ปัญหาการขนส่ง (Transportation Problem)

1. ปัญหาการขนส่ง (Transportation Problem) โดย อ.ดร.เทอดธิดา ทิพย์รัตน์สาขาบริหารการก่อสร้างภาควิชาวิศวกรรมโยธา คณะวิศวกรรมศาสตร์มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์

2. การแก้ปัญหาการขนส่ง การใช้โปรแกรมเชิงเส้นตรง เพื่อประยุกต์กับปัญหาทางการขนส่ง โดยมีเป้าหมายคือ เพื่อจัดรายการขนส่งให้มีค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด ลักษณะของรูปแบบปัญหาในเบื้องต้น เป็นการแก้ปัญหาการจัดการขนส่งจำนวนวัสดุจากแหล่งผลิตคือโรงงาน ไปยังสถานที่ก่อสร้างเพื่อรอการใช้งาน โดยที่แหล่งผลิตมีอยู่หลายแห่ง และอยู่ในที่ต่างๆกัน และมีขนาดสมรรถภาพของการผลิตที่ต่างกันด้วย นอกจากนี้สถานที่ก่อสร้างก็มีอยู่หลายแห่งซึ่งอยู่ในสถานที่ต่างๆกัน และมีขนาดความสามารถในการเก็บวัสดุหรือใช้วัสดุได้จำกัดในจำนวนไม่เท่ากัน

3. Source (ต้นทาง) หรือแหล่งผลิต Destination (ปลายทาง) โครงการ A โรงงาน A โรงงาน B โครงการ B โครงการ C โรงงาน C

4. รูปแบบปัญหาการขนส่ง โรงงาน หรือแหล่งผลิต สถานที่ก่อสร้าง จากภาพ มีแหล่งผลิต m แหล่ง สถานที่ก่อสร้าง n แห่ง แต่ละแหล่งผลิตมีการขนส่งวัสดุไปยังสถานที่ก่อสร้างต่างๆ 1 1 d1 S1 2 2 d2 S2 ... ... m n dn Sm

5. แหล่งผลิต(โรงงาน) ที่ i ผลิตวัสดุได้ Si หน่วย (i = 1,2,…,m) สถานที่ก่อสร้างที่ j จะเก็บ(รับ) วัสดุได้ dj หน่วย (j = 1,2,…,n) ให้ Cij เป็นราคาค่าขนส่งต่อ 1 หน่วยของวัสดุจากแหล่งผลิต i ไปสถานที่ก่อสร้าง j Xij เป็นจำนวนวัสดุที่ขนส่งจากแหล่งผลิต i ไปสถานที่ก่อสร้าง j Siเป็นปริมาณวัสดุที่แหล่งผลิต i ผลิตได้ในช่วงระยะเวลาหนึ่งๆ dj เป็นปริมาณวัสดุที่สถานที่ก่อสร้าง j จะรับได้ในช่วงระยะเวลาหนึ่งๆ เช่น X11 = เป็นจำนวนวัสดุที่ขนส่งจากแหล่งผลิต(โรงงาน)1 ไปสถานที่ก่อสร้าง 1 X23 = เป็นจำนวนวัสดุที่ขนส่งจากแหล่งผลิต(โรงงาน)2 ไปสถานที่ก่อสร้าง 3 C11 = เป็นค่าขนส่งวัสดุที่ขนส่งจากแหล่งผลิต(โรงงาน)1 ไปสถานที่ก่อสร้าง 1

6. แต่ละแหล่งผลิต(โรงงาน)ที่ i จะกระจายวัสดุไป n สถานที่ก่อสร้าง ดังนั้นข้อจำกัดด้านแหล่งผลิตที่ i คือ n ∑ Xij = Si,i= 1,2,…,m j = 1 เช่น มี 2 โรงงาน 3 สถานที่ก่อสร้างจะได้ 3 โรงงาน 1 ∑ X1j = X11+X12+X13 = S1,i=1 j = 1 จำนวนวัสดุ( โรงงาน 1 ส่งไปสถานที่ก่อสร้าง 1 + โรงงาน 1 ส่งไปสถานที่ก่อสร้าง 2 + โรงงาน 1 ส่งไปสถานที่ก่อสร้าง 3 ) = จำนวนวัสดุที่โรงงานที่ 1 ผลิตได้ คือ S1หน่วย 3 โรงงาน 2 ∑ X2j = X21+X22+X23 = S2,i= 2 j = 1 จำนวนวัสดุ( โรงงาน 2 ส่งไปสถานที่ก่อสร้าง 1 + โรงงาน 2 ส่งไปสถานที่ก่อสร้าง 2 + โรงงาน 2 ส่งไปสถานที่ก่อสร้าง 3 ) = จำนวนวัสดุที่โรงงานที่ 2 ผลิตได้ คือ S2หน่วย สถานที่ก่อสร้าง เก็บวัสดุ

7. แต่ละสถานที่ก่อสร้างที่ j จะรับวัสดุจาก m แหล่งผลิต ดังนั้นข้อจำกัดด้านสถานที่ก่อสร้างที่ j คือ m ∑ Xij = dj,j= 1,2,…,n i = 1 เช่น มี 2 โรงงาน 3 สถานที่ก่อสร้างจะได้ 2 สถานที่ก่อสร้าง 1 ∑ Xi1 = X11+X21 = d1, j = 1 i = 1 จำนวนวัสดุ( โรงงาน 1 ส่งไปสถานที่ก่อสร้าง 1 + โรงงาน 2 ส่งไปสถานที่ก่อสร้าง 1 ) = จำนวนวัสดุที่สถานที่ก่อสร้างที่ 1 รับวัสดุได้คือ d1หน่วย 2 สถานที่ก่อสร้าง 2 ∑ Xi2 = X12+X22 = d2,j = 2 i = 1 2 สถานที่ก่อสร้าง 3 ∑ Xi3 = X13+X23 = d3,j = 3 i = 1 สถานที่ก่อสร้าง เก็บวัสดุ

8. ปัญหาของการขนส่งคือ หาค่า Xij ซึ่งทำให้ค่าใช้จ่ายในการขนส่งน้อยที่สุดโดยมีข้อจำกัดด้านแหล่งผลิต และสถานที่ก่อสร้าง ให้ Cij เป็นราคาค่าขนส่งต่อ 1 หน่วยของวัสดุจากแหล่งผลิต i ไปสถานที่ก่อสร้าง j ให้ Xij เป็นจำนวนวัสดุที่ขนส่งจากแหล่งผลิต i ไปสถานที่ก่อสร้าง j รูปแบบปัญหาขนส่งดังนี้ m ∑ i = 1 n ∑ CijXij j = 1 สมการเป้าหมาย หาค่าต่ำสุดของ Z = n ∑ Xij = Si, i= 1,2,…,m j = 1 ข้อจำกัด m ∑ Xij = dj, j= 1,2,…,n i = 1 Xij >= 0 ทุกๆ ค่า i,j โดยมี M = จำนวนโรงงาน (ต้นทาง),N = จำนวนสถานที่ก่อสร้าง (ปลายทาง)

9. ตัวอย่างที่ 1 ถ้าปัญหาการขนส่งมี 2 แหล่งผลิต(m=2) และมี 3 สถานที่ก่อสร้าง (n=3) จะได้รูปแบบการขนส่งคือ 2 3 สมการเป้าหมาย Min. Z = ∑ ∑ CijXij i = 1 j = 1 3 ∑ Xij = Si, i= 1,2 j = 1 สถานที่ก่อสร้าง ข้อจำกัด 2 ∑ Xij = dj, j= 1,2,3 i = 1 เก็บวัสดุ

10. เมื่อเขียนรูปแบบโดยไม่ใช้เครื่องหมาย ∑จะได้ สมการเป้าหมาย หาค่าต่ำสุดของ Z = C11X11 + C12X12 +C13X13 + C21X21 + C22X22 + C23X23 ข้อจำกัดด้านแหล่งผลิต X11 + X12 +X13 =S1 X21 + X22 + X23 = S2 ข้อจำกัดด้านสถานที่ก่อสร้าง X11+ X21=d1 X12+ X22 = d2 X13+ X23=d3 สถานที่ก่อสร้าง เก็บวัสดุ

11. ถ้ามี 3 โรงาน 4 สถานที่ก่อสร้างให้หารูปแบบปัญหาการขนส่ง • แบบฝึกหัดในห้อง

12. จากสมมุติฐานปริมาณที่ผลิตได้เท่ากับปริมาณที่เก็บเข้าสถานที่ก่อสร้างได้จากสมมุติฐานปริมาณที่ผลิตได้เท่ากับปริมาณที่เก็บเข้าสถานที่ก่อสร้างได้ m n ∑ ∑ Xij i = 1 j = 1 m ∑ Si i = 1 n ∑ dj j = 1 n m ∑ ∑ Xij j = 1 i = 1 แสดงว่าความสามารถในการผลิตของทุกแหล่งผลิตต้องเท่ากับความสามารถในการรับวัสดุของทุกๆ สถานที่ก่อสร้าง แต่ในความเป็นจริงในการขนส่งนั้น ความสามารถในการผลิตอาจน้อยกว่าหรือมากกว่า ความต้องการวัสดุก็ได้ = = =

13. เมื่อสร้างรูปแบบตารางการขนส่งภายใต้ข้อจำกัดที่ว่า ความสามารถในการผลิตของทุกๆ แหล่งผลิต เท่ากับ ความต้องการวัสดุของทุกๆสถานที่ก่อสร้างและให้ค่าขนส่ง Cijอยู่ที่มุมด้านขวามือของช่องทางที่ขนส่งจากแหล่งผลิต i ไปยังสถานที่ก่อสร้าง j จะได้ดังตารางที่1 C11 C12 C13 C21 C22 C23 3 2 ∑dj= ∑Si j = 1i=1 m ∑ Si i = 1 ตารางที่ 1 แสดงการขนส่งเมื่อมี 2 แหล่งผลิต 3 สถานที่ก่อสร้าง

14. m n ∑ Si= ∑ dj i = 1j = 1 ข้อจำกัด เป็นข้อจำกัดเบื้องต้นในการแก้ปัญหาขนส่ง m n ∑ Si<> ∑ dj i = 1j = 1 สำหรับปัญหาขนส่งทั่วๆไปที่มีค่า จะทำให้เท่ากันได้โดยเพิ่มแหล่งผลิตสมมติ หรือเพิ่มสถานที่ก่อสร้างสมมติ (Dummy) ที่มีความสามารถในการผลิต หรือความสามารถในการรับวัสดุเท่ากับส่วนที่ขาดหายไปดังนี้

15. n m ∑dj- ∑Si >0 จะเพิ่มแหล่งผลิต(โรงงาน) j = 1i = 1 1. ถ้า mn ∑Si- ∑dj>0 จะเพิ่มสถานที่ก่อสร้าง i = 1j = 1 2. ถ้า โดยให้ค่าใช้จ่ายในการขนส่งวัสดุต่อ1 จากแหล่งผลิตสมมติ (dummy) ไปยังสถานที่ก่อสร้างต่างๆ และค่าใช้จ่ายในการขนส่งวัสดุจากทุกๆแหล่งผลิตไปยังสถานที่ก่อสร้างสมมติ(dummy) เป็น 0 เพื่อไม่ให้ค่าใช้จ่ายนี้มีผลกระทบต่อค่าใช้จ่ายที่แท้จริง

16. ตัวอย่างที่ 2กรณีที่ ความสามารถในการผลิต และความต้องการวัสดุมีขนาดเท่ากัน บริษัทแห่งหนึ่งมีโรงงาน 3 โรงานผลิตวัสดุชนิดเดียวกันส่งไปยังสถานที่ก่อสร้างต่างๆ 5 แห่งโดยที่ค่าใช้จ่ายในการขนส่งจากโรงงาน i ไปยังสถานที่ก่อสร้าง j ต่อวัสดุ 1 หน่วย ดังตารางที่ 2 ตารางที่ 2 แสดงค่าขนส่งวัสดุจากโรงงาน i ไปสถานที่ก่อสร้าง j

17. จากตาราง 2 จะพบว่า n m ∑ dj = ∑Si j = 1 i = 1 โดยที่ 3 ∑ Si = 100 + 125 + 175 = 400 i = 1 5 ∑ dj= 60 + 80 + 85 +105 + 70= 400 j = 1 กรณีที่ ความสามารถในการผลิต และความต้องการวัสดุมีขนาดเท่ากัน

18. ค่าใช้จ่ายในการผลิตวัสดุของโรงงานต่างๆ มีทั้งค่าใช้จ่ายคงตัว (Fixed Cost) และค่าใช้จ่ายที่แปรตามจำนวนวัสดุที่ผลิต ดังตารางที่ 3 ตารางที่ 3 แสดงค่าใช้จ่ายในการผลิตวัสดุของโรงงานต่างๆ

19. วิธีทำ เนื่องจากราคาค่าใช้จ่ายในการผลิตวัสดุของแต่ละโรงงานต่างกัน ในการขนส่งวัสดุต่อหน่วยจากจากโรงงาน i ไปสถานที่ก่อสร้าง j จึงต้องรวมค่าใช้จ่ายในการผลิตวัสดุแต่ละหน่วยด้วย แต่ค่าใช้จ่ายคงตัวในการผลิตวัสดุนั้น ไม่ได้สัมพันธ์กับจำนวนวัสดุที่ผลิตจึงไม่ต้องนำมารวม ดังนั้นตารางขนส่งที่แสดงค่าใช้จ่ายในการผลิต และการขนส่งวัสดุต่อ 1 หน่วย จะแสดงดังตารางที่ 4

20. ค่าใช้จ่าย = ค่าขนส่งวัสดุจากตาราง 2 + ค่าใช้จ่ายต่อหน่วยของวัสดุที่ผลิตจากตาราง 3 เช่น C11 = 18 = 5 + 13 , C21 = 19 = 4+15 18 16 16 19 17 X11 X12 X13 X14 X15 X21 19 X22 20 X23 21 X24 18 X25 22 X31 X32 X33 16 17 19 X34 16 X35 17 ตารางที่ 4 แสดงค่าใช้จ่ายในการผลิต และการขนส่งวัสดุต่อ 1 หน่วย

21. ตัวอย่างที่ 3 กรณีที่ ความสามารถในการผลิตและความต้องการวัสดุมีขนาดแตกต่างกัน จากตัวอย่างที่ 2 ถ้าความสามารถที่โรงงาน A ผลิตวัสดุเพิ่มเป็น 200 หน่วย และโรงงาน B กระจายวัสดุไปยังสถานที่ก่อสร้างที่ 3 ไม่ได้ นอกนั้นข้อมูลเท่าเดิม จงสร้างตารางขนส่งเพื่อหาค่าใช้จ่ายต่ำสุด วิธีทำ 3 ∑ Si = 200 + 125 + 175 = 500 i = 1 ผลรวมของความสามารถของการผลิต(โรงงาน)= n ∑ dj= 60 + 80 + 85 +105 + 70= 400 j = 1 ผลรวมของความต้องการวัสดุ(สถานที่ก่อสร้าง)= 3 5 ∑ Si > ∑ dj i = 1 j = 1 จะพบว่า กรณีที่ ความสามารถในการผลิต มากกว่า ความต้องการวัสดุ ดังนั้นต้องเพิ่มความต้องการวัสดุ(สถานที่ก่อสร้าง) ขึ้นมา

22. - ต้องเพิ่มสถานที่ก่อสร้างสมมติ (dummy)ที่มีความสามารถรับวัสดุได้เพิ่มเท่ากับ 500-400 = 100 -ค่าใช้จ่ายในการขนส่งจากโรงงาน i ไปยังสถานที่ก่อสร้างสมมติ(dummy) เป็น 0 -เนื่องจากโรงงาน B กระจายวัสดุไปสถานที่ก่อสร้าง 3 ไม่ได้ จึงสมมุติให้ค่าขนส่งจากโรงงาน B ไปสถานที่ก่อสร้าง 3 มีค่าสูงมาก โดยจะใช้ M แทนความหมายของค่าขนส่งซึ่งสูงมาก จำนวนที่จะทำการจัดส่งจึงถูกกำหนดให้เป็น 0 สามารถสร้างตารางได้ดังต่อไปนี้

23. 18 16 16 19 17 0 X12 X13 X11 X14 X16 X15 22 19 20 M 18 0 X21 0 X24 X25 X26 X22 16 17 17 0 19 16 X31 X32 X33 X34 X35 X36 ตารางที่ 5 กรณีที่ ความสามารถในการผลิตและความต้องการวัสดุมีขนาดแตกต่างกัน

24. การแก้ปัญหาการขนส่ง แบ่งออกเป็น 2 ขั้นตอน 1. หาคำตอบมูลฐานเริ่มต้นที่เป็นไปได้ (Initial Basic Feasible Solution) 2. ปรับปรุงคำตอบมูลฐาน เพื่อให้ได้คำตอบเหมาะสม (Improved Basic Feasible Solution)

25. 1. การหาคำตอบมูลฐานเริ่มต้น m n ∑ Si= ∑ dj i = 1 j = 1 จากรูปแบบปัญหาการขนส่ง ซึ่งมีข้อจำกัด แสดงว่ารูปแบบปัญหามี m แหล่งผลิต และมี n สถานที่ก่อสร้าง จะมีสมการที่เป็นอิสระกันได้ m+n-1 สมการ ดังนั้น ถ้าใช้วิธี Simplex จะได้คำตอบมูลฐานเริ่มต้นที่เป็นไปได้มี m+n-1 ตัวแปรมูลฐาน ในการหาคำตอบมูลฐานเริ่มต้นอาจทำได้ 3 วิธีคือ 1. วิธีมุมทิศตะวันตกเฉียงเหนือ (Northwest –Corner Method) 2. วิธีค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด (Least – Cost Method) 3. วิธีโดยประมาณของโวเกล (Vogel’s Approximation Method (VAM))

26. 1. วิธีมุมทิศตะวันตกเฉียงเหนือ (Northwest –Corner Method)

27. 1. วิธีมุมทิศตะวันตกเฉียงเหนือ (Northwest –Corner Method) เป็นวิธีที่ง่ายและรวดเร็ว เพราะไม่ต้องคำนึงถึงค่าใช้จ่าย (Cij) ซึ่งการหาคำตอบมีขั้นตอนดังนี้ ขั้นที่ 1พิจารณาขนส่งในช่องทางที่อยู่มุมบนด้ายซ้ายสุด(มุมทิศตะวันตกเฉียงเหนือ ) ซึ่งเป็นช่องทางที่ขนส่งจากแหล่งผลิต 1 ไปสถานที่ก่อสร้าง 1 พิจารณาขนส่งให้ปริมาณ X11มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ และต้องสอดคล้องกับความสามารถผลิต S1และความต้องการวัสดุ d1 ถ้า d1 < S1 จะได้ X11 มากที่สุด = d1 ถ้า S1 < d1 จะได้ X11 มากที่สุด = S1 ถ้า S1 = d1 จะได้ X11 มากที่สุด = S1 = d1

28. ขั้นที่ 2 • ถ้า X11 = d1 แสดงว่าสถานที่ก่อสร้าง 1 รับวัสดุเต็มที่แล้วจึงไม่ต้องพิจารณาสถานที่ก่อสร้าง 1 อีก • (โดยการขีด Column ที่มี d1ออก)สำหรับแหล่งผลิต1 ยังมีวัสดุเหลืออีก S1- d1 = S’1 • จึงพิจารณาขนส่งจากแหล่งผลิต 1 ไปยังสถานที่ก่อสร้าง 2 พิจารณาขนส่งให้ปริมาณ X12มากที่สุดเท่าที่จะมากได้ และต้องสอดคล้องกับ S’1 และ d2 • ถ้า d2 < S’1 จะได้ X12มากที่สุด = d2แสดงว่าสถานที่ก่อสร้าง 2 รับวัสดุเต็มที่แล้วจึงไม่ต้องพิจารณาสถานที่ก่อสร้าง 2 อีก (ขีด Column ที่มี d2ออก) สำหรับแหล่งผลิต1 ยังมีวัสดุเหลืออีก S’1- d2 = S’’1จึงพิจารณาขนส่งจากแหล่งผลิต 1 ไปยังสถานที่ก่อสร้าง 3 ต่อไป • ถ้า S’1 < d2จะได้ X12มากที่สุด = S’1 แสดงว่าแหล่งผลิต 1 ส่งวัสดุหมดแล้ว จึงไม่ต้องพิจารณาแหล่งผลิต1 อีก (ขีดแถวที่มี S1ออก)สำหรับสถานที่ก่อสร้าง 2ยังขาดวัสดุอีก d2 - S’1 = d’2จึงพิจารณาขนส่งจากแหล่งผลิต 2 ไปยังสถานที่ก่อสร้าง 2 ต่อไป

29. ถ้า X11 = S1แสดงว่าแหล่งผลิต 1 ส่งวัสดุหมดแล้ว (ขีดแถวที่มี S1ออก) สำหรับสถานที่ก่อสร้าง 1 ยังรับวัสดุได้อีก d1 - S1 = d’1 จึงพิจารณาขนส่งจากแหล่งผลิต 2 ไปยังสถานที่ก่อสร้าง 1 โดยพิจารณาขนส่งให้ปริมาณ X21มากที่สุดเท่าที่จะมากได้ และต้องสอดคล้องกับ S2และ d’1 • ถ้า X11 = S1 = d1แสดงว่าแหล่งผลิต 1 ส่งวัสดุหมดแล้ว (ขีดแถวที่มี S1ออก) และสถานที่ก่อสร้าง 1 รับวัสดุได้เต็มที่แล้ว (ขีด Column ที่มี d1ออก) ต่อไปจึงพิจารณาขนส่งจากแหล่งผลิต 2 ไปยังสถานที่ก่อสร้าง 2 โดยพิจารณาขนส่งให้ปริมาณ X22 มากที่สุดเท่าที่จะมากได้ และต้องสอดคล้องกับ S2และ d2 เมื่อพิจารณาต่อไปเรื่อยๆในลักษณะข้างต้น จะได้ว่าสามารถบรรจุค่า Xijลงในตารางขนส่งได้สอดคล้องกับค่า Si และ djทั้งหมด

30. จงหาคำตอบมูลฐานเริ่มต้นจงหาคำตอบมูลฐานเริ่มต้น 10 0 20 11 X11 = 5 X12= 10 S1 S2 S3 S4 X13 X14 12 7 9 20 X22= 5 X23= 15 X24= 5 X21 0 14 16 18 X32 X31 X33 X34= 5 d1 d2 d3 d4

31. วิธีทำ 1. ขั้นตอน 1 พิจารณาตำแหน่ง X11 เลือกMin ระหว่าง (5,15) = 5 นั่นคือสถานที่ก่อสร้าง 1ครบแล้วให้ ขึด Column d1 ออกไป จะได้ X11 = 5 (หรือ X11มากที่สุด = 5) 2. กรณีขีดช่องซ้ายให้เริ่มพิจารณาทางขวาที่อยู่มุมตะวันตกเฉียงเหนือสุด คือ X12จะพบว่าโรงงาน A ยังมีวัสดุเหลืออีก =S1-5= 15-5 = 10 ให้เปรียบเทียบหาระหว่าง Min (10,ค่าช่อง d ตำแหน่งตรงกัน(d2)) คือ Min(10,15) = 10 ดังนั้น X12 = 10 จะพบว่าค่ารวมที่โรงงาน A ส่ง = S1 =15 ครบแล้ว ให้ขีด แถว S1 ออก 3. เมื่อขีดช่องบนให้เริ่มพิจารณาช่องข้างล่างที่อยู่มุมตะวันตกเฉียงเหนือสุด คือ X22พบว่าสถานที่ก่อสร้าง 2 ยังขาดอีก =d2-10 = 15-10 = 5 ให้เปรียบเทียบหาระหว่าง Min ( ค่าช่อง S ที่ตรงกัน(S2),5 ) คือ Min(25,5) = 5 ดังนั้น X22 = 5 จะพบว่าสถานที่ก่อสร้างที่ 2 ครบแล้วให้ขีด Column d2ออก 4. กรณีขีดช่องซ้ายให้เริ่มพิจารณาทางขวาที่อยู่มุมตะวันตกเฉียงเหนือสุด คือ X23จะพบว่าโรงงาน B ยังมีวัสดุเหลือ คือ S2-5= 25-5 = 20 ให้เปรียบเทียบหาระหว่าง Min (20,ค่าช่อง d ตำแหน่งตรงกัน(d3)) คือ Min(20,15) = 15 ดังนั้น X23 = 15

32. 5. พบว่าสถานที่ก่อสร้าง 3 ครบแล้ว = 15 ให้ขีด Column d3 ออก แต่จะพบว่าโรงงาน B ยังไม่ครบให้พิจารณาทางขวามือต่อไป 6. ให้เริ่มพิจารณาทางขวาอีกพบว่าโรงงาน B ยังมีวัสดุเหลือส่งอีก คือ S2-(20) = 25-(5+15)= 5 ให้พิจารณามุมตะวันตกเฉียงเหนือสุด คือ X24จะให้เปรียบเทียบหา ระหว่าง Min (5,ค่าช่อง d ตำแหน่งตรงกัน(d4)) คือ Min(5, 10) = 5 ดังนั้น X24 = 5 จะพบว่าโรงงาน B ครบแล้วให้ขีด แถว S2ออก 7. กรณีขีดช่องบนให้เริ่มพิจารณาช่องข้างล่างที่อยู่มุมตะวันตกเฉียงเหนือสุด คือ X34 จะพบว่าโรงงาน C ยังมีวัสดุอีก 5 และสถานที่ก่อสร้าง 4 ยังขาดอีก(หรือรับได้อีก)5 ดังนั้น X34 = 5 จะพบว่าโรงงาน C ครบแล้วให้ขีด แถว S3 ออก 8. พิจารณาสถานที่ก่อสร้าง 4 ก็ครบแล้ว 9. จากนั้นลองตรวจสอบความถูกต้องของทุกแถว และ Column โดยตัวเลขต้องสอดคล้องหรือยันกันในทุกด้าน

33. 10 0 20 11 X11 = 5 X12= 10 X13 X14 12 7 9 20 X21 X22= 5 X23= 15 X24= 5 0 14 16 18 X32 X31 X33 X34= 5

34. ดังนั้นได้คำตอบมูลฐานเริ่มต้นคือ X11= 5, X12=10, X22= 5, X23=15, X24=5, X34=5 จำนวนตัวแปรมูลฐานมี = m+n-1 = 3+4-1 = 6 ตัว สำหรับตัวแปรอื่นๆที่เหลือมีค่าเป็น 0 ตัวแปรดังกล่าวเรียกว่า ตัวแปรไม่เป็นมูลฐาน ค่าใช้จ่ายในการขนส่งนี้ จะได้ = (X11* C11)+(X12*C12)+(X22*C22)+(X23*C23)+(X24*C24)+(X34*C34) =(5*10) +(10*0) +(5*7) +(15*9) +(5*20) +(5*18)= 410 บาท

35. กรณีที่ตัวแปรมูลฐานน้อยกว่า m+n-1 จากตารางการขนส่ง จงหาคำตอบมูลฐานเริ่มต้น 10 0 20 11 X11 =10 X12 X13 X14 12 7 9 20 X21 X22= 9 X23 =3 X24 0 14 16 18 X32 X31 X33 X34=5

36. กรณีที่ตัวแปรมูลฐานน้อยกว่า m+n-1 กรณีนี้ได้จำนวนตัวแปรมูลฐาน 4 ตัว คือ X11 =10, X22= 9, X23 =3, X34=5 ซึ่งน้อยกว่า = m+n-1 = 3+4-1 = 6 ตัว ดังนั้นในการหาคำตอบที่เหมาะสมต่อไป จะต้องเพิ่มจำนวนตัวแปรมูลฐานอีก 2 ตัว ให้ครบ 6 ตัว และตัวแปรมูลฐานนั้นจะต้องมีค่าเป็น 0 โดยเลือกจากตัวแปรไม่เป็นมูลฐานในตารางนั้นๆ หมายเหตุ : ในกรณีที่ Xij = Si = dj จะได้ว่าจำนวนตัวแปรมูลฐานที่ได้มีน้อยกว่า m+n-1 ตัวในกรณีนี้แสดงว่า คำตอบมูลฐานมีสภาพเสื่อมคลาย (Degenerate) คือมีตัวแปรมูลฐานอย่างน้อย 1 ตัว มีค่าเป็น 0

37. 2. วิธีค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด (Least – Cost Method) เริ่มพิจารณาช่องทางที่มีค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด โดยบรรจุค่า Xij ให้มากที่สุดที่จะมากได้ลงในช่อง (i,j) ที่มีค่า Cij ต่ำที่สุด

38. พิจารณาครั้งที่ 1 จากตารางการขนส่ง จงหาคำตอบมูลฐานเริ่มต้น 10 0 20 11 X12 = 15 S1 S2 S3 S4 X11 X13 X14 12 7 9 X21 20 X22 X23 X24 0 14 16 18 X32 X31 X33 X34 d1 d2 d3 d4 ค่าขนส่งน้อยที่สุดคือ C12 = C31 = 0 จะต้องให้ค่า X12 = X31 ให้มากที่สุดเท่าที่จะมากได้โดยให้สอดคล้องค่า Si และ dj จะได้ X12=15= S1 = d2หลังจากนั้นจึงขีด แถว S1 และ Column d2ออก ดังตาราง

39. พิจารณาครั้งที่ 2 10 0 20 11 S1 S2 S3 S4 X12 = 15 X11 X13 X14 12 7 9 20 X21 X22 X23 X24 0 14 16 18 X31= 5 X32 X33 X34 d1 d2 d3 d4 พิจารณา ราคา C31 = 0 ดังนั้น ให้ค่า X31มากสุดโดยสอดคล้องกับ S3กับ d1 คือ X31= 5 = S3 = d1 หลังจากนั้นจึงขีด แถว S3 และ Column d1ออก ดังตาราง

40. พิจารณาครั้งที่ 3 10 0 20 11 S1 S2 S3 S4 X12 = 15 X11 X13 X14 12 7 9 20 X21 X22 X23= 15 X24=10 0 14 16 18 X31= 5 X32 X33 X34 d1 d2 d3 d4 พิจารณาค่าขนส่งน้อยที่สุดที่เหลือ คือ C23 = 9 จะต้องให้ค่า X23ได้มากสุดคือ= 15 = d3โดยให้สอดคล้องค่า S2 และ d3 จากนั้นพิจารณาค่าที่เหลือของ S2 อีกคือ =25-15 = 10 จะถูกนำไปใส่ให้กับ X24 นั่นคือ X24 = 10 = S2ที่เหลือ = d4จากนั้นจึงขีด แถว S2 ออก ดังตาราง

41. พิจารณาครั้งที่ 4 10 0 20 11 S1 S2 S3 S4 X12 = 15 X11 X13 X14 12 7 9 20 X21 X22 X23= 15 X24=10 0 14 16 18 X31= 5 X32 X33 X34 d1 d2 d3 d4 พิจารณา d4ปรากฏว่าครบแล้วดังนั้นจึงขีด Columnd4 ออก จากนั้นลองตรวจสอบความถูกต้องของทุกแถว และ Column

42. ผลลัพธ์สุดท้าย 10 0 20 11 S1 S2 S3 S4 X12 = 15 X11 X13 X14 12 7 9 20 X21 X22 X23= 15 X24=10 0 14 16 18 X31= 5 X32 X33 X34 d1 d2 d3 d4 จะได้คำตอบคือ X12 = 15(โรงงาน A ส่งสถานที่ก่อสร้าง 2 = 15) X23 = 15 (โรงงาน B ส่งสถานที่ก่อสร้าง 3 = 15) X24 = 10 (โรงงาน B ส่งสถานที่ก่อสร้าง 4 = 10) X31 = 10 (โรงงาน C ส่งสถานที่ก่อสร้าง 1 = 5)

43. การคิดค่าใช้จ่ายจะได้ดังนี้การคิดค่าใช้จ่ายจะได้ดังนี้ ค่าใช้จ่าย = (X12*C12) + (X23 * C23)+ (X24* C24) +(X31 * C31) = (15*0)+ (15*9) + (10*20) +(5*0) = 135 + 200 = 335 ซึ่งจะมีค่าใช้จ่ายน้อยกว่า วิธีมุมทิศตะวันตกเฉียงเหนือ

45. 600 400 700

46. 3. วิธีโดยประมาณของโวเกล (Vogel’s Approximation Method (VAM))

47. 3. วิธีโดยประมาณของโวเกล (Vogel’s Approximation Method (VAM)) เป็นวิธีหาคำตอบที่ดีกว่า 2วิธีแรก และบ่อยครั้งที่ VAM ให้คำตอบเหมาะสม หรือใกล้เคียงคำตอบเหมาะสม ขั้นตอนการหาคำตอบมีดังนี้ ขั้นที่ 1 หาผลต่างของค่าขนส่งในแถว i และ ผลต่างในColumn j โดยที่ หาผลต่างในแถว i (Column j) = ค่ารองน้อยที่สุดในแถว i (Column j) - ค่าน้อยที่สุดในแถว i (Column j) ขั้นที่ 2 เลือกแถวหรือ Column ที่มีผลต่างมากที่สุด แล้วบรรจุค่า Xijในแถวหรือ Column ที่เลือกมา โดยบรรจุค่า Xijให้มากที่สุดเท่าที่จะมากได้ในช่องที่มีค่า Cijน้อยที่สุด (วิจิตร ตัณฑสุทธิ์และคณะ)

48. ขั้นที่ 3 ตัดแถวหรือ Column ที่มีค่า Xijสอดคล้อง Siและ dj แล้วเริ่มไปทำขั้นทื่ 1 ใหม่ จนกระทั่งบรรจุ Xijได้สอดคล้องกับ Si, dj ทั้งหมดจึงหยุด

49. วิธีประมาณค่าของโวเกลวิธีประมาณค่าของโวเกล เป็นการหาผลลัพธ์เบื้องต้นโดยนำค่าขนส่งมาพิจารณา ซึ่งจะทำให้ผลลัพธ์เบื้องต้นของวิธีนี้มีค่าใกล้เคียงกับผลลัพธ์ที่เหมาะสมที่สุดตามเป้าหมาย โดยมีขั้นตอนดังนี้ ขั้นที่ 1 ในแต่ละแนวนอนและแนวตั้งของตารางการขนส่ง นำค่าขนส่งต่ำสุด 2 จำนวนมาลบกัน เรียกผลต่างนี้ว่า ค่าปรับ “ Penalty” ในกรณีที่มีค่าขนส่งต่ำสุดเท่ากันค่าปรับจะเป็น “0” ขั้นที่ 2 เลือกแนวนอน หรือแนวตั้งที่มีค่าปรับมากที่สุด สำหรับกรณีที่มีค่าปรับมากที่สุดเท่ากัน ให้เลือกแนวที่มีค่าขนส่งน้อยที่สุดอยู่ภายใน ขั้นที่ 3 เติมค่า Xij มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ ลงในช่อง (i,j) ที่มีค่าขนส่งน้อยที่สุดในแนวนอนหรือแนวตั้งที่เลือกจากขั้นที่ 2 (อาภรณ์ อินต๊ะชัย) (1)

50. วิธีประมาณค่าของโวเกล ต่อ ขั้นที่ 4 กำจัดแนวนอนหรือแนวตั้งที่มีค่า Xij เท่ากับ ai หรือ bjออก ขั้นที่ 5 ทำตามขั้นตอนที่ 1 ถึง 4ใหม่ จนกว่าจะครบขีดความสามารถของจุดต้นทางหรือปลายทาง aiเป็นปริมาณวัสดุที่โรงงาน i ผลิตได้ในระยะเวลาหนึ่งๆ bjเป็นปริมาณวัสดุที่สถานที่ก่อสร้าง j รับได้ในระยะเวลาหนึ่งๆ