Deduktive Datenbanken

1. Deduktive Datenbanken • Deduktive Datenbanken schlagen eine Brücke zwischen relationalen Datenbanken und den logik-basierten Programmiersprachen (hier: Prolog). • Die persistent gespeicherten Relationen einer Datenbanken werden hier als Prädikate der Logik erster Stufe angesehen: Genau falls sich ein Tupel (x,y,z) in Relation R befindet, wird das zugehörige Prädikat r(x,y,z) mit true bewertet. • Damit entsprechen die persistenten Relationen der Datenbank der Faktenbasis in Prolog. • Eine Regelsprache, Datalog (Data & Logic), wird verwendet, um aus diesen vorhandenen Fakten, neues "Wissen" abzuleiten (zu deduzieren).

2. Deduktive Datenbanken Grundkonzepte einer deduktiven Datenbank IDBintensionale Datenbasis (hergeleitete Relationen) Regeln als Datalog Programm EDB extensionale Datenbasis (Basis-Relationen)

3. Deduktive Datenbanken: Terminologie • Die extensionaleDatenbasis (EDB), die manchmal auch Faktenbasis genannt wird. Die EDB besteht aus einer Menge von Relationen(Ausprägungen) und entspricht einer „ganz normalen“ relationalen Datenbasis. • Die Deduktionskomponente, die aus einer Menge von (Herleitungs-)Regeln besteht. Die Regelsprache heißt Datalog. • Die intensionaleDatenbasis (IDB), die aus einer Menge von hergeleiteten Relationen(Ausprägungen) besteht. Die IDB wird durch Auswertung des Datalog-Programms aus der EDB generiert.

4. Beispiel: Rekursion in Prolog/Datalog 5 1 2 3 4 6 7 • Faktenbasis zu diesem gerichteten Graphen: kante(1,2). kante(2,3). kante(3,4). kante(4,5). kante(4,6). kante(6,7). kante(3,6).

5. Beispiel: Rekursion in Prolog/Datalog 5 1 2 3 4 6 7 • Leite aus der Faktenbasis die Pfade in diesem gerichteten Graphen ab: kante(1,2). pfad(V,N) :- kante(V,N). kante(2,3). pfad(V,N) :- kante(V,Z), pfad(Z,N). kante(3,4). kante(4,5). Alternative Notation: kante(4,6). kante(6,7). pfad(V,N)  kante(V,N). kante(3,6).  pfad(V,N)  kante(V,Z)  pfad(Z,N).

6. Rekursion in SQL(?) • Bestimme die Voraussetzungen für die Vorlesung "Der Wiener Kreis": SELECT Vorgänger FROM voraussetzen, Vorlesungen WHERE VorlNr = Nachfolger AND Titel = "Der Wiener Kreis"

7. Der Wiener Kreis 5259 Wissenschaftstheorie 5052 Bioethik 5216 Erkenntnistheorie 5043 Ethik 5041 Mäeutik 5049 Grundzüge 5001

8. Rekursion in SQL(?): Pfade der Länge 2 SELECT v1.Vorgänger FROM voraussetzen v1, voraussetzen v2, Vorlesungen v WHERE v1.Nachfolger = v2.Vorgänger AND v2.Nachfolger = v.VorlNr AND v.Titel = "Der Wiener Kreis"

9. Rekursion in SQL(?): Pfade der Länge n SELECT v1.Vorgänger FROM voraussetzen v1  voraussetzen vn-1 voraussetzen vn, Vorlesungen v WHERE v1.Nachfolger= v2.Vorgänger and  vn-1.Nachfolger= vn.Vorgänger and vn.Nachfolger = v.VorlNr and v.Titel = "Der Wiener Kreis" n-facher self join der Relation voraussetzen

10. Transitive Hülle der Relation R(A,B) transA,B(R) = { (a,b)  k IN (t1, ..., tk R ( t1.A = t2.B   tk-1.A = tk.B  t1.A = a  tk.B = b)) }

11. Der Wiener Kreis Wissenschaftstheorie Bioethik Erkenntnistheorie Ethik Mäeutik Grundzüge Extensional Intensional

12. Rekursion(!) in DB2/SQL:1999: Alle Voraussetzungen für "Der Wiener Kreis"  WITHTransVorl (Vorg, Nachf)AS ( SELECT Vorgänger, Nachfolger FROM voraussetzen UNION ALL SELECT t.Vorg, v.Nachfolger Rekursion! FROMTransVorl t, voraussetzen v WHERE t.Nachf= v.Vorgänger) Abbruch? Sobald View stabil.  SELECT Titel FROM Vorlesungen WHERE VorlNr IN (SELECT Vorg FROMTransVorlWHERE Nachf in (SELECT VorlNr FROM Vorlesungen WHERE Titel = "Der Wiener Kreis") )

13. Datalog: Regeln, Literale Regel: sokLV(T,S) :- vorlesungen(V,T,S,P ), professoren(P, "Sokrates",R,Z ), >(S,2). Äquivalenter Domänenkalkül-Ausdruck: { [t,s] | v,p ([v,t,s,p] Vorlesungen  n,r,z ([p,n,r,z]  Professoren  n = "Sokrates"  s > 2))} Grundbausteine der Regeln sind atomare Formeln (oder Literale): q(A1, ..., Am). q ist dabei der Name einer Basisrelation, einer abgeleiteten Relation oder eines eingebauten Prädikats: <,=,>,… Beispiel: professoren(S, "Sokrates",R,Z ).

14. Datalog: Regeln • Jedes qj (...) ist eine atomare Formel. Die qj werden oft als Subgoals bezeichnet. • X1, ...,Xm sind Variablen, die mindestens einmal auch auf der rechten Seite des Zeichens :- vorkommen müssen. • Logisch äquivalente Form obiger Regel (Hornklausel): p(...)  ¬q1 (...) … ...  ¬qn (...) • Wir halten uns an folgende Notation: • Prädikate beginnen mit einem Kleinbuchstaben. • Die zugehörigen Relationen – seien es EDB- oder IDB-Relationen – werden mit gleichem Namen, aber mit einem Großbuchstaben beginnend, bezeichnet.

15. Beispiel: Datalog-Programm • Zur Bestimmung von (thematisch) verwandten Vorlesungspaaren • EDB-Relationen: Voraussetzen: {[Vorgänger, Nachfolger]} Vorlesungen: {VorlNr, Titel, SWS, gelesenVon]} geschwisterVorl(N1, N2) :- voraussetzen(V, N1), voraussetzen(V, N2)), N1 < N2. geschwisterThemen(T1, T2) :- geschwisterVorl(N1, N2), vorlesungen(N1, T1, S1, R1), vorlesungen(N2, T2, S2, R2). aufbauen(V,N ) :- voraussetzen(V,N ) aufbauen(V,N ) :- aufbauen(V,M ), voraussetzen(M,N ). verwandt(N,M ) :- aufbauen(N,M ). verwandt(N,M ) :- aufbauen(M,N ). verwandt(N,M ) :- aufbauen(V,N ), aufbauen(V,M ).

16. Analogie zur EDB/IDB in RDBMS • Basis-Relationen entsprechen den EDB. • Sichten entsprechen den IDB: • "aufbauen" als Regeln in einem deduktiven DBMS:aufbauen(V,N ) :- voraussetzen(V,N )aufbauen(V,N ) :- aufbauen(V,M ), voraussetzen(M,N ). • "aufbauen" als Sichtdefinition in DB2:CREATE VIEW aufbauen(V,N) as (SELECT Vorgaenger, NachfolgerFROM voraussetzenUNION ALLSELECT a.V, v.NachfolgerFROM aufbauen a, voraussetzen v WHERE a.N = v.Vorgaenger);SELECT * FROM aufbauen;

17. Eigenschaften von Datalog-Programmen Regel-Abhängigkeitsgraph ( = "wird verwendet von") verwandt geschwisterThemen aufbauen geschwisterVorl voraussetzen vorlesungen • Ein Datalog-Programm ist rekursiv, wenn der Abhängigkeitsgraph einen (oder mehrere) Zyklen hat • Unser Beispielprogramm ist rekursiv: aufbauen aufbauen

18. Sicherheit von Datalog-Regeln • Es gibt unsichere Regeln, wie z.B.ungleich(X, Y) :- X ≠ Y.Diese definieren unendliche Relationen. • Eine Datalog-Regel ist sicher, wenn alle Variablen im Kopf eingeschränkt (range restricted) sind. Dies ist für eine Variable X dann der Fall, wenn: • die Variable im Rumpf der Regel in mindestens einem normalen Prädikat – also nicht nur in eingebauten Vergleichsprädikaten – vorkommt oder • ein Prädikat der Form X = c mit einer Konstante c im Rumpf der Regel existiert oder • ein Prädikat der Form X = Y im Rumpf vorkommt, und nachgewiesen ist, dass Yeingeschränkt ist.

19. Ein zyklenfreier Abhängigkeitsgraph • gV(N1, N2) :- vs(V, N1), vs(V, N2), N1 < N2. • gT(T1, T2) :- gV(N1, N2), vL(N1, T1, S1, R1), vL(N2, T2, S2, R2) • Eine mögliche topologische Sortierung ist: vs, gV, vL, gT. Auswertungsreihenfolge für Prädikate! gT gV vL vs

20. Auswertung nicht-rekursiver Datalog-Programme • Für jede Regel mit dem Kopf p(...) , also p(...) :- q1(...), ..., qn(...). bilde eine Relation, in der alle im Körper der Regel vorkommenden Variablen als Attribute vorkommen. Diese Relation wird im wesentlichen durch einen natürlichen Verbundder RelationenQ1, ..., Qn, die den Relationen der Prädikate q1, ..., qnentsprechen, gebildet. Man beachte, dass dieseRelationenQ1, ..., Qn wegen der Einhaltung der topologischen Sortierung bereits ausgewertet (materialisiert) sind. • Da das Prädikat p durch mehrere Regeln definiert sein kann, werden die Relationen aus Schritt 1 vereinigt. Hierzu muss man vorher auf die im Kopf der Regeln vorkommenden Attribute projizieren. Wir nehmen an, dass alle Köpfe der Regeln für p dieselben Attributnamen an derselben Stelle verwenden – durch Umformung der Regeln kann man dies immer erreichen.

21. Auswertung von Geschwister Vorlesungen und Geschwister Themen • Die Relation zu Prädikat gV ergibt sich nach Schritt 1 aus folg. Relationenalgebraausdruck: N1<N2 (Vs1(V, N1) Vs2(V, N2)) Vs1(V, N1) := V$1(N1 $2 (Vs1(Voraussetzen))) • Die dadurch definierte Relation enthält Tupel [v, n1, n2] mit: • Das Tupel [v, n1] ist in der Relation Voraussetzen enthalten, • das Tupel [v, n2] ist in der Relation Voraussetzen enthalten und • n1 < n2. • Gemäß Schritt 2. ergibt sich: GV(N1, N2) := N1, N2(N1<N2 (Vs1(V, N1) Vs2(V, N2))) • Analog ergibt sich für die Herleitung von GT: GT(T1,T2) := T1,T2(GV(N1,N2)VL1(N1,T1,S1,R1)VL2(N2,T2,S2,R2))

22. Veranschaulichung der EDB-Relation Voraussetzen 5259 (WienerKreis) 5216 (Bioethik) 5052 (Wiss. Theorie) 5041 (Ethik) 5043 (Erk. Theorie) 5049 (Mäeutik) 5001 (Grundzüge)

23. Ausprägung der Relationen GeschwisterVorl und GeschwisterThemen

24. Auswertung nicht-rekursiver Datalog-Regeln • Ziel: Auswertung der Datalog-Regel p(X1,…,Xm) :- q1(A11,…,A1m1), …, qn(An1,…,Anmn). • Topologische Sortierung: Prädikate qi seien schon zu Relationen Qi ausgewertet. Schema: Qi: { [ $1,…,$mi ] }. • Für jedes der Subgoals qi(Ai1,…,Aimi) bilde den folgenden Ausdruck der Relationenalgebra: Ei :=  … Vi $i … (Pi ( Fi (Qi))) • Die Pi sind die in qi(…) auftretenden Variablenpositionen, Vi ist der im Subgoal an Position i benutzte Variablenname ($iPi) und Fi ist eine konjunktive Selektionsbedingung, die wie folgt gebildet wird (s. nächste Folien).

25. Auswertung nicht-rekursiver Datalog-Regeln • Falls in qi(...,c,...) eine Konstante c an der j-ten Stelle vorkommt, füge die Bedingung $j = c zu Fi hinzu. • Falls eine Variable X mehrfach an Positionen k und l in qi(...,X,...,X,...) vorkommt, füge für jedes solches Paar die Bedingung $k = $l zu Fi hinzu.

26. Auswertung nicht-rekursiver Datalog-Regeln Für eine Variable Y, die nicht in den normalen Prädikaten der Regel vorkommt, gibt es zwei Möglichkeiten: • Y kommt nur in einem Prädikat Y = c für eine Konstante c vor. Dann wird eine einstellige Relation mit einem Tupel QY:= Y$1{[c]} für dieses Prädikat gebildet. • Y kommt in einem Prädikat X = Y vor, und X kommt in einem normalen Prädikat qi(…,X,…) an k—ter Stelle vor. In diesem Fall setze QY := Y$k ($k (Qi)) .

27. Auswertung nicht-rekursiver Datalog-Regeln • Bilde den natürlichen Verbund aller so entstandenen Teilausdrücke: E := E1 … En • Berechne dann F(E), wobei F die Konjunktion der Vergleiche X  Y ist), die im Regelkörper vorkommen. • Abschließend projiziere auf die Attribute, die als Variablennamen im Kopf der Regeln (hier: p(X1,…Xm)) auftauchen: X1,…,Xm (F(E)) • Sollte püber mehrere Regeln definiert sein, vereinige die entstandenen Algebraausdrücke via.

28. Beispiel: Nahe verwandte Vorlesungen (r1) nvV(N1,N2) :- gV(N1,N2). (r2) nvV(N1,N2) :- gV(M1,M2),vs(M1,N1),vs(M2,N2). Dieses Beispielprogramm baut auf dem Prädikat gV auf und ermittelt nahe verwandte Vorlesungen, die einen gemeinsamen Vorgänger erster oder zweiter Stufe haben. Er1 := N1$1,N2$2 ($1,$2 (TRUE (GV($1,$2)))) Kürzer: Er1 := GV(N1,N2) Er2 := GV(M1,M2) Vs(M1,N1) Vs(M2,N2) Ergebnis: Er1 Er2

29. Auswertung rekursiver Regeln (hier: Prädikat aufbauen) a(V,N) :- vs(V,N). a(V,N) :- a(V,M),vs(M,N).

30. Auswertung rekursiver Regeln Betrachten wir das Tupel [5001, 5052] aus der Relation Aufbauen. Dieses Tupel kann wie folgt hergeleitet werden: • a (5001, 5043) folgt aus der ersten Regel, davs (5001, 5043) gemäß der EDB-Relation Voraussetzengilt. • a(5001, 5052) folgt aus der zweiten (rekursiven) Regel, da • a(5001, 5043) nach Schritt 1. gilt und • vs(5043, 5052) gemäß der EDB-Relation Voraussetzen gilt. Zur Auswertung von a() benötigen wir also Tupel aus a() selbst, die zuvor berechnet wurden.

31. "Naive" Auswertung durch Iteration • Grundidee: IDB-Relationen schrittweise bestimmen. Starte mit leerer IDB-Relation, füge auf Basis schon bekannter Tupel iterativ neue Tupel hinzu. • Abbruch der Iteration sobald Fixpunkt erreicht. A(V,N) = Vs(V,N) V,N (A(V,M) Vs(M,N)) A := {}; repeat A' := A; A := Vs(V,N); /* Regel 1 */ A := A V,N (A'(V,M) Vs(M,N)) /* Regel 2*/ until A' = A; /* Fixpunkt erreicht? */ output A;

32. "Naive" Auswertung durch Iteration Iterationen: • Im ersten Durchlauf werden nur die 7 Tupel aus Voraussetzen nach A "übertragen", da der Join leer ist (das linke Argument A' des Joins wurde zur leeren Relation {} initialisiert). • Im zweiten Schritt kommen zusätzlich die Tupel [5001,5216], [5001,5052], [5041,5259] und [5043,5259] hinzu. • Jetzt wird nur noch das Tupel [5001,5259] neu generiert. • In diesem Schritt kommt kein neues Tupel mehr hinzu, so dass die Abbruchbedingung A' = A erfüllt ist.

33. (Naive) Auswertung der rekursiven Regel für Prädikat aufbauen

34. Der Wiener Kreis 5259 Wissenschaftstheorie 5052 Bioethik 5216 Erkenntnistheorie 5043 Ethik 5041 Mäeutik 5049 Grundzüge 5001

35. Inkrementelle (semi-naive) Auswertung rekursiver Regeln • Während der iterativen Auswertung des rekursiven Prädikates p sei folgende Regel für die Generierung eines neuen Tupels t "verantwortlich": p(…) :- q1(…), …, qn(…). • In der iterativen Auswertung wurde dazu ein Relationenalgebra-Ausdruck der Form E(Q1 … Qn) ausgewertet. • Das neue Tupel t entstehe in Iteration k auf Basis der Tupel t1Q1, …, tnQn. Dann muss eines dieser tiQi in Iteration (k-1) neu generiert worden sein. Seien Qi die in Iteration (k-1) erstmals generierten Tupel. Dann wird t also auch von diesem Ausdruck erzeugt: E(Q1 … Qi … Qn)

36. Inkrementelle (semi-naive) Auswertung rekursiver Regeln • Aber aus welchem spezifischen Qi stammt dieses Tupel ti?  Betrachte die  aller Subgoal-Relationen gesondert. Berechne: • In jedem Teilausdruck der Vereinigung darf jeweils nur ein  einer Subgoal-Relation eingesetzt werden. Falls die t1,…, ti-1,ti+1,…,tn in Schritten < k erzeugt wurden, ist sichergestellt, daß t durch E(Q1 … Qi … Qn) erzeugt wird. E(Q1 … Qi … Qn)  …E(Q1 … Qi … Qn)  … E(Q1 … Qi … Qn)

37. Inkrementelle (semi-naive) Auswertung rekursiver Regeln • Beispiel: In der iterativen Auswertung von Prädikat aufbauen (Relation A), wurde folgendes Tupel t in der 3. Iteration generiert: t = [5001, 5259] • Tupel t entstand aus dem folgenden Join zweier Tupel: [ 5001, 5052 ] [ 5052, 5259 ] Dabei wurde [ 5001, 5052 ] A in Iteration 2 generiert. Tupel [ 5052, 5259 ] ist der Teil der (invarianten) EDB-Relation Vs.

38. Algorithmus zur semi-naiven Auswertung von Prädikat aufbauen • Vs(V,N) := {}; • A(V,N) := Vs(V,N); • A(V,N) := A(V,N) V,N (A(V,M) Vs(M,N)); • A(V,N) := A(V,N); • repeat • A' (V,N):= A(V,N); /* A': im letzten Schritt neu gen. Tupel */ • A(V,N) := Vs(V,N); • A(V,N) := A(V,N)  • V,N (A'(V,M) Vs(M,N))  • V,N (A(V,M) Vs(M,N)); • A(V,N) := A(V,N) \ A(V,N); /* nur tatsächlich neue Tupel */ • A(V,N) := A(V,N) A(V,N); /* akkumuliere Endergebnis */ • untilA(V,N) = {}; Bemerkung:Vs(V,N) bleibt während der Berechnung {} (EDB-Relationen sind invariant).

39. Illustration der semi-naiven Auswertung von aufbauen

40. Bottom-Up oder Top-Down Auswertung? • Die bisher beschriebene bottom-up Auswertung leitet die IDB aus den EDB-Relationen ab. • (Optimierbare) Ausdrücke der relationalen Algebra berechnen neue Tupel der IDB aus vorhergehenden Ableitungen. • Achtung: Es wird aber jeweils die gesamte IDB abgeleitet obwohl für Beantwortung einer Query oft ein Ausschnitt ausreichend ist: (r1) a (V, N) :- vs (V, N). (r2)a (V, N) :- a (V, M), vs (M, N). query (V ) :- a (V, 5052).

41. Relevanter Ausschnitt der EDB-Relation Voraussetzen für query(V) :- a(V, 5052) 5259 (WienerKreis) 5216 (Bioethik) 5052 (Wiss. Theorie) 5041 (Ethik) 5043 (Erk. Theorie) 5049 (Mäeutik) 5001 (Grundzüge)

42. Rule/Goal-Baum zur Top-Down Auswertung a(V,5052) (r2) a(V,5052) :- a(V,M1),vs(M1,5052) (r1) a(V,5052) :- vs(V,5052) Bindungen für V aus EDB vs(V,5052) a(V,M1) vs(M1,5052) (r1) a(V,M1) :- vs(V,M1) (r2) a(V,M1) :- a(V,M2),v2(M2,M1) vs(V,M1) a(V,M2) vs(M2,M1) :

43. Rule/Goal-Baum mit Auswertung a(V,5052) (r1) a(V,5052) :- vs(V,5052) (r2) a(V,5052) :- a(V,M1),vs(M1,5052) vs(V,5052) a(V,M1) vs(M1,5052) V  {5041,5043} M1  {5041,5043} (r2) a(V,M1) :- a(V,M2),v2(M2,M1) (r1) a(V,M1) :- vs(V,M1) a(V,M2) vs(M2,M1) vs(V,M1) : M2  {5001} V  {5001} V  Ø

44. Negation () im Regelrumpf und Stratifikation indirektAufbauen(V,N) :- aufbauen(V,N), voraussetzen(V,N). • Eine Regel r mit einem negierten Prädikat im Rumpf, wie z.B. r  p (...) :- q1 (...), ..., qi (...), ..., qn (...). kann nur dann sinnvoll ausgewertet werden, wennRelation Qi schon vollständig materialisiert ist (t  Qi?). Dazu müssen zuerst alle Regeln mit Kopf qi (...) :- ... ausgewertet sein. • Das ist nur möglich, falls qinicht abhängig von pist. • Also darf der Abhängigkeitsgraph keine Pfade von qi nach p enthalten. Wenn das für alle Regeln und negierten Subgoals der Fall ist, ist das Datalog-Programm stratifiziert. • Achtung, Sicherheit: In qi (…,V,…) ist Variable Vnicht beschränkt. (Warum?)

45. Beispiel: Auswertung einer Regel mit Negation • Auszuwertende Regel (ist das Programm stratifiziert?): iA (V,N) :- a (V,N), vs (V,N). • Ausdruck der relationalen Algebra hierzu: IA (V,N) = V,N ( A (V,N) Vs (V,N) ) =* A(V,N) - Vs (V,N) • Berechnung von IA(V,N) jetzt einfach aus Basis von bereits materialsierter IDB-Relation A(V,N) und EDB-Relation Vs(V,N). • Wieso gilt eigentlich =* ?

46. Komplexeres Beispiel: Regel mit Negation grundlagen(V) :- voraussetzen(V,N). spezialVorl(V) :- vorlesungen(V,T,S,R),  grundlagen(V). • Äquivalente Ausdrücke der relationalen Algebra: Grundlagen(V) = V (Voraussetzen(V,N)) SpezialVorl(V) = V (Vorlesungen(V,T,S,R) Grundlagen(V)) • Wie ist hier das Komplement von Grundlagen(V) zu bestimmen? (Projektion V unter den verschieben: projection pushdown) • Falls pushdown unmöglich ist: Konstruktion der aktiven Domäne (DOM, s. Buch).

47. Ausdruckskraft von Datalog • Die Sprache Datalog, eingeschränkt auf nicht-rekursive Programme aber erweitert um Negation, wird in der Literatur manchmal als Datalog non-rec bezeichnet • Diese Sprache Datalog non-rechat genau die gleiche Ausdruckskraft wie die relationale Algebra – und damit ist sie hinsichtlich Ausdruckskraft auch äquivalent zum relationalen Tupel- und Domänenkalkül. • Datalog mit Negation und Rekursion geht natürlich über die Ausdruckskraft der relationalen Algebra hinaus – man konnte in Datalog ja z.B. die transitive Hülle der Relation Voraussetzen definieren (repeat … until nicht in relationaler Algebra verfügbar).

48. Simulation der relationalen Algebra in Datalog • Selektion SWS > 3 (Vorlesungen) Titel = "Mäeutik" (Vorlesungen) In Datalog: query1(V,T,S,R) :- vorlesungen(V,T,S,R), S > 3. query2(V,T,S,R) :- vorlesungen(V,"Mäeutik",S,R). • Projektion Name, Rang (Professoren) In Datalog: query(Name,Rang) :- professoren(PersNr,Name, Rang, Raum).

49. Simulation der relationalen Algebra in Datalog • Kreuzprodukt Professoren Vorlesungen In Datalog: query(V1,V2,V3,V4,P1,P2,P3,P4) :- professoren(P1,P2,P3,P4), vorlesungen(V1,V2,V3,V4). • -Join (hier mit Projektion) Titel,Name(Vorlesungen gelesenVon=PersNr Professoren) In Datalog: query(T,N) :- vorlesungen(V,T,S,R), professoren(R,N,Rg,Ra).

50. Simulation der relationalen Algebra in Datalog • Vereinigung (von Relationen identischer Schemata) PersNr, Name (Assistenten) PersNr,Name (Professoren) In Datalog: query(PersNr,Name) :- assistenten(PersNr,Name,F,B). query(PersNr,Name) :- professoren(PersNr,Name,Rg,Ra). • Differenz VorlNr (Vorlesungen) VorlNr (Voraussetzen) In Datalog: query1(V) :- vorlesungen(V,T,S,R). query2(V) :- voraussetzen(V,N). query(V) :- query1(V),  query2(V).