第六章单变量微分学

第六章单变量微分学 郇中丹 2006-2007学年第一学期

基本内容 • §0 微积分的创立 • §1 导数和微分的定义 • §2 求导规则 • §3 区间上的可导函数(中值定理) • §4 不定式 • §5 Taylor公式 • §6 用导数研究函数 • §7 割线法和切线法(Newton方法)

§0 微积分的创立 • Isaac Newton (1642-1727) • Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)

Isaac Newton (1642-1727) • 1661.6 (顺治18年)入剑桥三一学院(半公费(做仆人挣钱缴交学费的)学生), 数学指导教师Isaac Barrow (1630-1677),1664.1(康熙3年)获学士学位. • 1664-1666英国流行黑死病(鼠疫), 1665-1666牛顿回家乡呆了18个月,其间发明了流数(Fluxion)法(变量为流,变化率为流数)、发现了万有引力定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成. • 1665年11月发明“正流数法”(微分法)，1666年5月发明“反流数法”(积分法)，1666年10月总结文稿“流数简论”，建立了微积分基本定理。

Isaac Newton (II) • 1669接替Barrow的教授职位; 1687(康熙26年)出版Mathematical Principles of Natural Philosophy. • Newton有关流数的著作到他身后才发表(1736).

Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716) • 1661入Leipzig大学学法律,1663获学士,1666具备获法学博士的资格(出于嫉妒,该校教师拒绝授予),被另一所大学授予博士和请其为教授(他拒绝了后者). • 作为律师, 他被雇主们支得在四处透风的马车中四处奔波,使得他具有在任何时间、任何地点和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写着和思考着，他的手稿至今还成捆地放在图书馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅比一般人的都小。

Leibniz (II) • 1666其称作“中学生随笔”的《组合艺术》中立志要创造出“一般方法和普适语言，其中所有推理都简化为计算，除了可能的事实错误外，只会有计算错误”，为此他创立了符号逻辑但未能完成, 发明了能做四则运算和开方的计算机。由于其才能而被种种琐事困扰。 • 1672-1673请求Huygens教授了他现代数学; 在英国了解到了无穷级数方法。 • 1675年发现了微积分基本定理，1677年7月11日将其发表，其方法主要经过James和John Bernoulli兄弟的发展而成为一种强有力而又容易运用的工具。

Leibniz (III) • Leibniz建立微积分的基本记号和术语,包括微积分(Calculus,原意是鹅卵石,用于计数), 微分(原意是差的, Differential),微分,求导和积分的符号. 建立了四则运算的求导规则. • 1673年引入函数的术语。 • 提出：不能像卫道士那样：只有知识而没有判断。

§1.导数和微分的定义 • 微分和导数概念的意义 • 函数增量与微分和导数 • 连续与导数和导数的解释

微分和导数概念的意义 (I) • 微分的概念源自试图刻划在一个“小”时间间隔或空间上的变化量。 • 导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。 • 微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间到空间，由一维到高维，由有限维到无穷维。由近似到线性映射。

微分和导数概念的意义 (II) • 导数的物理背景: 随时间或空间的变化率(rates of change), 包括各种瞬时速度、各种密度、浓度或强度等等。 • 导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。 • 引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函数和由函数图像确定图像切线。 • 由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。

函数增量与微分和导数 • 设在a的一个邻域上有定义. • 增量定义: 称Dx=x-a为自变量x在a处的增量, D(x)=(x)-(a)为在a处的增量. • 微分定义: 若cR使得D(x)~cDx (Dx0),就称线性函数g(Dx)=cDx为D(x)(也叫在a处)的微分,记做d(x)或d. Dx也记做dx.此时称在a处可微. • 导数定义: 若cR使得D(x)/Dxc (Dx0), 称c为在a处的导数,记做c=(a)或d/dx(a)=D(a). • 小结: 若在a处可微, D(x)=d(x)+g(Dx)Dx (a(0)=0), d(x) (a)dx. d(x)也叫做函数增量D(x)的线性部分.

连续与导数和导数的解释 • 可微与连续: 若在a处可微,则在a处连续. • 左导数和右导数: 右导数(a+),左导数(a-). • 导数与左右导数: 在a处有导数当且仅当在a处左右导数存在且相等. • 切线定义: 曲线y=(x)在(a,(a))的切线定义为直线: y=(a)+(a)(x-a). • 导数(a)的几何解释: 曲线y=(x)在(a,(a))的切线的斜率. • 导数(a)的物理解释: 若(x)为物体在时间间隔[t0,a]内运动的路程, (a)为在时刻a的瞬时速度.

习题十八 (I) • 1. 用定义计算下列函数在x=0点的导数: (1) (0)=0, 若x0, (x)=x^2 sin 1/x; (2) (0)=0, 若x0, (x)=exp(-1/x^2); (3) Dirichlet函数D(x); (4) xD(x); (5) x^2D(x). • 2. 证明: 若(0)存在, 则n((1/n)- (0))(0) (n). 反过来成立吗？ • 3. 设(0)=0且(0)存在.计算数列: xn=(1/n^2)+ (2/n^2)+…+(n/n^2)的极限.计算数列极限: • (1) xn=sin(1/n^2) + sin(2/n^2)+…+sin(n/n^2); • (2) yn=(1+1/n^2)(1+2/n^2) …(1+n/n^2).

习题十八 (II) • 4. 设函数在x=0的一个邻域上有定义并且满足: xI, (x)(0). 证明: 如果 (0)存在, 则(0)=0. • 5. 证明：函数在x=0点可微的充分必要条件是(x)=(0)+g(x)x, 其中g在x=0点连续. • 6. 求下列曲线在给定点的切线方程: (1) y=x^2-x+3, P(2,5); (2) y=1/x, P(1,1); (3) y=e^x+x+1, P(0,3); (4) y=sin x, P(p/6,1/2). •  若             

§2 求导规则 • 复合函数求导的链式法则 • 反函数求导公式 • 一阶微分形式的不变性 • 求导运算的算术性质 • 初等函数求导公式 • 双曲函数 • 双曲函数求导公式 • 高阶导数和高阶微分

复合函数求导的链式法则 • 定理: 设在a点可微,g在(a)点可微,则h=g在a点可微, 并且h(a)= g((a))(a). • 证明: 记a=(a), b= g((a)). 则 • (1) D(x)=a Dx + a1(Dx)  Dx (a1(0)=0), • (2) Dg(y)=b Dy + b1(Dy)  Dy (b1(0)=0). • 因此, Dh(x)= bD(x)+b1(D(x))D(x)=baDx + ba1(Dx)Dx + b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(aDx+a1(Dx)  Dx)= baDx + g(Dx)Dx, 其中g(Dx)=ba1(Dx)+ b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(a+a1(Dx))满足g(0)=0. • 所以, h(a)= ba = g((a))(a). #

反函数求导公式 • 定理: 设C(I), g是在(I)上的反函数,这里I是区间. 若在a点可微且(a)0, 则g在b=(a)可微,并且g(b)=1/(a)=1/(g(b)). • 证明: 由在(I)上有反函数,在I上严格单调,因此, gC((I)). 只要证明g(b)存在就够了.而这由(g(y)-g(b))/(y-b)= (g(y)-g(b))/((g(y))-(g(b)))和复合函数的极限性质就得到结论.#

一阶微分形式的不变性 • 这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法: 设的微分是d(x). 若x=g(t)有微分dx=dg(t), 则d((g(t))=(g(t))dg(t)=(x)dx=d(x). • 这看似空洞的公式,许多时候有意想不到作用,同类的公式在高阶导数时不再成立.

求导运算的算术性质 • 设何g在a点可微, cR. 则+g, c, g在a点可微, 若g(a)0, /g在a点也可微. 并且 • (+g)(a)= (a)+g(a); • (c)(a)= c (a); • (g)(a)= (a)g(a)+(a)g(a); • (/g)(a)= ((a)g(a)-(a)g(a))/g(a)^2. • 证明: 极限性质和导数定义的应用.#

初等函数求导公式 • 基本初等函数求导公式: • (c)=0; • (x)=1; 由归纳法： (x^n)=nx^{n-1}; • (exp x)=exp x;由链式法则,(a^x)= a^x ln a;反函数求导规则:(ln x)=1/x;(logax)=(ln a)/x;(x^a)=ax^{a-1};以及(u^v)=u^v (vln u +vu/u). • (sin x)=cos x; 由求导运算的算术性质得到: (cos x)= -sin x; (tan x)=sec^2 x; (cot x)=-csc^2 x; (sec x)=tan x  sec x; (csc x)=-cot x  csc x. 由反函数求导规则: (arcsin x)=1/sqrt{1- x^2}; (arccos x)=-1/sqrt{1- x^2}; (arctan x)=1/(1+x^2);(arccot x)=-1/(1+x^2);(arcsec x) =1/(|x|sqrt{x^2-1}); (arccsc x)=-1/(|x|sqrt{x^2-1}).

双曲函数 • 双曲函数定义: sh x=sinh x, ch x=cosh x, th x= tanh x, cth x=coth x, sech x, csch x. • 反双曲函数: • arsh x=ln(x+sqrt(1+x^2)); • arch x = ln(x+sqrt(x^2-1)); • arth x=1/2 ln((1+x)/1-x)); • arcth x=1/2 ln((1-x)/1+x)); • arsec x=ln((1+sqrt(1-x^2))/x), 0<x<1; • arcsch x= ln((1+sqrt(1+x^2))/|x|).

双曲函数求导公式 • 双曲函数求导公式: • (sh x)=ch x; (ch x)= sh x; • (th x)=sech^2 x; (cth x)=-csch^2 x; • (sec x)=-th x  sech x; (csch x)=-cth x  csch x. • 反双曲函数求导公式: • (arsh x)=1/sqrt{1+x^2}; • (arch x)=1/sqrt{x^2-1}; • (arth x)=1/(1-x^2); • (arcth x)=1/(1-x^2); • (arsech x) =-1/(xsqrt{1-x^2}) (0<x<1); • (arcsch x)= -1/(|x|sqrt{x^2+1}).

习题十九 (I) • 1. 计算下列函数的导数： • (1) y=3x+7sqrt(x)+7/x^3; (2) y=1/(1+x+x^2); • (3) y=(2-sqrt(x)+3x-5x^2)/x^2; (4) y=(1-x^2)/(1+x^2); • (5) y=x^(1/3)+x^(-1/3); (6) y=(1-x)(2-x)(3-x); • (7) y=(1+x+x^2)/(1-x+x^2); (8) y=x/((x-1)(x-2)); • (9) y=1/(1+sqrt(x))-1/(1-sqrt(x)); (10) y=(ax+b)/(cx+d); • (11) y=(1+sqrt(x))/(1-sqrt(x)); (12) y=x^2sin x; • (13) y=(2-x)/((1-x)(1+x^2)); (14) y=x^3ln x+x^n/n; • (15) y=(ln x)(cos x);(16) y=e^x sin x; (17) y=e^x sec x;

习题十九 (II) • (18) y=(cos x+sin x)/(cos x-sin x); (19) y=(cot x)/x^4; • (20) y=(x+1/x)ln x; (21) y=(cos x)(ln 1/x)/x^5; • (22) y=(sin x)/x; (23) y= x sin x ln x; (24) y=x^3tan x. • 2. 利用等比数列求和公式，计算下列和式： • (1) Sn=1+2x+3x^2+…+nx^(n-1); • (2) Sn=1+2^2x+3^2x^2+…+n^2x^(n-1). • 3. 证明下列和式： • (1) C_n^1+2C_n^2+…+nC_n^n=n2^(n-1); • (2) C_n^1+2^2C_n^2+…+n^2C_n^n=n(n+1)2^(n-2).

习题十九 (III) • 4. 计算下列函数的导数： • (1) y=(x^3-4)^4; (2) y=x(a^2-x^2)sqrt(a^2-x^2); • (2) y=x/sqrt(n^2-x^2); (4) y=((1+x^2)/(1-x^2))^(1/3); • (5) y=sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x))); (6) y=ln(ln x); • (7) y=(1+x^(1/3))^1/3; (8) y=ln|(a+x)/(a-x)|; • (9) y=ln(x+sqrt(a^2+x^2)); (10) y=ln(tan(x/2)); • (11) y=ln sqrt((1+cos x)/(1-cos x)); (12) y=ln^3 x^5; • (13) y=ln((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)+sqrt(1-x))); • (14) y=cos^3 x-cos(3x); (15) y=sin^n x  cos(nx); • (16) y=tan x-tan^3 x+tan^5 x; (17) y=cos(cos(sqrt(x))); • (18) y=sin^2 x/sin(x^2); (19) y=x^(sin x); (20) y=x^x;

习题十九 (IV) • (21) y=x^(tan x); (22) y=x^(ln x); (23) y=exp(sqrt(x)); • (24) y=exp(-1/x^2); (25) y=a^(sin x); (26) y=x^(x^x); • (27) y=(1+x)^(1/x); (28) y=sh(ln x); (29) y=sh(x)sin x; • (30) y=arcsin(sqrt(1-x^2)); (31) y=arcsin(cos x); • (32) y=e^(ax)(cos bx+sin bx); (33) y=arctan(ch x); • (34) y=arctan(tan^2x); (35) y=(a/b)^x(b/x)^a(x/a)^b; • (36) y=arctan(sqrt((a-b)/(a+b))tan(x/2), (a>b>0); • (37) y=a^2arcsin(x/a)+xsqrt(a^2-x^2); • (38) y=a^2ln|x+sqrt(a^2+x^2)|+xsqrt(a^2+x^2); • (39) y=e^(x^2)(x^2+2x+2); • (40) y=ln(arccos(1/sqrt(x))).

高阶导数 • 定义: 设在(a,b)上处处可微, 就定义了(a,b)上的一个函数, 这个函数叫做的导函数; 若也有导数,其导函数叫做的二阶导函数, 记做; (x)叫做在点x的二阶导数; 依此类推. 的n阶导数记做^(n), D^n或d^n/dx^n.约定: ^(0)=. • Leibniz公式: 设u,v有n阶导数, 则有公式: • 证明: 对n做归纳法: n=0时成立. 然后由n=k成立推出n=k+1, 与二项式定理的证明类似。#

高阶微分 • 定义: 设在(a,b)上处处可微,d^2(x)=(d(x))dx叫做的二阶微分.一般 d^(n+1)(x)=d(d^n(x))=(d^(n)(x))dx=^(n)(x)dx^n • 注: 高阶微分没有形势不变性, 有关讨论参看教材90-92页.记号 • F. D. Bruno公式: 设和g都有n阶导数. 则h=°g的n阶导数满足下面的公式:

习题二十 (I) • 1. 证明Leibniz公式. • 2. 证明Bruno公式。 • 3. 计算下列函数的n阶导数: • (1) y=1/(1-x^2); (2)y=(1+x)/(1-x)^(1/3); (3)y=sin^2 x; • (4) y=x^n/(1-x); (5) y=sin^3 x; (6) y=e^x sin x; • (7) y=x^n/(x^2-1); (8) y=e^x(cos x+sin x); • (9) y=x^n/((x+1)^2(x+2)^2); (10) y=1/sqrt(1+x^2). • 4. 证明y=arcsin x和y=arccosx满足(1-x^2)y- xy=0. • 5. 证明 y=(x+sqrt(1+x^2))^m满足(1+x^2)y+xy = m^2 y.

习题二十 (II) • 6. 证明. 切比雪夫多项式Tn(x)=1/2^(n-1)cos(n arccos x))满足(1-x^2)y-xy+n^2 y=0. • 7. 设y=(x)有反函数并且满足y+(y)^3=0. 证明的反函数g满足g=1, 并由此给出的一个例子. • 8. 求下列函数的指定阶数的微分,其中u,v都有用到的各阶导数: • (1) y=u^2, 求d^10y; (2) y=arctan(u/v), 求d^2y; • (3) y=e^u,求d^4y; (4) y=ln u,求d^3y. • 9. 设在x=0点连续且((2x)-(x))/xl (x0). 证明在x=0点可微, 且(0)=l. • 10.证明: (f(x)-b)/(x-a)A(xa)当且仅当(e^(f(x))-e^b)/(x-a)Ae^b(xa).

§3区间上的可导函数(中值定理) • 有关函数一点行为的定义 • 导数对函数一点行为的刻划 • 中值定理的意义及其逻辑 • 中值定理证明及其简单推论 • 例子 • Lagrange中值定理的一些推论 • 三个不等式 • 参变量函数求导定理

导数对函数一点行为的刻划 • 定义: 设a是定义的内点. U是a的邻域 • 在a点增: xU, xa, 则((x)-(a))(x-a)>0; • 在a点减: xU, xa, 则((x)-(a))(x-a)<0; • 在a点不减: xU, 则((x)-(a))(x-a)0; • 在a点不增: xU, x<a, 则((x)-(a))(x-a)0; • a点是的局部严格最大值点: xU, xa, (x)<(a); • a点是的局部严格最小值点: xU, xa, (x)>(a); • a点是的局部最大值点: xU,(x)(a); • a点是的局部最小值点: xU, (x)(a).

导数对函数一点行为的刻划 • (a)充分条件: • 若(a)>0, 则在a点增; (Darboux引理) • 若(a)<0, 则在a点减; (Darboux引理) • 若xU, xa, (x)(x-a)<0, 则a局部严格最大值点; • 若xU, xa, (x)(x-a)>0, 则a局部严格最小值点; • 必要条件: 设(a)存在. • 若在a点不减, 则 (a)0; • 若在a点不增, 则 (a)0; • 若a是的极值点, 则(a)=0. (Fermat引理)

中值定理的意义及其逻辑 • 中值定理要讨论的问题: 用导数得到函数值差的表达式, 利用导数的性质研究值差以得到有关函数的信息。 • 中值(Lagrange)定理: 若C[a,b], 且在(a,b)上点点可微, 则c(a,b),使得(b)-(a)=(c)(b-a). # • 其证明是基于Fermat引理. 逻辑顺序: Rolle定理((b)=(a), c(a,b),使得(c)=0)Cauchy中值定理(,gC[a,b]都在(a,b)上点点可微,且x (a,b),g(x)0,则c(a,b),使得((b)-(a))/(g(b)-g(a))=(c)/g(c))  Lagrange中值定理. • 附带地得到导函数的介值性质和间断点的特点.

中值定理的证明及其简单推论 • Rolle定理的证明: 在(a,b)上必有极值.# • Cauchy定理的证明: h(x)=(g(b)-g(a))(x)-((b)- (a))g(x), 则hC[a,b] 在(a,b)上点点可微,且h(a)=h(b)=g(b)(a)-(b)g(a).# • Lagrange定理的证明: 在Cauchy定理中取g(x)=x就可以了.# • Darboux定理: 设在(a,b)上可微. 则((a,b))是区间. 因此在(a,b)上的间断点只能是第二类间断点. • 证明: (1) 证明零点定理; (2) 由Lagrange定理第一类间断点必为连续点. #

例子 • 例1. 设(0)=0,而当x0时, (x)=x^2 cos(1/x). 因此(0)=0,而当x0时, (x)=2xcos(1/x)+sin(1/x). 在x=0点的左右极限都不存在. • 例2. (x)=2sqrt(|x|). 若x0, (x)=sgn(x)/sqrt(|x|). (0+)=+, (0-)=- (实际上,也是在x=0点左右“导数”). • 例3. (x)=3x^(1/3). 若x0, (x)=x^(-2/3). (0+)= (0-)= + (实际上,也是在x=0点的“导数”). • 在例2-3的情形, 称在x=0点有 (左,右)导数.

Lagrange中值定理的一些推论 • 1. 若x(a,b), (x)=0,则是(a,b)上的常值函数. • 2. 设在(a,b)上可微. 则在(a,b)上不减的充分必要条件是x(a,b), (x)0. • 3.若x(a,b),(x)>0,则在(a,b)上是严格增的. • 4.设在(a,b)上可微. 则在(a,b)上严格增的充分必要条件是x(a,b), (x)0, 并且在(a,b)的子区间上不为常数. • 推论4的证明: 必要性: 由推论3得到(x)0, 严格增给出后一部分.充分性: (x)0给出不减,在(a,b)的子区间上不为常数给出严格.#

三个不等式 • Young不等式:设a,b>0, a+b=1.则x0,x^ax+b. • Young不等式的变形: a^ab^b aa+bb. (x=a/b） • Hölder不等式: 设ui, vi>0, i=1,…,n. 则 • Minkovski不等式: 设p>1, ai, bi>0, i=1,…,n. 则

参变量函数求导定理 • 定理:设j(t),y(t)在[a,b]上可微且t[a,b], j(t)> 0. 则由x=j(t)和y=y(t)可得[j(a),j(b)]上的函数y=(x). 即=yj^{-1}. 特别(j(t))=y(t)/j(t). • 这个定理为研究参数曲线和参变量函数求导提供了工具. • 证明: 链式法则的推论.# • 推论: 参变量函数二阶导数的公式. (j(t))=(y(t)j(t)-j(t)y(t))/(j(t))^3.

习题二十一 (I) • 1. 设(x)=xm(1-x)n,其中m, n为正整数. 证明: c(0,1)使得m/n=c/(1-c). • 2. 证明: 4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)内至少有一个根. • 3. 证明: ex= ax2+bx+c的根不超过三个. • 4. 设C[a,b]在(a,b)上有n阶导数, 并且在[a,b]上有(按重数计)n+1个零点. 证明: (n)在[a,b]上至少有一个零点. • 5. 证明: 一个有(按重数计)n+1个零点的次数不超过n的多项式必为零多项式.

习题二十一 (II) • 6.设在(a,b)上可微 (其中a可以是-,b可以是+).证明:如果(a+)=(b-),则c(a,b)使得(c) =0. • 7. 设在(a,b)上可微. 证明的两个零点之间必有+的零点. • 8.证明:Legendre(勒让德)多项式Pn(x)=1/(2^n n!)[(x^2-1)^n]^{(n)}在[-1,1]内有n个零点. • 9. 证明: Chebyshev-Laguerre(切比雪夫-拉盖尔)多项式Ln(x)=e^x[(x^ne^(-x)]^{(n)}有n个不同的零点.

习题二十一 (III) • 10. 证明: Chebyshev-Hermite (切比雪夫-厄尔米特)多项式Ln(x)=(-1)^n/n!e^(x^2/2)[(e^(-x^2/2)]^{(n)}有n个不同的零点. • 11. 证明: (1) |sin x-sin y||x-y|; (2) |cos x-cos y||x-y|; (3) |arctan x-arctan y||x-y|; (4) |arccot x- arccot y||x-y|. • 12. 设C(a,b)且在(a,c)(c,b)上可导. 证明: 如果, 则(c)=A. • 13. 设在(a,b)上可导, 并且在(a,b)单调. 证明C(a,b). • 14. 设在(a,b)上可导并且有界. 证明在(a,b)上一致连续.

习题二十一 (IV) • 15. 设在(a, +)上可导且(x) (x+). 证明在(a, +)上不一致连续. • 16.证明(x)=xlnx在(0,+)上不一致连续.而g(x)=sqrt(x) ln x在(0, +)上一致连续. • 17. 设(x)-(0)= x(x(x)), 其中0<x(x)<x. 证明对于(x)=x sin (ln x), (x>0), (0)=0，对于a>0, x(x)在(0,a)上不连续. • 18. 定义(x)=arctan((1+x)/(1-x)) (x1), (1)=0. 证明在x=1点有极限, 但是在x=1点的两个单侧导数都不存在. 请给出你的解释. • 19.设C[a-h,a+h]在(a-h,a+h)上可导(h>0).证明:(1) $q(0,1)(a+h)-(a-h)=[(a+q h)+(a-q h)] h; (2)$q (0,1), (a+h)+(a-h)-2(a)=[(a+ qh)-(a- qh)] h2.

习题二十一 (V) • 20. 设C[a,b]在(a,b)上可导. 证明: 如果不是一次多项式, 则$c(a,b), 使得|(c)|>|(b)-(a)|/(b-a). • 21. 设在[a,b]上有二阶导数且(b)=(a)=0. 证明: $c(a,b)使得|(c)|>4|(b)-(a)|/(b-a)^2. • 22. 设C[a,b]在(a,b)上可导. 证明: (1)$c(a,b)使得2c[(b)-(a)]=(b2-a2) (c); (2)若a >0, $c(a,b)使得(b)-(a)=c(c) ln(b/a). • 23. 设C[a,b]在(a,b)上可导(ab>0). 证明: c(a,b),

习题二十一 (VI) • 24.证明恒等式:(1)|x|1,2arctan x+arcsin[2x/(1 +x2)]=psgn(x);(2)|x|1/2,3arccosx-arcos(3x-4x3) =p. • 25. 设在(a, +)上可导并且f(x)0 (x+). 证明: f(x) /x0 (x+). . • 26. 设x=acos3t, y=a sin3t. (1) 计算 y(x); (2) 证明: 切线为坐标轴所截线段有定常. • 27. 对于曳物线: x=a[ln (tan t/2)+cos t], y=a sin t. (1) 计算 y(x); (2) 证明: 切点到切线与x轴的交点的距离为定值.

习题二十一 (VII) • 28. 证明：双纽线r2=a2cos 2q的向径与切线间的夹角等于向径极角的两倍加p/2. • 29. 证明下列不等式：(1) 当x0时, ex>1+x; (2) 当x>0时, x-x2/2<ln x<x; (3) 当x>0时, x-x3/6<sin x<x; (4) 当x>0时, (1+1/x)x<e<(1+1/x) x+1.

§4不定式 • 不定式的含义 • 洛比塔法则(L’Hôspital Rules)

不定式的含义 • 不定式: 设当xa时, (x)l, g(x)l. • 对于和: 若l与l中一个是+,一个是-, 则(x)+g(x)的极限是不能由极限运算的算术性质确定的; • 对于乘积:若l与l中一个是,一个是0, 则(x)g(x)的极限是不能由极限运算的算术性质确定的; • 对于商:若l与l都是,或都是0,则(x)/g(x)的极限是不能由极限运算的算术性质确定的; • 广而言之, 凡其极限不能由构成的两(多)个函数的极限值直接由规则确定的式子叫做不定式.一般按极限值及其构成方式分类. • 常见的不定式: +-型, 0型, /型, 0/0型, 00型, 1型, 0型等. • 上述这些常见不定式都可转化成/型, 0/0型的讨论.

洛比塔法则(L’Hôspital Rules) • 这里只对xa-讨论, 其他类型留做给学生自己完成. • 洛比塔法则I. 设,g在(a,a)上可微,(a-)=g(a-)=0, 而g在a附近不为0. 若(/g)(a-)存在, 则(/g)(a-)= (/g)(a-). • 证明: 定义(a)=g(a)=0. 余下只要应用Cauchy中值定理就够了. # • 洛比塔法则II. 设,g在(a,a)上可微,g(a-)= . 若(/g)(a-)存在, 则(/g)(a-)= (/g)(a-).

第六章 单变量微分学