Crystal

1. Crystal • Crystal (결정) • 원자들(이온 또는 분자)이 3차원 공간에 규칙적으로 배열된 고체 • Long range order 가 존재. 또는 병진 대칭(Translational Symmetry)가 존재 • Crystalline Solid • Non-Crystal (비결정) • No long range order, only short range order • Amorphous(비정질), glass Note]실제 고체 금속 (bulk solid) • 결정질에 각종 결함(defect)포함

2. 격자(Lattice) • Lattice • 결정의 3차원 주기성을 단순화해서 표현한것을 공간격자라고 한다. 이때 각 격자점은 동일한 환경을 가진다. • Basis • 각 격자점에 붙어있는 원자들 • 결정 구조(Crystal Structure) • 공간상에 원자들(이온 또는 분자)이 배열되어 있는 형상 • Crystal Structure = Lattice + basis

3. 결정구조와 격자

4. 단위격자(unit cell) • 단위격자 • 임의의 격자점을 원점으로 인접하는 3개의 격자점을 연결하는 독립벡터 a, b, c라 하면 결정은 이 기본 벡터를 모서리로 하는 평행육면체가 쌓여 중첩된 것이다. 이 기본 단위를 단위 격자 또는 단위포라고 한다. • 결정축의 단위 벡터a, b, c • 축 사이의 각도, ,  • Cell 의부피 Vc = |a  b X c |

5. 단순단위격자(primitive lattice cell) • 전체 격자를 나타낼 수 있는 가장 작은 unit cell • 1 격자점 /cell 이 때의 단위벡터(unit vector) a1, a2, a3를 단순단위벡터(primitive translation vector 또는 primitive lattice vector) 라고 한다

6. Translational Vector • a1, a2, a3 : 단순단위 벡터이면 Translational Vector (병진 벡터)는 Tlmn = l a1 +m a2 +n a3 , 여기서 l, m, n 은 임의의 정수이다. • 원점이 일단 결정되어지면 격자내의 모든 점은 Tlmn에 의하여 결정되어진다. • r2=r1+ Tlmn

7. 단위격자(unit cell)의 선택

8. Wigner-Seitz Cell • Primitive unit cell

9. Symmetry operation • Translation • Point operation • 회전 Rotation(rotation about a lattice point) • 격자는 1, 2, 3, 4, 6 fold 회전 대칭성만을 가질 수 있다. 예를들면 5-fold, 7fold, 8 fold etc.. 즉 2 /5, 2 /7, 2 /8 회전 대칭을 갖고 있는 격자는 존재하지 않음. Why? • 거울반사: Mirror Reflection 한 격자점을 지나는 면에 대한 거울반사 • 반전: Inversion r = - r

10. 5-fold Symmetry ?

11. Five 2차원 Bravais Lattice

12. 면각 일정의 법칙 • 동일한 물질인 경우 2개의 대응하는 결정면 간의 각도는 항상 일정하다

13. 7 결정계(Crystal System) • 7 결정계는 unit cell 모양에 따라 분류 • Cubic, tetragonal, orthorhombic, hexagonal, rhombohedral, moniclinic, triclinic 14 Bravais Lattice • 단위 격자 모양 과 격자점의 위치 에 따라 7결정계는 14 Bravais lattice 로 구분되어진다. • P : primitive, 1 격자점/cell • C : bace face centered, 2 격자점/cell • I : body centered, 2 격자점/cell • F : face centered, 4 격자점/cell • Bravais Lattice는 가장 기본적인 lattice이다.

14. 14 Bravais Lattice

15. 14 Bravais Lattice 삼사정계 단사정계 사방정계 정방정계 입방정계 삼방정계 육방정계

16. Bravais Lattice • 결정의 대칭성은 대칭축, 대칭면 등 여러 대칭요소의 가능한 조합으로 결정되어진다. • 3차원에서는 7개의 결정계와 14개의 Bravais Lattice 에 32 개의 point group 이 존재하고 230 space group 이 있음. • 2차원에서는 4개의 결정계와 5개의 Bravais Lattice 에 10개의 point group 과 17 개의 space group 이 있다.

18. 밀러지수 • 밀러지수 결정법: • 어떤 결정에 대해 x, y, z 축을 설정한다. • 면(plane)이 xyz축과 만나는 점을 표시한다. • 결정면의 밀러지수는 면에 의해 교차되는 좌표축의 길이를 그축의 단위길이로 나눈 값의 역수의 최소 정수비로 나타낸다. h = 1/n1, k = 1/n2, ℓ= 1/n3 → (hkℓ)로 나타낸다. 면이 축을 교차하지 않으면 밀러지수는 0 이다. 방향표시법: 방향을 표시할 때에는 결정격자의 크기를 1로 잡고 진행 방향의 xyz축의 좌표를 나타낸다. 표시는 [hkℓ]로 한다. 결정방향(crystal direction)을 표시할 때는 [ ]를 사용하고 결정면(crystal plane)을 표시할 때에는 ( )를 사용했는데 각각 방향과 면을 표시하는 기호로 약속한 것이다.또 지수가 음의 값을 갖는 경우에는 숫자위에 마이너스 부호를 붙여서 (hkℓ) 또는 [hkℓ]와 같이 나타낸다.

20. 밀러 지수(hkl) 와 면사이의 거리

21. 밀러지수

23. 밀러지수

26. 밀러 지수

28. 밀러지수

29. 밀러지수 –축의 방향

30. 축의 방향

31. 밀러지수 –축의 방향

33. 밀러지수 (100) And (110) in a Cubic Lattice

34. 밀러지수 Plane in FCC Lattice is perpendicular to [111]. Each Plane is hexagonal close packed array

36. Close-Packed Crystal Structures –FCC, HCP ccp : ABCABCABC... 의 배열 (face centered cubic) , NN=12 hcp : ABABAB...의 배열, NN=12

37. FCC 에서의 close packing 방향과 면

38. SC(Simple Cubic)

39. BCC x축에 직각인 방향으로 자르면 그림A x축과 y축에 45도 방향으로 자르면 그림B 대각선 방향으로 자르면 그림C.

41. Primitive Vector Primitive Cell in BCC Wigner-Seitz Cell

43. FCC

45. Primitive Vector Primitive Cell in FCC Wigner-Seitz Cell Primitive Cell in FCC Wigner –Seitz Cell in FCC

46. Close Packing

47. hcp ,  Primitive vectors i.e Hexagonal Lattice

48. hcp

49. NaCl (Sodium Cloride) Structure

50. CsCl(Cesume Cloride)