Simulación numérica de reflectores acústicos

1. II Jornadas Interdisciplinarias de Acústica Simulación numérica de reflectores acústicos Federico MiyaraLaboratorio de Acústica y Electroacústica UNRfmiyara@fceia.unr.edu.ar Laboratorio de Acústica y Electroacústica

2. Introducción

3. Al igual que la luz, las ondas sonoras son capaces de reflejarse en ciertas superficies. La condición para ello es que la superficie sea rígida y de gran densidad superficial.

4. Si además la superficie es muy grande con respecto a la longitud de onda, la reflexión es especular.

5. En el caso óptico, las superficies reflectantes típicas de la vida diaria son, efectivamente, mucho mayores que la longitud de onda y las reflexiones son especulares. Es el caso de los espejos y otras superficies pulidas.

6. En el caso acústico, la longitud de onda correspondiente a sonidos audibles está entre 1,7 cm y 17 m. Por ejemplo, la longitud de onda del tono fundamental de la voz hablada varía entre 1,5 m y 3,5 m.

7. Para reflectores del tamaño de una pared típica, la reflexión no es puramente especular. Esto significa que una onda sonora unidireccional no se refleja en una sola dirección.

9. Los reflectores pequeños con respecto a la longitud de onda son frecuentes en la vida diaria. Por ejemplo muebles, ventanas, paredes.

10. En acústica arquitectónica tienen aplicación directa con la finalidad de direccionar las reflexiones del sonido.

12. El formalismo que permite evaluar el comportamiento real de estos reflectores es la teoría de la difracción. Es matemáticamente compleja y sólo se conocen soluciones aproximadas para algunos casos.

13. Una posible alternativa para obtener soluciones prácticas al problema es la simulación numérica.

14. Para ello se dividirá el panel reflector en pequeños elementos y se considerará cada uno de ellos como un emisor secundario de acuerdo con el principio de Huygens.

15. R F

16. Veremos primero el modelo de radiación acústica de una fuente simple.

17. Consideremos un pequeño radiador acústico F con simetría esférica p(r, t) r F

18. Se demuestra que la solución de la ecuación de onda es una cuasi onda

19. p p(r, t1) t1 1/r r p 1/r t2 > t1 p(r, t2) r p 1/r t3 > t2 p(r, t3) r p t4 > t3 1/r p(r, t4) r

20. Un posible modelo físico de un radiador con simetría esférica es la esfera pulsante,cuya superficie se mueve a una velocidad u(t) senoidal

21. Por una cuestión de simplicidad de cálculos trabajaremos en realidad con u(t) = U ejt

22. Ue jt a

23. Se demuestra que la presión sonora a una distancia r y en un instante t es Donde o: densidad del aire c : velocidad del sonido

24. Se puede reescribir como R(r) T(t)

25. O bien: R(r) T(t)

26. Si a/c << 1, lo cual se cumple sia <<  , se puede aproximar Pero 4a2U es el caudal de aire G movido por la fuente, llamado poder de la fuente

27. Es decir, Una fuente de este tipo se conoce como fuente simple.

28. p(r) t1 t2 t3 r

29. La notación exponencial permite separar el comportamiento temporal del espacial, mediante el concepto de fasor

30. NOTA: El poder G de una fuente simple puede obtenerse a partir de la presión Po medida a una distancia rodespejándola de la anterior:

31. Si sólo interesa la magnitud,

32. Se puede demostrar que una fuente pequeña, no necesariamente esférica, que pulsa en forma tal que toda su superficie oscile en fase moviendo un caudal G,se comporta, para grandes distancias, como fuente simple

34. Esto permite calcular el campo lejano de una fuente de cualquier forma que oscila en fase en toda su superficie como el de una fuente simple de igual caudal total

35. Vamos a aplicar esta propiedad a cada elemento en que subdividimos el reflector y luego superpondremos los campos lejanos de todos ellos

36. y x b R r2 yR a xR y x zF xF zR yF z r1 a b F

37. Para poder considerar al elemento dxdy como una fuente simple deberemos asignarle un caudal elemental dG

38. Podemos obtener el caudal desplazado por F en la posición del elemento dxdy en ausencia del reflectorcalculando la velocidad y multiplicándola por el área proyectada

39. Se demuestra, por ser una onda de simetría esférica, que

40. La presencia del reflector equivale a que hubiera una fuente imagen del otro lado

41. R x a r2 x z r1 r1 a F F'

42. La velocidad que genera F' hacia el lado derecho debe multiplicarse por el área proyectada sobre la perpendicular del rayo

43. R x a r2 x z r1 r1 a F F'

44. Pero para que esa superficie pueda asimilarse a una fuente simple, debe suponerse que hay otra superficie que se mueve en forma opuesta.

45. En efecto, toda la superficie de la fuente debe moverse en fase para que su campo lejano sea asimilable al de una fuente simple. (Los bordes se desprecian por ser su área nula).

46. Por lo tanto, el poder de la fuente elemental, es decir el caudal que la abandona, es el doble del caudal que atraviesa el plano del reflector

47. Entonces

48. A partir del caudal dG de la fuente elemental se puede obtener su efecto en R

49. Es decir:

50. Finalmente, la presión debida a la reflexión se obtiene integrando: