第 12 课 一次函数及其图象

1. 第12课 一次函数及其图象

2. 1. 概念： 形如函数叫做一次函数，其中x是自变量．特别地，当b＝0时，则把函数叫做正比例函数． 2. 正比例函数y＝kx的图象： 过两点的一条直线． 要点梳理 y＝kx＋b(k、b都是常数，且k≠0) y＝kx (0,0)，(1,k)

3. 3. 正比例函数y＝kx的性质： (1)当k>0时，； (2)当k<0时，． 4. 一次函数y＝kx＋b的图象： y随x的增大而增大 y随x的增大而减小

4. 5. 一次函数y＝kx＋b的性质： 过的一条直线． (1) ； (2) ． (0,b)， 当k>0时，y随x的增大而增大 当k<0时，y随x的增大而减小

5. 1. 正确理解正比例函数与一次函数之间的关系 从解析式上看，对于一次函数的一般形式y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)，当b＝0时，即可得到正比例函数的解析式y＝kx (k为常数，k≠0)．正比例函数是一次函数，而一次函数不全是正比例函数．例如：函数y＝2x＋3是一次函数，但不是正比例函数；而函数y＝2x是正比例函数，也是一次函数．即一次函数包含正比例函数，二者不能并列；从函数图象上看，正比例函数y＝kx的图象与y轴交于原点(0, 0)，一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于(0, b)点，由此可知，直线y＝kx通过适当的平移可得到直线y＝kx＋b. [难点正本 疑点清源]

6. 2. 用函数观点看一次函数与一次方程(组)、不等式的内在联系 用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标；一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0的形式，解一元一次不等式可以看做当一次函数的函数值y大于或小于0时，求自变量x相应的取值范围．从图象上看，一次函数y＝ax＋b的图象在x轴上的部分对应y>0，这时对应的自变量x的所有取值为不等式ax＋b>0的解集，同理，一次函数图象在x轴下方的部分对应的x的所有取值为ax＋b<0的解集．利用一次函数的图象能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要．

7. 一般地，每个二元一次方程组，也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．一般地，每个二元一次方程组，也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标． 方程(组)、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用．

8. 1．(2011·潼南)目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是()1．(2011·潼南)目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是() A．y＝0.05x B. y＝5x C．y＝100x D．y＝0.05x＋100 解析：y＝(100×0.05)x＝5x. 基础自测 B

9. 2．(2011·杭州)一个矩形被直线分成面积为x、y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是()2．(2011·杭州)一个矩形被直线分成面积为x、y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是() 解析：设矩形的面积为S，则x＋y＝S，y＝－x＋S，其中0<x<S. 故选A. A

10. 3．(2011·江西)已知一次函数y＝x＋b的图象经过一、二、三象限，则b的值可以是()3．(2011·江西)已知一次函数y＝x＋b的图象经过一、二、三象限，则b的值可以是() A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：因为直线过第一、二、三象限，所以x＝1>0，b>0，故选D. D

11. 4．(2011·泰安)知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m、n的取值()4．(2011·泰安)知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m、n的取值() A．m＞0，n＜2 B．m＞0，n＞2 C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2 解析：由直线位置得 ∴ 故选D. m＜0， m＜0， n－2＞0， n＞2， D

12. 5．(2011·苏州)如图，已知A点坐标为(5,0)，直线y＝x＋b(b>0)与y轴交于点B，连接AB，∠a＝75°，则b的值为()5．(2011·苏州)如图，已知A点坐标为(5,0)，直线y＝x＋b(b>0)与y轴交于点B，连接AB，∠a＝75°，则b的值为() A．3 B. C．4 D. 解析：因为直线y＝x＋b与x轴成45°角， 又∠a＝75°，所以∠BAO＝30°， 在Rt△AOB中，OA＝5， 则由tan30°＝ ，得OB＝ ，即b＝ . B

13. 题型一　一次函数y＝kx＋b对图象及性质的影响题型一　一次函数y＝kx＋b对图象及性质的影响 【例 1】 (1)一次函数y＝x＋2的图象不经过() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：直线y＝x经过第一、三象限，向上平移2个单位得直线y＝x＋2，而直线y＝x＋2经过第一、二、三象限，不经过第四象限，应选D. 题型分类 深度剖析 D

14. (2)一次函数的图象过点(0,2)，且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式．　(2)一次函数的图象过点(0,2)，且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式．　 解析：设y＝kx＋2，又y随x的增大而增大，所以k>0， ∴符合条件的有：y＝x＋2(只需k>0即可)． 探究提高　 根据一次函数的性质，若已知系数k的符号就可以直接说出函数y的值随x增大的增减情况(即增减性)；反之，若知道一次函数的增减性，就能推断系数k的符号；一次函数的图象直线y＝kx＋b与y轴交点(0,b)，根据交点的位置，就能推断b的符号． y＝x＋2(只需k>0即可)

15. 知能迁移1(1)(2011·衡阳)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为(2,0)，则下列说法：①y随x的增大而减小；②b>0；③关于x的方程kx＋b＝0的解知能迁移1(1)(2011·衡阳)如图，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为(2,0)，则下列说法：①y随x的增大而减小；②b>0；③关于x的方程kx＋b＝0的解 为x＝2.其中说法正确的有 (把你认为说法正确的序号都填上)； ①②③ (2)已知一次函数y＝3x＋m－2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是． 解析：m－2<0，m<2. m<2

16. 题型二　待定系数法求一次函数的解析式 【例2】 如图，直线l1、l2相交于点A(2,3)，直线l1与x轴的交点坐标为(－1,0)，直线l2与y轴的交点坐标为(0,－2)，结合图象解答下列问题： (1)求直线l1、l2的解析式； (2)求直线l1、l2与y轴围成 的三角形的面积．

17. 解：(1)设直线l1的解析式为y1＝k1x＋b1，有 得 ∴y1＝x＋1. 同理：直线l2的解析式为y2＝ x－2. (2)直线l1：y1＝x＋1与y轴交于点(0,1)； 直线l2：y2＝ x－2与y轴交于点(0,－2)． ∴三角形的面积＝ ×[1－(－2)]×2＝3. 探究提高 k、b是一次函数y＝kx＋b的未知系数，这种先设待求函数关系式，再根据条件列出方程或方程组，求出未知数，从而得出所求结果的方法，就是待定系数法． 3＝2k1＋b1, k1＝1, 0＝－k1＋b1, b1＝1,

18. 知能迁移2(2011·福州)如图，在平面直角坐标系中，A、B均在边长为1的正方形网格格点上．知能迁移2(2011·福州)如图，在平面直角坐标系中，A、B均在边长为1的正方形网格格点上． (1)求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围； (2)将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，请画出线段BC.若直线BC的函数解析式为y＝mx＋n，则y随x的增大而 (填“增大”或“减小”)．

19. 解：(1)设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b， 依题意，得A(1,0)，B(0,2)， ∴ 解得 ∴直线AB的函数解析式为y＝－2x＋2. 当0≤y≤2时，自变量x的取值范围是0≤x≤1. (2)线段BC即为所求． 答案： 增大． 0＝k＋b， k＝－2， 2＝0＋b， b＝2，

20. 题型三　一次函数与一次方程、一次不等式综合问题题型三　一次函数与一次方程、一次不等式综合问题 【例3】 (1)已知一次函数y＝ax＋b(a≠0)中，x、y的部分对应值如下表，那么关于x的方程ax＋b＝0的解是________． 答案　x＝2 解析　观察表格，可得当x＝2时，y＝0，所以方程ax＋b＝0的解是x＝2.

21. 题型三　一次函数与一次方程、一次不等式综合问题题型三　一次函数与一次方程、一次不等式综合问题 【例3】 (1)已知一次函数y＝ax＋b(a≠0)中，x、y的部分对应值如下表，那么关于x的方程ax＋b＝0的解是． 解析：观察表格，可得当x＝2时，y＝0，所以方程ax＋b＝0的解是x＝2. x＝2

22. (2)若直线y＝－x＋b与x轴交于点(2,0)，则关于x的不等式－x＋b>0(2)若直线y＝－x＋b与x轴交于点(2,0)，则关于x的不等式－x＋b>0 的解集是． 解析：直线y＝－x＋b与x轴交于(2,0)，可知x＝2时y＝0， 所以不等式－x＋b>0的解是x<2. 探究提高　 进一步熟悉函数图象的作法，通过图象体会一次函数与一元一次方程，一元一次不等式的内在联系，提高识图能力，一次函数 y＝kx＋b，当y＝0，则kx＋b＝0，得到一元一次方程，当y>0，则有kx＋b>0，得到一元一次不等式． x<2

23. 知能迁移3(1)如图，直线y＝kx＋b经过A(2,1)、B(－1,－2)两点，则不等式 x>kx＋b>－2的解集为________． 答案　2<x<2 解析　画直线y＝x，及直线y＝－2，即得解集．

24. (2)如图直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．(2)如图直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)． ①求b的值； ②不解关于x、y的方程组 ，请直接写出它的解； ③直线l3：y＝nx＋m是否经过点P？请说明理由． y＝x＋1 y＝mx＋n

25. 解：①当x＝1时，y＝x＋1＝1＋1＝2. ∴P(1,2)，b＝2. ②方程组的解为 ③∵点(1,2)在直线l2：y＝mx＋n上， ∴2＝m＋n. 当x＝1时，l3：y＝n＋m＝2. ∴点P在l3：y＝nx＋m上， 即直线y＝nx＋m经过点P. x＝1 y＝2

26. 题型四　方案优化问题 【例4】 在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x(张)，总费用为y(元)．现有两种购买方案： 方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元(总费用＝广告赞助费＋门票费)； 方案二：购买门票方式如图所示． 解答下列问题： (1)方案一中，y与x的函数关系式 为；方案二中， 当0≤x≤100时，y与x的函数关系 式为； 当x＞100时，y与x的函数关系式为；

27. (2)如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；(2)如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由； (3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元．求甲、乙两单位各购买门票多少张． 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)y＝60x＋10000； [1分] 当0≤x≤100时，y＝100x； [2分] 当x>100时，y＝80x＋2000. [3分] (2)100<x<400时，选方案二购买； x＝400时，两种方案都可以； x>400时，选方案一购买． [6分]

28. (3)设甲、乙单位购买本次足球赛门票分别是a张、b张,(3)设甲、乙单位购买本次足球赛门票分别是a张、b张, ∵甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球赛门票, ∴乙公司购买本次足球赛门票有两种情况b≤100或b>100. ①当b≤100时， 解得 不合题意，舍去． [8分] ②当b>100， 解得 符合题意． 故甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为500张，200张.[10分] a＋b＝700, a＋b＝700, (60a＋10000)＋100b＝58000, (60a＋10000)＋(80b＋2000)＝58000, a＝500, a＝500, b＝150 b＝200

29. 探究提高 1.数形结合，把数式和图形结合起来进行思考，互相解释、互相补充．　 2.认真审题，理解题意，看懂坐标轴及图象上的点所表示的实际意义，是解决这类问题的关键，注意分段函数是由自变量的取值决定的．

30. 知能迁移4(2012·巴中)“保护环境，人人有责．”为了更好地治理巴河，巴中市污水处理厂决定购买A、B两型治水处理设备，共10台，其信息如下表：知能迁移4(2012·巴中)“保护环境，人人有责．”为了更好地治理巴河，巴中市污水处理厂决定购买A、B两型治水处理设备，共10台，其信息如下表： (1)设购买A型设备x台，所需资金共为W万元，每月处理污水总量为y吨，试写出W与x，y与x的函数关系式； (2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，月处理污水量不低于2040吨，请你举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？

31. 解：(1)W＝12x＋10(10－x)＝2x＋100， y＝240x＋200(10－x)＝40x＋2000. (2)∵ ∴ ∴整数x取1或2或3. 有三种购买方案： ①A型1台，B型9台； ②A型2台，B型8台； ③A型3台，B型7台． ∵W＝2x＋100，W随x的增大而增大． ∴x＝1时，W有最小值，W＝1×2＋100＝102. 答：方案①最省钱，需要102万元． W≤106， y≥2040， x≤3， y≥1， 2x＋100≤106， 40x＋2000≥2040，

32. 8. 一次函数错例分析 试题　如图所示，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板顶点与O重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N，如果AB＝4，AD＝6，OM＝x，ON＝y.则y与x的关系式是() A．y＝ x B．y＝ C．y＝x D．y＝ x 学生答案展示B 易错警示

33. 剖析　此题看起来有些无从下手，易估计直角三角形顶点与矩形ABCD的中心O重合时，转动三角板，与矩形重合的面积不变，剖析　此题看起来有些无从下手，易估计直角三角形顶点与矩形ABCD的中心O重合时，转动三角板，与矩形重合的面积不变， 即S矩形OMBN＝ ×4×6(即取直角三角板的特殊情形)，则易错误地得到x·y＝6，即y＝ .但实际上，过点O作AB、BC的垂线， 垂足分别为E、F，如图所示．由于∠EON＋∠EOM＝90°，所以∠EON＝∠FOM，又∠OEN＝∠OFM＝90°，因此 △OEN∽△FOM，则 ＝ ＝ ，即y＝x，此时，可看出 S△OEN∶S△OFM＝(OE∶OF)2＝9∶4，所以，直角三角板与矩形ABCD重合部分面积并非定值6. 正解　D

34. 批阅笔记　 不可以偏概全，用特殊位置、特殊值来考虑一般情形；再者，本题中转动直角三角板，与矩形重合部分的图形会随之而改变．

35. 方法与技巧 1. 能用待定系数法求一次函数的关系式，用两点法准确画出一次函数的图象，借助图象深刻理解一次函数的性质，渗透数形结合的思想，会利用图象判断k、b的取值范围． 2. 对于实际问题，要根据等量关系写出函数关系式，体现用函数思想解决实际问题能力． 3. 注重综合题、应用题、阅读题的训练，提高函数建模能力和阅读能力． 4. 关于函数的分类讨论要求，从图象上反映为折线，有其丰富的实际背景． 思想方法 感悟提高

36. 5. 解有关一次函数y＝kx＋b的图象与性质的问题时，应注意以下三点： (1)一次函数图象分布特征与k、b的符号之间的关系； (2)一次函数图象的增减性与k的符号之间的关系； (3)一次函数图象与两坐标轴的交点及围成的图形的面积．

37. 失误与防范 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0，k、b为常数)，等号的右边是自变量x的一次式，当k＝0时，得y＝b，这就不是一次函数了，而是一个常函数，不论x取何值时，对应的y的值总是b，它的图象是一条平行于x轴的直线． 2．从以上知道，一次函数的图象是一条直线，但直线并不一定是一次函数的图象．

38. 例：已知直线y＝(m＋3)x＋m2－9经过点(1,0)，求m的值．例：已知直线y＝(m＋3)x＋m2－9经过点(1,0)，求m的值． 解答：当x＝1时，y＝0，即m2＋m－6＝0.解得m＝2或m＝－3. 很多同学误以为m＋3≠0，m≠－3，舍去m＝－3，故m＝2. 其实，当m＝－3时，此直线变为y＝0，而y＝0就是x轴，又因为点(1,0)在x轴上，即x轴经过点(1,0)，所以m＝－3也符合题意，不能舍去．所求的m的值为－3或2. 如果把本题中的“已知直线”改为“一次函数”，还是应考虑 m＋3≠0这个限制条件的，要予以区分．

39. 完成考点跟踪训练 12