f(x)=0 根或 f(x) 零点，当 f(x) 复杂时，很难求（找近似有效简单方法）。

第七章求方程根的近似方法 引言 f(x)=0 根或 f(x)零点，当f(x)复杂时，很难求（找近似有效简单方法）。先我们看一看以下的具体例题

一、提出问题 能否求解下列方程（1）lgx=3-x，（2）x2-2x-1=0，（3）x3+3x-1=0 . 能否解出上述方程的近似解？（精确到0.1）

- + f(2)<0，f(3)>0 2<x1<3 2 3 - + f(2)<0，f(2.5)>0 2<x1<2.5 2 2.5 3 - + f(2.25)<0，f(2.5)>0 2.25<x1<2.5 2 2.25 2.5 3 - + f(2.375)<0，f(2.5)>0 2.375<x1<2.5 2 2.375 2.5 3 - + f(2.375)<0，f(2.4375)>0 2.375<x1<2.4375 2 2.375 2.475 3 二、方法探究 (1)不解方程，如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 . （精确到0.1）

（2）能否简述上述求方程近似解的过程? （3）二分法（bisection method）：象上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。三、自行探究利用计算器，求方程 lgx=3-x的近似解.（精确到0.1）解：画出y=lgx及y=3-x的图象，观察图象得，方程lgx=3-x有唯一解，记为x，且这个解在区间（2，3）内。设 f (x)=lgx+x-3

（2，3） f(2)<0，f(3)>0 2.5 f(2.5)<0 （2.5，3） f(2.5)<0，f(3)>0 2.75 f(2.75)>0 （2.5，2.75） f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0 （2.5，2.625） f(2.5)<0，f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)<0 （2.5625，2.625） f(2.5625)<0，f(2.625)>0 因为2.5625，2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x1≈2.6 .

四、归纳总结 用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解的基本步骤: 1、寻找解所在区间（1）图象法先画出y= f(x)图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围；或画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察两图象的交点横坐标所处的范围。（2）函数性态法把方程均转换为 f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质（如单调性），来判断解所在的区间。

若当，且m, n根据精确度得到的近似值均为同一个值P时，则x1≈P，即求得了近似解。则（1）若，由　　　　，由　　　　，（2）若　，则（3）若，则 2、不断二分解所在的区间对 (1)、(2)两种情形再继续二分解所在的区间. 3、根据精确度得出近似解

课堂小结 算法：如果一种计算方法对某一类问题（不是个别问题）都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到惟一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法。算法特点：　　　　算法是刻板的、机械的，有时要进行大量的重复计算，　　　　　　　　但它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总会算出结果。　　　　　　　　　　　　　　　　更大的优点是它可以让计算机来实现。

§7.1 区间二分法 设连续函数 f(x) 在[a,b]内仅有一根 , f(a) f(b)<0 , 可取其中点为近似根 , 记为 x0 , 其误差为 (b-a)/2。 y f(x) x a x 0 b

若误差符合要求 , x0 便可接受. 否则取 a, b 中函数值与 x0 的函数值异号者跟 x0 构成新的求根区间,记为 [a1,b1]. 重复以上做法，得新近似根 x1, … 这样不断将区间分半,得到一系列区间[an,bn],和近似根 (区间中点) xn , n=0,1,2,3…, xn 误差为 (b-a)/2n+1, 区间 [an,bn]长的一半, xn→ξ.

理论 : f(x) ∈ C[a,b],单调， f(a)f(b)<0 f(x)=0 在(a,b)有唯一根。根分离：画草图，试算. 多项式方程根的模的上下界。

例2.1 用二分法求 在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过解： f(1)=-5<0 有根区间中点 f(2)=14>0 -(1,2)+ f(1.25)<0 (1.25,1.5) f(1.375)>0 (1.25,1.375) f(1.313)<0 (1.313,1.375) f(1.344)<0 (1.344,1.375) f(1.360)<0 (1.360,1.375) f(1.368)>0 (1.360,1.368) f(1.5)>0 (1,1.5)

，则（事后估计） y 优点：条件简单. 缺点：收敛慢. 不易求偶数重根. 如图 x

§7.2 迭代法 一. 迭代法的建立与收敛性

例1 求方程 在x=1.25附近的一个根。左表记录了各步迭代的结果。如果仅取6位数字，那么，由表可知，x7与x8完全相同。这时可认为 x8 实际上已满足方程。从而得到所求根为 x*=1.32472

2.收敛定理（定理2.2）

(2) (＊ )1 ，故收敛。

(3) 注：L越小，收敛越快。

3．编程停机判断 （取定初值）计算，当由时，由（＊） 3式知比较小，此时停机，二、迭代加速公式（略）

， 在 x0和 x之间。 y 只要 fC1，每一步迭代都有f ’( xk )  0，而且，则x*就是 f的根。 x x* x0 §7.3Newton 迭代法原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 /* Taylor’s expansion */ 取 x0 x*，将 f (x)在 x0做一阶Taylor展开: 将 (x* x0)2看成高阶小量，则有：线性/* linear */

（局部收敛性）设 fC2[a, b]，若 x*为 f (x) 在[a, b]上的根，且 f ’(x*)  0，则存在 x* 的邻域使得任取初值，Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到x*，且满足定理（收敛的充分条件）设 fC2[a, b]，若 (1) f (a) f (b) < 0；(2) 在整个[a, b]上 f ”不变号且 f ’(x)  0； (3) 选取 x0 [a, b] 使得 f (x0) f ”(x0) > 0；则Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到f (x) 在 [a, b] 的唯一根。产生的序列单调有界，保证收敛。有根根唯一定理

证明：Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代其中，则收敛由 Taylor 展开：只要 f ’(x*)  0，则令可得结论。  在单根/*simple root */附近收敛快

x0 x0 x0 注：Newton’s Method 收敛性依赖于x0的选取。   x*

改进与推广 /* improvement and generalization */ Q1:若　　　，Newton’s Method 是否仍收敛？设 x* 是 f的 n重根，则：且。令　　　　　，则 f的重根 = 的单根。因为 Newton’s Method 事实上是一种特殊的不动点迭代，其中，则  重根 /* multiple root */加速收敛法： A1:有局部收敛性，但重数 n越高，收敛越慢。 Q2:如何加速重根的收敛？  A2:将求f的重根转化为求另一函数的单根。

x1 x0  正割法 /* Secant Method */： Newton’s Method一步要计算 f和 f ’，相当于2个函数值，比较费时。现用 f的值近似 f ’，可少算一个函数值。割线 /* secant line */ 切线 /* tangent line */ 收敛比Newton’s Method 慢，且对初值要求同样高。切线斜率割线斜率需要2个初值 x0和 x1。

原理：若由 xk得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点，使得。 xk xk+1  下山法 /* Descent Method */ ——Newton’s Method局部微调：注： = 1 时就是Newton’s Method 公式。当  = 1 代入效果不好时，将  减半计算。

2.Newton迭代法的几何意义 过切线与求交点，解出 , 则

3.Newton 迭代法收敛定理（定理 7.1） 设在有根α，且在（1）连续，且分别不变号； ,使（2）取初值则 Newton 迭代法（2.1）产生的数列的收敛到根α。

证：以为例证明（其它情况类似）将处Taylor展开

说明数列 有下界α 故单调递减。又，收敛。设则由（2.1），

例2.2 用 Newton 迭代法求解：设，则由（2.1）取

§7.4 弦截法 牛顿法的突出优点：收敛速度快。缺点：需要计算导数。若计算较困难，则用牛顿法不方便。为避免计算，可用差商近似代替，于是得

弦截法的迭代格式： 上式有明显的几何意义：设曲线y=f(x)上横坐标为x0和xk的点分别为 P0和Pk，则差商

表示弦的斜 率,弦的方程为 y y=f(x) P0 Pk xk x0 x* xk+1 O x 可见，前述迭代格式求得的xk+1实际上是弦与x轴交点的横坐标（令y=0解出x即可）

因而此法可形象地称为弦截法。 弦截法的收敛速度比牛顿法慢得多。为了加快收敛速度，我们改用差商来代替牛顿迭代格式中的。于是得到快速弦截法迭代格式：

快速弦截法也是迭代法。不过，前面讨 论的迭代法在计算xk+1时只用到上一步的结果xk（一步迭代）。而快速弦截法则是一种多步迭代（两步迭代：在计算xk+1时要用到前两步的结果xk和xk-1，因此在使用快速弦截法时，必须给出两个初始近似根x0和x1）。

例用快速弦截法求方程 的根。设方程的两个初始近似根为x0=0.5 , x1=0.6 表2—5 k xk xk-xk-1 0 0.5 1 0.6 0.1 2 0.56532 -0.03468 3 0.56709 0.00177 4 0.56714 0.00005 与例1（P285）中牛顿法的计算结果相比较，可以看出快速弦截法的收敛速度也是相当快的，迭代到第4步就得到精度的结果。

基本要求 • 熟悉区间＝分法； • 熟悉迭代法的建立，会使用收敛定理； • 熟悉Newton迭代法及其几何意义和收敛条件。 • 作业： • 作业集第七章习题 • 1、2、3、4、6

f(x)=0 根或 f(x) 零点，当 f(x) 复杂时，很难求（找近似有效简单方法）。