy asztal 30, egy szék pedig 20$-ért adható el. A Dakota cég azt gondolja, hogy íróasz-talokra és székekre korlátlan kereslet van, de legfeljebb 5 asztal adható el. Mivel az erőforrásokat már megvásá-rolták, a Dakota cég az összjövedelmet kívánja maximalizálni.

6. Az „új” feladat Vizsgáljuk meg most azt az esetet, hogy mennyiért tudná egy vállalkozó felvásárolni a Dakota cég tulajdonában lévő erőforrásokat!(Duál feladat) Az egyes erőforrásokért fizetendő árak: y1, y2, y3, y4

7. A feladat felírása max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 8x1 + 6x2 + 1x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 ≤ 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8 x2 ≤ 5 x1, x2, x3≥ 0

8. A primál feladat max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 8x1 + 6x2 + 1x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 ≤ 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8 x2 ≤ 5 x1, x2, x3≥ 0

9. A duál feladat min w = 48y1 + 20y2 + 8y3+ 5y4

10. A primál feladat max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 8x1 + 6x2 + 1x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 ≤ 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8 x2 ≤ 5 x1, x2, x3≥ 0

11. Feladat – Winston 4.3

12. A duál feladat min w = 48y1 + 20y2 + 8y3 + 5y4 8y1 + 4y2 + 2y3 ≥ 60

13. Feladat – Winston 4.3

14. A duál feladat min w = 48y1 + 20y2 + 8y3 + 5y4 8y1 + 4y2 + 2y3 + ≥ 60 6y1 + 2y2 + 1,5y3 + y4 ≥ 30 1y1 + 1,5y2 + 0,5y3 ≥ 20 y1, y2, y3, y4 ≥ 0

15. A primál feladat max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 8x1 + 6x2 + 1x3 ≤ 48 4x1 + 2x2 + 1,5x3 ≤ 20 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 ≤ 8 x2 ≤ 5 x1, x2, x3≥ 0

16. A primál feladat

17. A duál feladat min w = 48y1 + 20y2 + 8y3 + 5y4 8y1 + 4y2 + 2y3 + ≥ 60 6y1 + 2y2 + 1,5y3 + y4 ≥ 30 1y1 + 1,5y2 + 0,5y3 ≥ 20 y1, y2, y3, y4 ≥ 0

18. A duál feladat felírása

19. A primál feladat megoldása

20. A primál feladat megoldása

21. A primál feladat megoldása

22. A primál feladat megoldása u1 = 24 u2 = 0 u3 = 0 u4 = 5 x1 = 2 x2 = 0 x3 = 8 z = 60x1 + 30x2 + 20x3 z = 60∙2 + 30∙0 + 20∙8 = 280

23. A duál feladat megoldása

24. Dualitás – normál feladatokKonklúzió A primál feladat megoldásából leolvasható a duál feladat megoldása, és fordítva • A maximumfeladat hiányváltozói megfeleltethetők a duál feladat változóinak • A minimumfeladat többletváltozói megfeleltethetők a primál feladat változóinak

25. A duál feladat megoldása

26. A duál feladat megoldása v1 = 0 v2 = 5 v3 = 0 y1 = 0 y2 = 10 y3 = 10 y4= 0 w = 48y1 + 20y2 + 8y3+ 5y4 w = 48∙0 + 20∙10 + 8∙10 + 5∙0 = 280

27. Normál minimum feladat min z = 5x1 + 2x2 max w = 2y1 + 4y2 + 6y3 2y1 + 2y2 + y3 ≤ 5 3y1 + y2 – y3 ≤ 2 y1, y2, y3 ≥ 0 2x1 + 3x2 ≥ 2 2x1 + x2 ≥ 4 x1 – x2 ≥ 6 x1, x2 ≥ 0

28. Normál minimum feladat min z = 5x1 + 2x2 max w = 2y1 + 4y2 + 6y3 2y1+ 2y2+ y3≤5 3y1+ y2– y3≤ 2 y1, y2, y3 ≥ 0 2x1 + 3x2≥2 2x1 + x2≥4 x1 – x2≥6 x1, x2 ≥ 0

29. Dualitás – nemnormál feladatokMaximum feladat • Ha az i-edik primál korlát ≥ alakú, akkor a hozzátartozó yi duál változóra az yi ≤ 0 kikötés érvényes. • Ha az i-edik primál korlát = alakú, akkor az yi duál változóra nincs előjelmegkötés. • Ha az i-edik primál változó előjele kötetlen, akkor az i-edik duál korlátozó feltétel egyenlőség lesz.

30. Nemnormál maximum feladat max z = 2x1 + x2 x1 + x2 = 2 2x1 – x2 ≥ 3 x1 – x2 ≤ 1 x1 ≥ 0, x2 ekn

31. Dualitás – nemnormál feladatokMinimum feladat • Ha az i-edik primál korlát ≤ alakú, akkor a hozzátartozó xi duál változóra az xi ≤ 0 kikötés érvényes. • Ha az i-edik primál korlát = alakú, akkor az xi duál változóra nincs előjelmegkötés. • Ha az i-edik primál változó előjele kötetlen, akkor az i-edik duál korlátozó feltétel egyenlőség lesz.

32. Dualitás – nemnormál feladatokMinimum feladat • Ha az i-edik primál korlát ≤ alakú, akkor a hozzátartozó xi duál változóra az xi ≤ 0 kikötés érvényes. • Ha az i-edik primál korlát = alakú, akkor az xi duál változóra nincs előjelmegkötés. • Ha az i-edik primál változó előjele kötetlen, akkor az i-edik duál korlátozó feltétel egyenlőség lesz.

33. Nemnormál minimum feladat min w = 2y1 + 4y2 + 6y3 x4 ≤ 0 y1 + 2y2 + y3 ≥ 2 y1 – y3 ≥ 1 y2 + y3 = 1 2y1 + y2≤ 3 y1 ekn, y2, y3 ≥ 0

34. Dualitás – nemnormál feladatokMinimum feladat • Ha az i-edik primál korlát ≤ alakú, akkor a hozzátartozó xi duál változóra az xi ≤ 0 kikötés érvényes. • Ha az i-edik primál korlát = alakú, akkor az xi duál változóra nincs előjelmegkötés. • Ha az i-edik primál változó előjele kötetlen, akkor az i-edik duál korlátozó feltétel egyenlőség lesz.

35. Nemnormál minimum feladat min w = 2y1 + 4y2 + 6y3 x3 ekn x4 ≤ 0 y1 + 2y2 + y3 ≥ 2 y1 – y3 ≥ 1 y2 + y3 = 1 2y1 + y2≤ 3 y1 ekn, y2, y3 ≥ 0

36. Dualitás – nemnormál feladatokMinimum feladat • Ha az i-edik primál korlát ≤ alakú, akkor a hozzátartozó xi duál változóra az xi ≤ 0 kikötés érvényes. • Ha az i-edik primál korlát = alakú, akkor az xi duál változóra nincs előjelmegkötés. • Ha az i-edik primál változó előjele kötetlen, akkor az i-edik duál korlátozó feltétel egyenlőség lesz.

37. Nemnormál minimum feladat min w = 2y1 + 4y2 + 6y3 x3 ekn x4 ≤ 0 1. feltétel = y1 + 2y2 + y3 ≥ 2 y1 – y3 ≥ 1 y2 + y3 = 1 2y1 + y2≤ 3 y1 ekn, y2, y3 ≥ 0

38. Nemnormál minimum feladat max z = 2x1 + x2 + x3 + 3x4 x1 + x2 + 2x4 = 2 2x1 + x3 + x4 ≤ 4 x1 – x2 + x3 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0, x3 ekn, x4 ≤ 0

39. Dualitás – nemnormál feladatokKonklúzió • Az yi duál változó optimális értéke: • Ha az i-edik korlát ≤ alakú – ui együtthatója az optimális célfüggvényben • Ha az i-edik korlát ≥ alakú – (-vi) együtthatója az optimális célfüggvényben • Ha az i-edik korlát = alakú – ui* együtthatója az optimális célfüggvényben

40. Egy kis segítség a dualitáshoz

41. Nemnormál minimum feladat min z = 2x1 + 4x2 + 6x3 x1 + 2x2 + x3 ≥ 2 x1 – x3 ≥ 1 x2 + x3 = 1 2x1 + x2≤ 3 x1 ekn, x2, x3 ≥ 0

42. Nemnormál minimum feladat max w = 2y1 + y2 + y3 + 3y4 y1 + y2 + y4 = 2 2y1 + y3 + y4 ≤ 4 y1 – y2 + y3 ≤ 6 y1, y2 ≥ 0, y3 ekn, y4 ≤ 0

43. Kapcsolat primál és duál feladatok között • Gyenge dualitás tétele:A primál és a duál feladat tetszőleges lehetséges megoldásai esetén a duál lehetséges megoldáshoz tartozó w érték legalább akkora, mint a primál lehetséges megoldáshoz tartozó z érték • Dualitás-tétel:Legyen BV a primál feladat optimális bázisa. Ekkor cBVB-1 a duál feladat egyik optimális megoldása. Ezenkívül z = w.

44. Kapcsolat primál és duál feladatok között • Ha a primál feladat célfüggvénye nem korlátos, akkor a duál feladatnak nincs lehetséges megoldása. • Ha a duál feladat célfüggvénye nem korlátos, akkor a primál feladatnak nincs lehetséges megoldása.

45. WinQSB…

47. Változók Korlátozó feltételek Határok, típus

49. A primál feladat megoldása u1 = 24 u2 = 0 u3 = 0 u4 = 5 • Slack: u • Surplus: v • Artificial: u* x1 = 2 x2 = 0 x3 = 8 z = 280

50. A duál feladat megoldása v1 = 0 v2 = 5 v3 = 0 • Ha az i. egyenletben • ≤ van: y -> slack • ≥ van: y -> surplus • = van: y -> artificial • -1szerese szerepel y1 = 0 y2 = 10 y3 = 10 w = 280