理工数学实验

1. 理工数学实验 综合实验 综合实验1 估计水塔的水流量综合实验2 轧钢中的浪费问题 综合实验3 锁具装箱问题综合实验4 檐沟问题 综合实验5 快餐店问题综合实验6 最佳泻洪方案 综合实验7 钻井问题布井模型综合实验8 食品加工问题 综合实验9 块匹配运动位移估值算法设计 综合实验10 矢量量化编码的LBG算法及其实现 综合实验11 圆的扫描转换算法—中点画圆法 综合实验12 大熊猫栖息地环境质量综合评价

2. 理工数学实验 综合实验1 估计水塔的水流量

3. 一、实验内容 　　美国某州的各公用水管理机构要求各社区提供各个时刻的用水率以及每天所用的总用水量．但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位．更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直到某一最高水位Ｈ，但也无法得到水泵的供水量的测量数据．因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中水位与水泵工作时的用水量之间的关系．水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约二小时．试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量，并估计一天的总用水量．表１给出了某个小镇某一天的真实数据．

4. 一、实验内容 表１．某小镇某天的水塔水位

5. 一、实验内容 　　表１给出了从第一次测量开始的以秒为单位的时刻，以及该时刻的高度单位为百分之一英尺的水塔中水位的测量值，例如3316秒后，水塔中的水位达到31.10英尺．水塔是一个垂直圆形柱体，高为40英尺，直径为57英尺．

6. 二、问题分析 　　我们很容易想到应通过对所给的数据进行数值拟合来建模．在讨论具体的建模方法以前，我们应先给出一些合理的假设． (1)影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求．因为表１只给出了某一天（近26小时）水塔的水位数据，并没有对这些数据的产生有影响的因素作出具体的说明，我们只能假定所给数据反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情况，如自然灾害、火灾、水塔溢水、水塔漏水等对水的特殊要求． (2)水塔中的水位不影响水流量的大小，气候条件、温度变化等也不影响水流量． (3)水泵工作起止时间有它的水位决定，每次充水时间大约为两个小时．

7. 二、问题分析 (4)水泵充水速度恒定，且水泵充水的水流量远大于水塔的水流量，以保证人们对水的需求．水泵工作时不需要维修，也不中途停止工作． (5)水塔的水流量与水泵状态独立，并不因水泵工作而增加或减少水流量的大小． (6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线了逼近．这时，在每一个数据点，水流量的两阶导数是连续的．因为水的消耗量是基于社区公众一天的活动，如洗澡、做饭、洗衣服等，每一个使用者的要求与整个社区的要求相比是微不足道的，而整个社区的需求是不可能同时增加或减少的，由于水的消耗的自然性，可以假设水流量曲线是一条连续光滑的曲线． (7)表１的数据是准确的

8. 二、问题分析 　　对所给的问题，其建模方法是经典的，基本上是分成三步：首先由所给数据得到在各数据点处的水流量，然后找出一个水从水塔流出的水流量的光滑拟合逼近，最后处理水泵工作时的充水水量以及一天该小镇公众的总用水量，同时也重建了水泵工作时所缺的数据．所给数据的初步处理. 　　我们把表１所给的数据作为时间的函数画成图１（程序见实验解答中程序一）

9. 二、问题分析 图1．时间与水位的关系图

10. 二、问题分析 　　从图１可以看出，最大的困难是要解决如何描述水塔充水期间的水流量的行为，为此，我们先分析一下水泵充水期间的观察数据，要解决两个问题：一是两次充水准确的起始时间和停止时间，如果无法得到准确时间的话，以哪一时刻作为起止时间比较合理；二是充水期间的水流量如何描述． 从所给的数据自然无法知道水泵开始和停止的准确时间，但是已知第一次充水前的最后一个数据为32284秒时水位为26.97英尺 ，充水中第二个数据为39332秒时．而39332-32284=7048秒，即约为1.96小时，由水泵每次充水要大约２小时可知，水泵是在32284秒时开始充水的．停止时间在39332秒与39435秒之间，但这两个时刻的差距为103秒，约0.028小时，很短的时间，所以我们可以假定水泵停止工作时间为39332秒．充水开始时水塔水位为26.97英尺，可以认为L大约为27.00英尺．

11. 二、问题分析 　１、水流量曲线的拟合 表１给出的是水位与时间的关系，而题目要求我们求出的是水流量与时间的关系，因此，我们先将表１的数据转化为水塔中水的体积与时间的关系，然后再转化为水流量与时间的关系．表２、图２代表水的体积与时间的关系（程序见实验解答中程序二）

12. 二、问题分析 　　表2．时间与体积的关系

13. 二、问题分析 图2．时间与体积的关系图

14. 二、问题分析 　我们用　　　从水的体积与时间的关系得到水流量与时间的关系（由于在充水时，没有水的体积与时间的关系，所以也没有水流量与时间的关系）．我们采用差分法来解决这个问题． 由于水泵充水两次，数据被分割成三组，因而我们也分三组来处理数据．对每一组数据，我们采用中心差分公式 　　

15. 二、问题分析 　　来计算每一组中间数据点的水流量．而对每组前两个和最后两个数据点，采用如下的公式来计算　 对于最后的倒数第二个数据，我们用下面的公式计算：

16. 二、问题分析 (4)水泵充水速度恒定，且水泵充水的水流量远大于水塔的水流量，以保证人们对水的需求．水泵工作时不需要维修，也不中途停止工作． (5)水塔的水流量与水泵状态独立，并不因水泵工作而增加或减少水流量的大小． (6)水塔的水流量曲线可以用一条光滑的曲线了逼近．这时，在每一个数据点，水流量的两阶导数是连续的．因为水的消耗量是基于社区公众一天的活动，如洗澡、做饭、洗衣服等，每一个使用者的要求与整个社区的要求相比是微不足道的，而整个社区的需求是不可能同时增加或减少的，由于水的消耗的自然性，可以假设水流量曲线是一条连续光滑的曲线． (7)表１的数据是准确的

17. 二、问题分析 　　计算结果见表３和图３（程序见实验解答中程序三）． 表3．时间与流量的关系

18. 二、问题分析 图3．时间与流量的关系

19. 1 二、问题分析 从上图可以看出关于流量的数据点具有一定的周期性，所以考虑用三角函数来拟合它．其周期大约为4000，所以选择拟合函数系 下面用Methematica中的Fit命令（程序见实验解答中程序四）来拟合水流量的曲线，得到拟合函数。拟合函数图形如下

20. 二、问题分析 　２、估计该镇一天的总用水量 我们可以用水流量拟合曲线在[0,93270]上积分来求出该镇在93270秒（即约25.92小时）的总用水量，然后乘以25.92得到该镇一天的总用水量，约34551.9立方英尺（程序见实验解答中程序五）

21. 三、问题解答 　　程序见教材

22. 四、思考与提高 　　请对本模型的优点和确定作出评价。在充水时的数据还可以如何处理？

23. 理工数学实验 综合实验2 轧钢中的浪费问题

24. 一、实验内容 轧钢中的浪费问题：用连续热轧方法生产钢材一般要经过两道工序，第一道是热轧（粗轧），形成钢材的雏形；第二道是冷轧（精轧），得到最后的成品.由于受设备、环境等方面随机因素的影响，钢材经热轧再冷轧后的长度大致上服从正态分布，其均值可以在轧制过程中由轧机调整，而其均方差则是由设备的精度决定的，无法随意改变.冷轧时把多出规定长度的部分切除，但是，若热轧后的钢材已经比规定长度短，则整根钢材报废.冷轧设备的精度很高，轧出的成品材可以认为是完全符合规定长度要求的. 根据轧制工艺的要求，要在成品材规定长度L=2米，热轧后钢材长度的均方差b＝0.1的条件下，确定热轧后钢材长度的均值m，使得当轧机调整到m进行热轧，再通过冷轧以得到成品材时的浪费最少.

25. 1.设定x为热轧后钢材的长度，依题意x为一随机变量，且服从正态分布N(m，b2)，概率密度函数为： ，（－∞<x<＋∞），b>0为已知，m待定 当成品材的长度L给定后，记： P＝P(x≥L)＝ P`＝P( x<L) ＝ 故而有 P＋P`＝1. 分析题意可知，轧制钢材的过程中产生的浪费Y由两部分组成： （1）x≥L时，冷轧切去多余部分，长度为（x－L）； （2）x<L时，整根钢材报废，长度为x； Y＝ ＝m－LP 二、问题分析

26. 2.上式中的Y即为每热轧一根钢材所浪费的平均长度，所以热轧N根钢材，得到N P根成品材，浪费总长度为（mN－LN P），因此每得到一根成品材所浪费钢材的平均长度J1为： J1＝ 由以上分析，可将上式的第一项作为目标函数J(m)： J(m)＝ ，P(m)表示概率P＝P(x≥L)是m的函数 3.求函数J(m)的最小值点即可. 4.问题的简化：设F(x)为正态分布N(m，b2)的分布函数，Φ(x)为标准正态分布的分布函数，则， J(m)＝ ＝ ＝ 令c＝ ，d＝ ，z＝d－c则上式可简化为： J(z)＝ 二、问题分析

27. 三、问题解答 n[1]:= <<Statistics`ContinuousDistributions` In[2]:=L=2 Out[2]:=2 In[3]:= b=0.1 Out[3]:=0.1 In[4]:= c=m/b Out[4]:= 10.m In[5]:=d=L/b Out[5]:=20 In[6]:= z=d-c Out[6]:= 20.-10.m In[7]:= gdist=NormalDistribution[0,1] Out[7]:= NormalDistribution[0,1]

28. 三、问题解答 In[8]:= F[x_]:=CDF[gdist,x] 将简化后的目标函数表示成以m为自变量的函数： In[9]:= J=(L-b*z)/(1-F[z]) Out[9]:= 通过图形直观显示目标函数的最小值点： In[10]:= Plot[J,{m,2,3}]

29. 三、问题解答 针对图形的特点寻找目标函数的最小值点（在m＝2附近）： In[11]:= FindMinimum[J,{m,2}] Out[11]:= {2.2502, { m－>2.20951}} In[12]:= m=2.20951； In[13]:= P=1-F[z] Out[13]:=0.981919 In[14]:=J1=m/P-L Out[14]:= 0.250196 即为每得到一根成品材（L＝2米）所浪费钢材的平均长度J1＝0.250196米

30. 四、思考与提高 试就本题的条件考虑能否利用微积分的方法求解？

31. 五、练习内容 某糖果生产厂将产品包装成500克一袋出售，在众多因素的影响下包装封口后一袋的重量是随机变量，设其服从正态分布N(m，b2)，其中b已知，m可以在包装时调整，出厂检验时精确地称量每袋重量，多余500克的仍按500克一袋出售，因而厂家吃亏；不足500克的降价处理，或打开封口返工，或直接报废，这样厂方损失更大，问如何调整m的值使得厂方损失最小？

32. 理工数学实验 综合实验3 锁具装箱问题

33. 一、实验内容 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1, 2, 3, 4, 5, 6}这6个数（单位略）中任取一数．由于工艺及其它原因，制造锁具时5个槽的高度还有两个限制：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5．满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批. 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开，但是在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下实验结果：若二者对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情形下，不可能互开． 销售部门在一批锁具中任意地取每60个装一箱出售.团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形．

34. 一、实验内容 现问： 1．每一批锁具有多少个，装多少箱？ 2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购开一箱者给出具体结果）．

35. 二、问题分析 某厂生产一种弹子锁具，由于其钥匙有5个槽，所以用五元数组来刻划一个锁具：Key=(h1, h2, h3, h4, h5, ), hi表示第i个槽的高度，i=1,2,3,4,5．因此，五元数组Key应满足下述条件： 条件1：hi∈(1,2,3,4,5,6), i=1,2,3,4,5． 条件2：对于任意一个槽高排列h1, h2, h3, h4, h5至少有三个不同的槽高． 条件3：对于任意一个槽高排列h1, h2, h3, h4, h5有： 2,3,4,5. 而两个锁具可以互开的条件为：两个锁具有四个槽高相同，其余一槽高相差为1．

36. 三、建立模型 1．一批锁具个数的计算． 记一批锁具集合为K={h1, h2, h3, h4, h5}|hi∈{1,2,3,4,5,6}, i=1,2,3,4,5,且（h1, h2, h3, h4, h5）为一锁具}其个数小于65个．可采用逐一检验条件1、2、3来求锁具的个数． 2．顾客抱怨程度的刻划 因为如果采用互开总对数来刻划抱怨程度则存在这样的情况：购买得越多，则互开的总对数就越大，按照假设则顾客的抱怨程度越大，但事实上这样的情况对顾客而言也是能接受的，所以不会有很多的抱怨，且顾客所不能容忍的是购买少量的锁具而出现互开现象．因此，应用平均互开总对数来刻划抱怨度． 记： S={(h1, h2, h3, h4, h5) / (h1, h2, h3, h4, h5)∈K,且 为偶数} T={(h1, h2, h3, h4, h5) / (h1, h2, h3, h4, h5)∈K,且 为奇数}

37. 则在一批锁具中，设能够互开的两锁具的槽高排列为 和 ，其各槽高度之和 与 ，因为互开的两锁具具有四个槽高度相同，仅有一个槽高度差1，那么高度之和 与 必为两个相邻的自然数，故与具有不同的奇偶性．这样，能够互开的锁具一定分属于奇类与偶类, 即是能够互开的锁具分别属于和T这两个集合．且S中的锁具不能互开，T中的锁具不能互开．判断时，我们将S和T中的锁具分别标号为0与1，便可提高计算速度． 三、建立模型

38. 1．对（ ）的所有排列逐个检验条件2、3，判断其是否为锁具，将锁具放在数组key中，若 为奇数，标号为1；若 为偶数，标号为0，并记数Count． 2．输出一批锁具的总个数Count． 3．多次用随机数来模拟销售一箱的情形．计算平均互开总对数． 4．输出一箱平均互开总对数Average． 程序具体可以见教材. 结果为：Count=5880, Average=2.362 四、问题解答

39. 理工数学实验 综合实验4 檐沟问题

40. 一、实验内容 市政府的建筑处需要明确与屋顶配套的檐沟的规格。一个新开发区的房屋的屋顶都是矩形，长12米，从屋脊到檐沟的宽为6米，屋顶对水平面的倾角还未确定，但大致将在20°和50°之间。一家檐沟生产公司急欲与市政府签订供货合同。该公司声称他们的新型塑料槽沟经久耐用，无论什么样的天气情况都能有效地满足要求，对这批屋顶，设计的檐沟横截面是半径为7.5厘米的半圆，用一条直径为10厘米的排水管就够了，市政府的建筑专家不能确信檐沟供应单位的声称，因此让你建一个数学模型，在批量定货前对此作一个全面分析，其中至关重要的是这种尺寸在暴雨时是否足以正常排水。

41. 二、问题分析 这是一种输入输出模型，它在诸如水箱中、河流或水库中水的流入流出问题也会得到应用。在本例中，输入是倾斜屋顶上流下的雨水，输出则是从垂直的排水管中流出的水，关键的问题是檐沟是否能容纳所有的雨水而不溢出，这就意味着我们关心的是在特定时期檐沟中水的高度。当檐沟的横截面是半圆时，那么水的高度与半径相等时将发生外溢。 1．变量引入 根据对问题的全面分析，我们引入如下变量：

42. 二、问题分析

43. 二、问题分析 2．假设提取 作关于水流的假设如下： ① 所有落在屋顶的雨水都流进檐沟 ② 直接落入檐沟的雨水忽略不计 ③ 排水系统不含出现意外的堵塞 ④ 雨直接落在屋顶上 ⑤ 雨撞击屋顶时不溅走

44. 雨 屋顶 b α b 雨 α d 3．模型的构建 为便于分析和构建模型，我们画出下面3个示意图分别表示屋顶与檐沟的关系（图1），水流的状态（图2）以及檐沟中水量状态（图3）。

45. 二、问题分析 ① 檐沟系统中水的流量有如下形式： 檐沟中水量变化率＝流入量速率－流出量速率 即v′(t)=Qi-Q0 （1） 其中Qi和Q0是当r以ms-1测量的线性速度时的水流体积变化率。 ② 屋顶面积为bd，但由于屋顶的倾斜，雨水下落的面积是bdcosα。当雨的强度为r(t)时，落在屋顶的降雨量体积变化量是 r(t)×面积＝r(t) bdcosα （2） 而且屋顶的倾斜还会影响注入檐沟的流速，屋顶越陡、流速越大，由图2有雨水流入檐沟的流量为： Qi=r(t)bdcosαsinα （3）

46. ③ 由图3，根据檐沟中水的横截面，可算出任一时刻檐沟中水的体积，体积公式为： 水的体积＝水的横截面积×檐沟长d 水的横截面是半圆的一部分，由图3可见，用θ表示∠AOC，水的横截面由下式给出： 而 所以 故 （4） 实际上要求的是v(t)的变化率 v′(t)=(dv/dh)(dh/dt)，另外对方程（4）求微分能得到dv/dh，运算后得到 （5） 二、问题分析

47. ④ 通过垂直排水管的水量就是从檐沟的输出流量。输出流速与檐沟中水的高度有关，通常的关系是适用关于能量守恒的托尔希里定律得到，定理叙述由于高度h(t)减少引起的势能损失与进入管道前获得的功能平衡。因而水从檐沟流出的速度为，排水管的横截面积记为A，那么输出流量为： Q0（6） 返回到方程（1），代入流量可得到微分方程 即： （7） 二、问题分析

48. （8） 求解微分方程（8）可得任一时刻檐沟中水的深度h(t)，现在的问题是已知雨水强度r（t），求水的深度h(t)。假定雨的强度r(t)＝常数，即在长时间内，下雨是均匀恒量，持续不断的情形。此时可能由于排水不及，雨水从檐沟溢出，也可能檐沟中水的高度h(t)保持在一个小于0.075米的稳定值上，是动态平衡状态，在方程（8）中，令，可推算出处于平衡状态时的高度值h。有 即 例如当 时，在 处是稳定状态。 三、问题解答

49. 四、思考与提高 1．方程（7）是一阶微分方程，相应的初始条件可以是h(0)=0，即开始下雨时檐沟内是干的。此时方程（7）在h=0是奇异的。即当我们把h=0代入方程时不能得到的值，问此时该如何处理。 2．若雨水强度r(t)是短时阵性大雨的情形，如在20分钟达到最大，然后在40分钟时衰减至0。问此时应如何刻划雨水强度以及此时h随t的变化图形如何。

50. 五、练习内容 1．利用Mathematica求解微分方程。 2．利用Mathematica 画出在r(t)已知情况下h随t的变化图形。