半正定値計画問題（ SDP) の工学的応用について

半正定値計画問題（SDP)の工学的応用について半正定値計画問題（SDP)の工学的応用について

SDPの応用分野及び研究 • 確率的交通計画(MIT) • 旅客機の機体設計(米, ボーイング社) • 建築物構造最適化（京大) • データマイニング(京大, IBM 基礎研他) • その他（制御分野、量子物理化学など）

半正定値計画法を用いた1次固有振動数制約での最適設計半正定値計画法を用いた1次固有振動数制約での最適設計 • 制約：トラスの全ての固有振動数が指定値以上。 • 目的：全部材体積を最小化する。 • 設計変数：部材断面積を求める。固有値制約下でのトラスの最小重量設計 • 地盤（地震動）との共振を避ける。 • 風荷重による振動を避ける。 • 動的な剛性の指標

固有値制約での最適設計の実験例 対称な構造物では対称な解が得られる

固有値制約での最適設計の実験例 トポロジー最適化の手法

固有値制約下でのトラスの最小重量設計 第 i 部材非構造質量

固有値制約での最適設計の実験例 2層平板トラス

線形座屈係数制約での最適設計の実験例 円筒形トラス

問題の難しさ • 最適解において、最小の固有値がしばしば重複することが知られている。 • 従来の方法では、設計変数に対する固有値の感度係数を求める必要がある。 • 最小固有値が重複する場合には感度係数が不連続になるため、特に重複度が大きい場合は、従来の方法では解くことは極めて難しい。

SDP を用いる利点 • 固有値が重複する場合でも容易に解くことができる。 • 従来の方法より、解法の取り扱いが簡単。 • 計算時間が短く、より大規模な問題を扱うことが可能。 • SDP の等式標準形で書ける条件であれば，制約条件の付加が容易である。

問題の特殊構造 • 疎な問題に属する。 • 不等式制約条件（部材の断面積の下限）を持つ。 • SDPA の数値実験の題材としても適している。

結論 • 指定1次固有値を有するトラスの最適設計問題をSDP の形に定式化し、SDPA を用いて解いた。 • 最適解で1次固有値が重複する場合も問題なく解くことができるので、大規模な問題も解くことが可能である。 • 構造物が対称な場合には、対称解に収束する。 • 最適性必要十分条件の導出と、既往の必要条件との比較。

今後の課題 • 骨組構造の1次固有値制約下での最適化への拡張。 • 座屈荷重係数を指定したトラスの最適設計への応用。 • 実用的な最適トポロジーを求める際の、組み合わせ的手法の考慮。

1次固有値制約下での骨組の最小重量設計 第 i 部材非構造質量

半正定値計画問題（ SDP) の 工学的応用について