第五章弯曲应力

材料力学 第五章弯曲应力

剪力Q剪应力t 内力弯矩M正应力s 弯曲应力 §5－１引言 1、弯曲构件横截面上的（内力）应力

弯曲应力 2、研究方法平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况) 平面弯曲时横截面t 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况) P1 P2 例如：纵向对称面

弯曲应力 P P a a 纯弯曲(Pure Bending): A B 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。 Q x M x

中性轴 a c b d 纵向对称面 M 中性层 M a c b d 弯曲应力 §5－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力一、纯弯曲时梁横截面上的正应力（一）变形几何规律：　　　　　　　　 1.梁的纯弯曲实验横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。

弯曲应力 2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 3.推论 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。（可由对称性及无限分割法证明）

Me Me m n a a b b m n m n a a b b m n 平面假设梁在纯弯曲时，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴转动。即中性轴

Me Me 中性轴中性层中性层根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为中性层。中性轴中性层与横截面的交线就是中性轴。

Me Me m n a a b b C } m n r dq O2 O1 dx y B A B1 r ——中性层的曲率半径

a b A B c d dq r ) ) ) O O1 ) A1 x B1 OO1 y 弯曲应力 4. 几何方程：

sx sx 弯曲应力（二）物理关系：　　　　　　　　假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。（三）静力学关系：　　　　　　　　

… …(3) （对称面）弯曲应力这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式。EIz称为梁的抗弯刚度。

弯曲应力 弯曲正应力计算公式

b h z z y y 中性轴z为横截面的对称轴时称为抗弯曲截面模量

yc，max O z yt，max y 中性轴z不是横截面的对称轴时

… …(5) （四）最大正应力：　

b h z y d z y 简单截面的轴惯性矩和抗弯截面模量 ⑴ 矩形截面 ⑵ 圆形截面

D d O z y ⑶ 空心圆截面式中 (4) 型钢截面：参见型钢表

纯弯曲理论的推广 横力弯曲时： 1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲； 2、横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。

F l 弹性力学的分析结果：对于细长梁（ l/h > 5），纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。

1 1m 2m 1 Q=60kN/m 30 180 1 2 z B A 120 y x M1 Mmax M + 弯曲应力例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。解：画M图求截面弯矩

1 1m 2m 1 Q=60kN/m 30 180 1 2 z B A 120 y x M1 Mmax M + 弯曲应力 求应力

1 1m 2m 1 Q=60kN/m 30 180 1 2 B A 120 x M1 Mmax M + 弯曲应力 求曲率半径

Q dx x 弯曲应力 §5－3 梁横截面上的剪应力一、矩形截面梁横截面上的剪应力 1、两点假设： 剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力相等。 t方向：与横截面上剪力方向相同； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。

①工字钢截面： Af —腹板的面积。 f f Q Q t t ; ; » » 结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin 故工字钢最大剪应力 max max A A 弯曲应力 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力

② 圆截面： ③ 薄壁圆环： Q P z h Q x e e e y 弯曲应力 ④槽钢：

M s s s 弯曲应力 §5-4梁的正应力强度条件 • 梁的合理截面一、梁的正应力强度条件 1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上； 2、正应力强度条件：

校核强度： Œ 设计截面尺寸：设计载荷： 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、校核强度： 4、需要校核剪应力的几种特殊情况： 梁的跨度较短，M较小，而Q较大时，要校核剪应力。 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。

q=3.6kN/m Q – + x x M + 弯曲应力例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，[]=7MPa，[]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。 B A L=3m 解：画内力图求危面内力

q=3.6kN/m Q – + x x M + 弯曲应力 求最大应力并校核强度 应力之比

P1=9kN P2=4kN A C B D 1m 1m 1m -4kNm x M A1 A3 2.5kNm y1 G y2 A2 A4 弯曲应力 4 例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[L]=30MPa，[y]=60 MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？解：画弯矩图并求危面内力 画危面应力分布图，找危险点

-4kNm x M A1 A3 2.5kNm y1 A3 G y2 y2 G y1 A2 A4 A4 弯曲应力 校核强度 T字头在上面合理。

yc，max O z yt，max y 拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁为充分发挥材料的强度，最合理的设计为

§7-6 梁的合理设计 M↓ Wz↑ 控制强度条件：一、合理配置梁的荷载和支座

b h z z z y y 二、合理选取截面形状 1、尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数与面积比值W/A增大。

b h z z z y y 2、对于由拉伸和压缩强度相等的材料制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。

y2 y1 O z y 3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作拉、压应力分别达到(或接近)材料的许用拉应力[ st ] 和许用压应力[ sc ] 。

h R b 弯曲应力（一）矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5 英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比为

z D1 z a a 弯曲应力其它材料与其它截面形状梁的合理截面强度：正应力： 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面

z D 0.8D z 2a1 a1 弯曲应力

z 2a2 1.6a2 0.8a2 a2 弯曲应力工字形截面与框形截面类似。

100 10 40 kN 60kN 50kN F2 F1 320 9.5 z C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m 10 FA FB y 三、合理设计梁的外形考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截面梁。

F h(x) l l b 2 2 (a) F (b) 若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的许用应力，则称为等强度梁（鱼腹梁）。

z G s 弯曲应力 • 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图： 2、根据材料特性选择截面形状

P x 弯曲应力（二）采用变截面梁，如下图：最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为同时

s ss e ss ss ss ss ss 弯曲应力 §5-5考虑材料塑性时的极限弯矩塑性极限分布图理想弹塑性材料的s-e 图弹性极限分布图全面屈服后,平面假设不再成立;

弯曲应力 例4试求矩形截面梁的弹性极限弯矩Mmax与塑性极限弯矩 Mjx之比。解：

本章结束

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