مدل سينماتيکی روبات متحرک چرخدار

1. مدل سينماتيکی روبات متحرک چرخدار ارائه دهنده : احسان ا.. غلامی

2. فهرست مطالب • مقدمه • طبقه بندی چرخها • روبات متحرک چرخدار (WMR) • مدل سينماتيکی Muir, Newman

3. تعريف روبات متحرک چرخدار (WMR) • روباتی است که فقط از طريق حرکت کردن چرخواره ها (wheel assembly) های تعبيه شده بر روی آن که در تماس با سطح می باشد، می تواند جابجا شود. • چرخواره : وسيله ای است که حرکت نسبی بين پايه اش و يک سطح که يک نقطه مشترک و يا يک تماس غلتان (rolling contact) با آن دارد را امکانپذير می سازد. (Muir and Newman, 1986)

4. مقدمه • روباتهای صنعتی ثابت (استفاده از نوار نقاله، دسترسی محدود) • روشهای غلبه بر مشکل دسترسی محدود : • روش flexible manufacturing cell : احاطه روبات توسط ماشينهای ديگر، اندازه ماشينها • متحرک کردن روبات : مثلاً استفاده از ريل (مسير شناخته شده، مدل کردن و کنترل ساده تر • انتقال فرآورده ها در کارخانجات توليدی • انتقال مواد در بين work cell ها • AGV (Automated Guided Vehicle) : مسير های از پيش تعيين شده • روباتهای متحرک : حرکت آزادانه در محيط، ادراک محيط، کنترل حرکت روبات در محيط

5. مثالهايی از روباتهای متحرک روبات 4 چرخه برای زمينهای نا هموار روباتهای AGV روبات 6 چرخه کاوشگر مريخ

6. روبات چندسويه چرخ سوئدی

7. پيشينه کار • مدل کردن سينماتيکی WMR ها بر روی سطح هموار (Muir & Neuman, 1987; Alexander and Maddocks, 1989) • مسأله لغزش سينماتيکی در طراحی های موجود (Waldron, 1995; Sreenivasan & Waldron, 1996 ) • وسيله نقليه با قابليت حرکت بدون لغزش (Choi and Sreenivasan, 1999) • محور با طول متغير (VLA) و محدوديتهای آن (Sreenivasan et.al. 1996, 1997,1999) • سينماتيک برخورد (Montana 1988)

8. فهرست مطالب • مقدمه • طبقه بندی چرخها • روبات متحرک چرخدار (WMR) • مدل سينماتيکی Muir, Newman

9. چرخها حرکت غلتشی لغزش جانبی

10. چرخهای هدايت شونده • چرخ هدايت شونده (steered wheel) • جهت محور چرخشی قابل کنترل است.

11. چرخ غلتنده ايده آل • مفروضات • روبات از مکانيزمهای صلبی ساخته شده است. • هيچ لغزشی در جهت عمود بر غلتش انجام نمی شود. • هيچگونه لغزش انتقالی (سر خوردن) بين چرخ و زمين رخ نمی دهد (غلتش محض). • روبات به ازای هر چرخ حداکثر يک لينک هدايتگر دارد. • همه محورهای هدايتگر عمود بر سطح زمين می باشند. حرکت به صورت غلتش بدون لغزش

12. پارامترهای چرخ • در سرعتهای پايين، مدل غلتشی برای چرخ، قابل قبول می باشد. • اين مدل در اکثر مواقع در مدلسازی سينماتيکی WMRها به کار می رود. • پارامترهای چرخ • r: شعاع چرخ • v: سرعت خطی چرخ • w:سرعت زاويه ای چرخ • t:سرعت هدايتگر

13. انواع چرخ چرخ ثابت چرخ قابل جهت گيری از مرکز چرخ قابل جهت گيری از غير مرکز(castor wheel) چرخ سوئدی(دارای خاصيت چند سويه)

14. چرخ ثابت • سرعت نقطه P ( که بردار يکه در راستای محور X می باشد.) • محدوديت بر تحرک روبات نقطه P نمی تواند در راستای عمود بر صفحه چرخ حرکت داشته باشد.

15. x y چرخهای قابل جهت دهی از مرکز • سرعت نقطه P (که بردار يکه در راستای محور X می باشد.)

16. x y چرخهای قابل جهت دهی از غير مرکز • سرعت نقطه P که، بردار يکه در راستای محور محور X می باشد. و ، بردار يکه در راستای محور Y می باشد.

17. x y چرخ سوئدی • سرعت نقطه P که بردار يکه در راستای حرکت غلتک می باشد. • خاصيت چند سويه بودن

18. فهرست مطالب • مقدمه • طبقه بندی چرخها • روبات متحرک چرخدار (WMR) • مدل سينماتيکی Muir, Newman

19. مثالهايی از WMR • حرکت صاف و روان • احتمال لغزش • در بعضی مواقع استفاده از roller-ball برای ايجاد تعادل • حرکت کاملاً مستقيم • مقاوم در برابر لغزش • مدل کردن غير دقيق دور زدن • حرکت آزاد • ساختار پيچيده • ضعف قالب

20. حرکت روبات متحرک • مرکز لحظه ای چرخش (ICR) : نقطه تلاقی همه محور های چرخها

21. درجه تحرک • درجه تحرک : درجه آزادی حرکت روبات حرکت قوسی ثابت (دارای فقط يک ICR) ناتوان از حرکت (بدون ICR) درجه تحرک = 1 درجه تحرک = 0 حرکت کاملاً آزاد (ICR می تواند هر نقطه ای باشد.) حرکت قوسی متغير(خطی از ICRها) درجه تحرک = 3 درجه تحرک = 2

22. درجه قابليت هدايت • درجه قابليت هدايت : تعداد چرخهای قابل جهت دهی از مرکز، که به طورمستقل قابل هدايت می باشند. بدون چرخ قابل هدايت از مرکز درجه قابليت هدايت = 0 دارای يک چرخ قابل هدايت از مرکز دارای دو چرخ قابل جهت دهی ازمرکز مستقل دارای دو چرخ قابل جهت دهی ازمرکز وابسته درجه قابليت هدايت = 2 درجه قابليت هدايت = 1

23. درجه Maneuverability • درجه Maneuverability : مجموع درجات آزادی که يک روبات می تواند اداره کند. • مثالهايی از روبات (درجه تحرک، درجه قابليت هدايت)

24. مثالهايی ديگر از Maneuverability

25. فهرست مطالب • مقدمه • طبقه بندی چرخها • روبات متحرک چرخدار (WMR) • مدل سينماتيکی Muir, Newman

26. مدل کردن WMR بر روی سطح هموار • سينماتيک WMR: • سينماتيک داخلی : ارتباط بين لينکها در روبات • سينماتيک خارجی : ارتباط بين روبات و بقيه جهان (خط سير روبات) • تفاوت با سينماتيک Manipulator : • مدل کردن به صورت multiple closed link chain • مدل کردن به صورت higher order pair • در WMR، بعضی چرخها اصلاً به حرکت در نمی آيند و يا بعضی درجات آزادی بر روی آنها اصلاً فعال نمی شوند. • هنگام کنترل خط سير يک WMR، احتياج به اندازه گيری موقعيت، سرعت و شتاب هر درجه آزادی برای هر چرخ نيست.

27. تعريف روبات متحرک چرخدار • روباتی است که فقط از طريق حرکت کردن چرخواره ها (wheel assembly) های تعبيه شده بر روی آن که در تماس با سطح می باشد، می تواند جابجا شود. • چرخواره : وسيله ای است که حرکت نسبی بين پايه اش و يک سطح که يک نقطه مشترک و يا يک تماس غلتان (rolling contact) با آن دارد را امکانپذير می سازد. (Muir and Newman, 1986)

28. تعاريف و مفروضات • تعريف Muir و Newman از WMR : روباتی که فقط از طريق حرکت کردن wheel assembly های تعبيه شده بر آن که در تماس با سطح می باشد، می تواند جابجا شود. • wheel assembly: وسيله ای است که حرکت نسبی بين پايه اش و يک سطح که يک نقطه مشترک و يا يک تماس غلتان با آن دارد، را امکانپذير می سازد. • مفروضات ديگر برای ساده سازی معادلات • روبات از مکانيزمهای صلبی ساخته شده است. • روبات برای هر چرخ حداکثر يک لينک هدايت کننده دارد. • همه محورهای هدايت عمود بر سطح زمين می باشند. • زمين، يک سطح صاف می باشد. • هيچگونه خطای انتقال بين چرخ و زمين رخ نمی دهد. • اصطکاک چرخشی در نقطه تماس برای چرخ به اندازه کافی کوچک است که در جهت يک محور عمودی از طريق آن نقطه گردانده شود.

29. تخصيص چارچوب های مختصات • در يک زنجيره closed-link چند گانه، قرارداد D-H برای تخصيص چارچوب های مختصات، منجر به ماتريسهای تبديل مبهم می شود، زيرا ترتيب joint ها مشخص نيست. • قرارداد Sheth-Uicker برای تخصيص چارچوب های مختصات (1971): هر چرخ را در نقطه تماس به صورت يک planar pair مدل می کنيم. (يک planar pair دو درجه انتقال و يک درجه چرخش دارد.) درجات آزادی حرکت چرخ بدون ابهام در ماتريسهای تبديل می توانند مدل شوند. چارچوب های مختصات در دو انتهای هر لينک تخصيص داده می شوند. در هر joint، دو چارچوب وجود دارد که وقتی اين دو چارچوب بر هم منطبق می شوند، متغير joint، صفر می شود. لينک های يک WMR : زمين، بدنه روبات و لينک های هدايت گر اين سه لينک با سه joint به هم متصلند : چرخ، محور هدايت گر و نقطه مرکزی روبات (!) چرخ به صورت يک planar pair که در نقطه تماس چرخ و کف واقع شده، مدل می شود. محور z همه چارچوب ها عمودی است و در تحليل دو بعدی ناديده گرفته می شود.

30. شکل 1

31. شکل 2 روبات Newt

32. يک چرخ منفرد دارای سه لينک، سه joint و سه چارچوب مختصات خواهد بود. • سيستم های مختصات منطبق لحظه ای : • يک چارچوب مختصات ثابت می باشد که در لحظه مشاهده، در همان نقطه چارچوب مختصاتی که حرکت می کند، قرار گرفته است. • يک چارچوب مختصات زمين در همان مکان چارچوب حرکت کننده قرار دهيم. • تبديل موقعيت بين دو چارچوب صفر است، اما تبديل های سرعت و شتاب صفر نيستند. • برای اين معرفی شدند که محاسبه سرعتها و شتابهای اين سيستم مختصات را که به صورت چند بعدی حرکت می کند، به صورت مستقل از موقعيت روبات، امکانپذير کنند. • سيستم مختصات : برای مشخص کردن سرعتها و شتابهای روبات، مستقل از موقعيت روبات در لحظه مشاهده شده استفاده می شود. • سيستم مختصات : برای مشخص کردن سرعت و شتاب چرخ استفاده می شود.

33. شکل 3

34. ماتريسهای انتقال • چرخشها فقط حول محور z می توانند انجام شوند. ω = سرعت زاويه ای α = شتاب زاويه ای v = سرعت خطی a = شتاب خطی θ = زاويه چرخش بين چارچوب ها

35. تبديل از مرکز مرکز روبات به نقطه تماس چرخ : • در روباتهايی که لينک هدايتگر ندارند، محور لينک هدايتگر و محور نقطه تماس، منطبق بر هم هستند و تبديل بين اين محورها به ماتريس يکه تقليل می يابد. از آنجا که چارچوب های منطبق لحظه ای، بر چارچوب های متناظر در هر لحظه منطبق هستند، پس در اندازه گيری موقعيت، تبديل بين دو چارچوب، تبديل يکه می باشد : • با استفاده از اين معادله، مکان هر نقطه ديگر مانند p نيز به صورت زير بدست می آيد: • برای يک روبات با سه چرخ، مدل سينماتيکی با يک گراف تبديل موازی با چهار مسير، يکی برای هر چرخ و يک مسير بازگشت مشترک نشان داده می شود، که سينماتيک داخلی يک روبات سه چرخه را کاملاً تشريح می کند. معادلات تبديل برای اين روبات عبارتند از :

36. شکل 4

37. مثلاً در مورد روبات Newt، با استفاده از اين تکنيک، از آنجا که چرخهای پيشران نسبت به بدنه ثابت هستند، چارچوب های پيشران نسبت به چارچوب بدنه روبات يا چارچوب تماس چرخ حرکتی ندارند. اگر آنها به طور منطبق بر چارچوب های تماس چرخ قرار بگيرند، تبديل بين چارچوب پيشران و چارچوب تماس، ماتريس يکه خواهد بود. : • بنابراين تبديلات بين مرکز روبات و نقاط تماس چرخهای پيشران به صورت زير خواهد بود : • از طرف ديگر قرقره نسبت به روبات حرکت می کند و تبديل آن به صورت زير است :

38. شکل 5

39. سرعت و ژاکوبين • سرعت يک نقطه مانند p بر روی روبات نسبت به يک چارچوب مرجع، با مشتق گيری از تبديل موقعيت به دست می آيد : • برای مثال با استفاده از موقعيت يک نقطه بر روی لينک هدايتگر در شکل 6، نسبت به چارچوب SL می توانيم سرعت اين نقطه را نسبت به چارچوب زمين پيدا کنيم. تبديل موقعيت اين نقطه به صورت زير است : • پس تبديل سرعت عبارتست از :

40. هرچند مشتق گيری از معادلات تبديل در مکانيزمهای lower pair (بازوی manipulator) ممکن است، اما در معادلات تبديل مکانيزمهای higher pair، اين کار مجاز نيست. برای غلبه بر اين مشکل، Muir و Newman يک روش Velocity Cascade ارائه کردند که سرعت را به صورت حاصلضرب تبديلات بيان می کرد و معادله بالا از آن به دست آمده است. • بعضی از جملات معادله بالا قابل حذف شدن هستند. ابتدا سرعت چارچوب RF که بر روی زمين واقع شده و به طور لحظه ای منطبق با چارچوب RB می باشد، نسبت به چارچوب زمين صفر است. به همين علت جمله اول حذف می شود. ثانياً جمله سوم شامل سرعت چارچوب SB نسبت به RB می باشد. از آنجا که اين دو چارچوب متصل به روبات می باشند و SB نسبت به RB ثابت است، اين جمله نيز حذف می شود. و معادله حاصل عبارتست از : • سرعت روبات = • مکان هدايتگر می باشد و مشتق آن سرعت هدايتگر است = • موقعيت روبات است = • تبديل robot-to-hip =

41. شکل 6

42. برای حل معادلات بالا و به دست آوردن سرعت نقطه P نسبت به زمين، بايد مقاديری را به اين جملات نسبت دهيم. تبديل robot-to-hip تابعی از طراحی روبات بوده و معمولاً تغيير نمی کند. موقعيت و سرعت هدايتگر توسط سنسورها اندازه گيری می شود و سرعت روبات از اندازه گيری سرعت چرخ محاسبه می شود و موقعيت روبات با جمع کردن اطلاعات سنسورها توسط يک نقشه بدست می آيد. برای مثال، سرعت لحظه ای نقطه تماس بين قرقره آزاد و زمين در روبات Newt عبارتست از : دو تا از تبديلات در اين معادله از رابطه ای که برای انتقال قرقره نسبت به روبات به دست آورديم، به دست آمده و مقدار زاويه θ3اندازه گيری می شود. پارامترهای ديگر با اندازه گيری به دست می آيند. از طرف ديگر سرعت روبات از اندازه گيريهای موقعيت چرخ و سرعت چرخ، قابل محاسبه است. اگر يکی از چرخهای پيشران را در Newt در نظر بگيريم، معادله موقعيت روبات به فرم زير در می آيد : با مشتق گيری از اين معادله، معادله ای برای سرعت روبات بدست می آوريم :

43. وقتيکه روبات در يک خط مستقيم سير می کند، سرعت روبات، سرعت خطی چرخ می باشد و موقعيت چرخ، فاصله طی شده می باشد. هنگامی که روبات می چرخد، برای محاسبه سرعت روبات، سرعت هر دو چرخ بايد در نظر گرفته شود. Muir و Newman يک ژاکوبين چرخ برای بيان اين رابطه ارائه دادند : • سرعت لحظه ای روبات نسبت به چارچوب منطبق زمين • که Jnpseudo، ماتريس ژاکوبين مصنوعی برای چرخ n و Vn بردار سرعت مصنوعی برای چرخ n می باشد. اين ژاکوبين با مشتق گيری از معادله تبديل به دست می آيد. ژاکوبين حاصل عبارتست از :

44. مجموع زوايای بين دو چارچوب = • برداری از مبدأ يک چارچوب به چارچوب ديگر، مثلاً = • بردار سرعت مصنوعی يک چرخ شامل چهار مؤلفه است : • سرعت لحظه ای خطی چرخ n نسبت به زمين = • سرعت لحظه ای چرخ n حول نقطه تماس = • سرعت زاويه ای لينک هدايتگر حول hip joint =

45. بردار سرعت فيزيکی (Vn) يک چرخ نوعی شامل همه مؤلفه های بردار سرعت مصنوعی نيست، زيرا چرخها معمولاً کمتر از چهار متغير چرخ دارند. برای مثال، يک چرخ قراردادی، سرعت خطی در جهت X ندارد. همچنين يک چرخ قراردادی حول يک محور چرخش می کند و سرعت خطی از سرعت زاويه ای چرخ محاسبه می شود (که قابل اندازه گيری است). بردار سرعت مصنوعی می تواند به بردار سرعت فيزيکی (با اندازه Wn*1) توسط يک ماتريس چرخ با اندازه (4 * Wn) مرتبط شود : و ژاکوبين چرخ فيزيکی (3 * Wn) به روش مشابهی به دست می آيد : با استفاده از رتبه اين ژاکوبين (تعداد بردارهای سطری يا ستونی مستقل)، تعداد درجات آزادی چرخ را تعيين می کنيم. اگر تعداد درجات آزادی کمتر از تعداد متغيرهای چرخ باشد، چرخ redundant می باشد. به عنوان يک مثال ژاکوبين يک چرخ بدون هدايتگر نوعی، اغلب به عنوان چرخ راندن در روباتها استفاده می شود. اين چرخ دارای دو درجه آزادی است : حرکت در جهتی که چرخ با توجه به چرخش حول محورش به آن اشاره می کند، و خطای چرخشی حول نقطه تماس.

46. و داريم : که : سرعت زاويه ای چرخ حول محورش می باشد. : سرعت زاويه ای لغزش چرخشی می باشد. ماتريس چرخ W عبارت است از : (که r شعاع چرخ می باشد.) و ژاکوبين فيزيکی عبارت است از : اين چرخ، منحط (degenerate) در نظر گرفته می شود زيرا ژاکوبين دارای معکوس نيست. بنابراين با وجود اينکه سرعت روبات از سرعت چرخ قابل محاسبه است، چرخ از سرعت روبات قابل محاسبه نيست. بنابراين يک روبات متحرک چرخدار که شامل چرخهای قراردادی بدون هدايتگر می باشد، در سه درجه آزادی قابل کنترل نيست، يعنی نمی تواند حرکت به پهلو داشته باشد.

47. ژاکوبين برای دو چرخ بدون هدايتگر در روبات Newt به صورت زير به دست می آيد:

48. مراجع Introduction to Robotics, Phillip John McKerrow ON THE KINEMATICS OF WHEELED MOBILE ROBOTS, J. C. Alexandery and. H. Maddocksz

49. با تشکر از توجه شما