3.8 相關變化率

1. 3.8 相關變化率

2. 3.8 相關變化率 學習目標 檢查相關變數。 解相關變化率問題。 第三章　微分 P.3-64

3. 相關變數 在本節，將探討變數隨著時間改變的問題。如果兩個以上變數彼此相關，則它們對時間的變化率也是相關的。 第三章　微分 P.3-64

4. 相關變數 例如，假設 x 和 y 的關係由方程式 y ＝ 2x 所決定，如果兩個變數都隨著時間改變，則它們的變化率也會有關係。 第三章　微分 P.3-64

5. 相關變數 在這個簡單的例子中，因為 y 的值都是 x 的兩倍，所以 y 對時間的變化率也都是 x 對時間變化率的兩倍。 第三章　微分 P.3-64

6. 範例1　計算兩個相關的變化率 變數 x 和 y 都是 t 的可微函數，其關係為 y ＝ x2＋ 3 當 x ＝ 1 時，dx/dt ＝ 2，求 x ＝ 1 時的 dy/dt。 第三章　微分 P.3-64

7. 範例1　計算兩個相關的變化率 （解） 方程式的兩邊用連鎖律對 t 微方。 當 x ＝ 1 以及 dx/dt ＝ 2，則 第三章　微分 P.3-64

8. 檢查站 1 當 x ＝ 1 時，dx/dt ＝ 3，求若 y ＝ x3＋ 2，x ＝ 1 時的dy/dt。 第三章　微分 P.3-64

9. 解相關變化率的問題 在範例1中，數學模型已給定。 給定方程式：y ＝ x2＋ 3 給定變化率：當 x ＝ 1， 求：當 x ＝ 1， 的值 在下一個範例，將示範如何建立相似的數學模型。 第三章　微分 P.3-65

10. 範例2　改變面積 一顆鵝卵石丟進平靜的池塘，引起同心圓的漣漪 (如照片所示)。外圈漣漪的半徑 r 是以 1 呎/秒的速率增加。當半徑為 4 呎時，起漣漪水面的總面積 A 的變化率為何？ 第三章　微分 P.3-65

11. 範例2　改變面積 （解） 變數 r 和 A 的關係為圓面積 A ＝ π r2。利用半徑的變化率為dr/dt 的事實，就可解本題。 方程式：A ＝ π r2 給定變化率：當 r ＝ 4， 求：當 r ＝ 4， 的值 使用這個模型，可參照範例 1 來進行運算。 第三章　微分 P.3-65

12. 範例2　改變面積 （解） 當 r ＝ 4 且 dr/dt ＝ 1，則 當半徑為 4 呎時，此面積的變化率是 8平方呎/秒。 第三章　微分 P.3-65

13. 檢查站 2 如果在範例 2 中，外圈漣漪的半徑 r 是以 2 呎/秒的速率增加，則當半徑為 3 呎時，總面積的變化率為何？ 第三章　微分 P.3-65

14. 學習提示 在範例 2 中，半徑以等速率改變 (即對所有的 t，dr/dt ＝ 1)，但是面積以非等速率變化。 第三章　微分 P.3-65

15. 解相關變化率的問題 範例 2 的解法說明解相關變化率問題的步驟。 準則的步驟 2 則是要求必須寫出決定給定變數關係的方程式。 第三章　微分 P.3-66

16. 學習提示 注意，在準則中步驟 3 和 4的順序。在還沒有完成微分前，不要將已知的變數值代入。 第三章　微分 P.3-66

17. 解相關變化率的問題 下表列舉一些常見之變化率的數學模型，在求解相關變化率問題時可參考使用。 第三章　微分 P.3-66

18. 範例3　體積的變化 將空氣以 4.5 立方吋/分的速率灌進一顆球狀氣球，見圖 3.37。求當半徑為 2 吋時半徑的變化率。 第三章　微分 P.3-66

19. 範例3　體積的變化 第三章　微分 P.3-66 圖3.37

20. 範例3　體積的變化 （解） 令 V 表示氣球的體積以及 r 表示半徑。因為體積以 4.5 立方吋/分的速率增加，所以 dV/dt ＝ 4.5，V 和 r 的關聯方程式是 V ＝ ，本問題可用下面模型來表示。 方程式：V ＝ 給定變化率： 求：當 r ＝ 2， 的值 第三章　微分 P.3-66

21. 範例3　體積的變化 （解） 對方程式微分，可得 當 r ＝ 2 以及 dV/dt ＝ 4.5，半徑的變化率為 第三章　微分 P.3-67

22. 檢查站 3 如果球狀氣球的半徑是以 1.5吋/分的速率增加，求當半徑為 6 吋時球的表面積 (球的表面積公式：S ＝ 4r2)。 第三章　微分 P.3-67

23. 解相關變化率的問題 注意，範例 3 中的體積是以等速率增加，但是半徑以可變的速率增加。在本例中，當 t 增加時，半徑增加的速率越來越慢，可見下表的說明。 第三章　微分 P.3-67

24. 範例4　分析利潤函數 某公司銷售 x 單位產品的利潤 P (美元) 模型為 銷售量以每天 10 單位的速率增加，求銷售 500 單位時利潤的變化率 (美元/日)。 第三章　微分 P.3-67

25. 範例4　分析利潤函數 （解） 因為所求的變化率是以美元/日為單位，所以應該將給定的方程式對時間 t 微分。 因為銷售量是以等速率 10單位/日增加，所以 第三章　微分 P.3-67

26. 範例4　分析利潤函數 （解） 當 x ＝ 500 單位且 dx/dt ＝ 10 時，利潤的變化率是 利潤函數 (以 x 為變數) 的圖形顯示在圖 3.38。 第三章　微分 P.3-68

27. 範例4　分析利潤函數 （解） 第三章　微分 P.3-68 圖3.38

28. 學習提示 注意，在範例 4 中，在應用問題成功使用微積分的關鍵之一，就是將變化率視為導數。 第三章　微分 P.3-68

29. 檢查站 4 如果銷售量以每天 10 單位的速率增加，以及 求銷售 50 單位時利潤的變化率 (美元/日)。 第三章　微分 P.3-68

30. 範例5 ： 決策－ 增加產量 某公司以每週 200 單位的速率增加一項產品的產量，週需求函數的模型為 p ＝ 100 － 0.001x 其中 p 是單價 (美元) 以及 x 是一週的生產單位數。求每週產量為2000 單位時，收入對時間的變化率。收入的變化率將會大於每週20,000 美元嗎？ 第三章　微分 P.3-68

31. 範例5　增加產量 （解） 方程式： R ＝ xp ＝ x(100－0.001x) ＝ 100x－0.001x2 給定變化率： 求：當 x ＝ 2000， 的值 第三章　微分 P.3-68

32. 範例5　增加產量 （解） 由方程式微分可得 。 第三章　微分 P.3-68

33. 範例5　增加產量 （解） 使用 x ＝ 2000 以及 dx/dt ＝ 200，則 收入的變化率將不會大於每週 20,000 美元。 第三章　微分 P.3-69

34. 檢查站 5 若範例 5 中的週需求函數為p ＝ 150 － 0.002x ，求該公司收入對時間的變化率。 第三章　微分 P.3-69