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二次型

二次型. 一 . 化二次型为标准形. 化二次型为标准形主要有两种方法： (1) 正交变换法； (2) 配方法. 注：将二次型 f 用正交变换化为标准形的一般步骤为：. 写出二次型 f 的矩阵 A ；.

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二次型

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Presentation Transcript

  1. 二次型 一. 化二次型为标准形 化二次型为标准形主要有两种方法：(1)正交变换法；(2)配方法.

  2. 注：将二次型 f用正交变换化为标准形的一般步骤为： • 写出二次型 f的矩阵 A； (2) 求出 A的全部相异特征值 1, 2,…, m，对每一个 ri重特征值i，求出对应的 ri个线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面求得的 r1+ r2+ …+ rm =n个两两正交的单位向量作为列向量，排成一个 n阶方阵Q，则 Q为正交阵且 Q－1AQ=QTAQ= 为对角阵； • 作正交变换 X=QY，即可将二次型化为只含平方项的标准形： • f=XTAX=YT(QTAQ)Y=YT Y.

  3. 注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形：注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形： 情形1 二次型中含有平方项，如含有 x12，此时先集中含有 x1的项，对 x1配成完全平方，再集中含有 x2的项，对 x2配成完全平方，如此继续下去，直到化为标准形，如例2 (*)式一步. 情形2 二次型中不含平方项，只含有 xi xj 的项，此时先作可逆线性变换 将二次型化为含平方项的二次型，如例2，再按情形1中介绍的方法做.

  4. 注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有 ||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2.

  5. 即正交变换保持向量长度不变. 只有在正交变换下将二次型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型.

  6. 二. 正定二次型及正定矩阵的判定 主要有三种方法(1) 利用特征值判定；(2)利用定义判定；(3)利用顺序主子式判定. 1. 利用特征值判定

  7. 注：当矩阵的特征值比较容易求时，用特征值来判定二次型或矩阵的正定性是很简便的一种方法.注：当矩阵的特征值比较容易求时，用特征值来判定二次型或矩阵的正定性是很简便的一种方法.

  8. 注：若只是判定二次型的正定性，可采用较简便的方法求出二次型的标准形，并以此判定.注：若只是判定二次型的正定性，可采用较简便的方法求出二次型的标准形，并以此判定.

  9. 2 利用定义判定

  10. 3. 利用顺序主子式判定

  11. 注：这类题一定用顺序主子式做. 三. 证明题

  12. 注：请读者特别注意例12、例13、例14、例15 中对正定阵的处理，用心体会其方法.

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