Лекция №3

1. Лекция №3 Кафедра Информатики ВКГУ им. С. Аманжолова

2. Тема лекций: Системы счисления

3. План лекций: • позиционные и непозиционные системы счисления; • порождение целых чисел в позиционных системах счисления; • соответствие чисел в различных системах счисления; • двоичная система счисления; • перевод чисел из одной системы счисления в другую; • арифметические операции в позиционных системах счисления. кафедра информатики У-Ка, 2007

4. Системы счисления - - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). - это принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений. кафедра информатики У-Ка, 2007

5. Взгляните на эти действия: 2 х 2 = 11 5 х 5 = 31 56 : 9 = 9 10 - 1 = 1 9 + 1= А Такие записи кажутся странными. А ведь это правильные операции, только выполнены они в различных системах счисления, отличных от наиболее широко применяемой десятичной, - в троичной, восьмеричной, пятнадцатеричной, двоичной и, наконец, в шестнадцатеричной. Развитие систем счисления происходило параллельно развитию самой цивилизации. С развитием электронно-вычислительной техники большое применение получили двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Системой счисления принято называть совокупность приёмов наименования и обозначения (записи) чисел. Условные знаки, применяемые при обозначении чисел, обычно называют цифрами. В ряде систем счисления числа записывают как последовательности цифр. Например, 569, 123 456, ХХIV кафедра информатики У-Ка, 2007

6. Системысчисления Позиционные Значение символа (вес цифры) зависит от его места (позиции), последовательности цифр, изображающих число. Характеризуются своим основанием. Пример: 759,310 Непозиционные Значение символа не зависит от его позиции в записи числа, а определяется только его изображением. Пример: римская С.С. I-1 V-5 X-10 L-50 C-100 D-500 M-1000 кафедра информатики У-Ка, 2007

7. Самая простая система счисления была еще у древних людей. Какое число нужно записать, столько сделают засечек на палке, или в кучку камешков положат. Но это удобно, пока числа небольшие. Вы только представьте себе число 1 000 записанное с помощью кучки камушков, а 1 000 000?. Неудобно? • Тогда стали люди придумывать как по другому записывать большие числа. Для начала решили, что каждые 10 палочек заменять загогулинкой, и счет пошел легче! Так появилась аддитивная система счисления. • Но люди никогда не стоят на месте, они постоянно чего-нибудь изобретают. Не захотелось людям вырисовывать по десятку палочек да загогулинок, и решили каждое круглое число обозначить по-особому. Но для этого потребовалось большое количество цифр-символов, и, чтобы не изобретать велосипед, решили использовать алфавит. Так и появилась на свет алфавитная аддитивная система счисления. Такая система очень долго использовалась по всей Европе, и во многих государствах за ее пределами. • Но далеко не все народы делали свои записи с помощью алфавита или слоговых знаков (об алфавитах и слоговых знаках здесь). В Китае иероглифы не позволили появиться такой системе счисления, и тогда ученые изобрели немного другую систему, названную мультипликативная система счисления. Эта система имела одно очень важное свойство: в ней одна и та же цифра, в зависимости от расположения в записи числа могла иметь разные значения. Именно такой системой счисления мы с Вами сейчас и пользуемся. кафедра информатики У-Ка, 2007

8. В позиционных системах счисления местоположение цифры определяет её значение. Так в числе 555 один и тот же знак 5 означает или пять сотен (555 ), или пять десятков (555 ), или пять единиц (555). Основанием позиционной системы счисления называется число цифр, которые используются при записи чисел. В числе XXVIII знак X всегда означает десять единиц. Классическим образцом непозиционной системы является римская система счисления. В непозиционной системе счисления смысл каждой цифры числа не зависит от занимаемой ею позиции. кафедра информатики У-Ка, 2007

9. Позиционные С.С. За основание позиционной системы счисления может быть принято любое натуральное число, т.е. бесчисленное множество. Запись чисел каждой из системы счисления с основанием qозначает сокращенную запись такого выражения: (an-1q(n-1)+an-2q(n-2)+…+anq(n)+…+a0q(0)+a-1q(-1)+…+a-mq(-m))*, где ai– цифрысистемы счисления n-целых, m-дробных разрядов, (i)-показатель степени. Число можно представить в виде суммы произведения коэффициентов на соответствующую степень основания системы счисления. кафедра информатики У-Ка, 2007

10. Позиционная система счисления способ записи чисел цифровыми знаками, где значение каждой входящей в число цифры зависит от ее положения (позиции=разряда). Непозиционная IX = 10-1= 9 XI =10+1= 11 XX = 10+10 = 20 Позиционная 005=5*1 (пять) 050=5*10 (пятьдесят) 500=5*100 (пятьсот) кафедра информатики У-Ка, 2007

11. Для позиционной системы счисления справедливо следующее выражение: …a4a3a2a1a0 = + a4*x4 + a3*x3 + a2*x2 + a1*x1 + a0*x0 … где x – основание системы счисления ai – цифры числа i – номер позиции (разряда), начиная с 0 кафедра информатики У-Ка, 2007

12. Восьмиричная система счисления Восьмиричная позиционная система счисления с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Основание системы счисления - число 8. Примеры записи чисел: 3578= 3*82 + 5*82 + 7*80 = 3*64 + 40 + 7 = 23910 55510 = 10538 1) 555:8 = 69,3 2)69:8 = 8,5 3) 8:8 = 1,0 кафедра информатики У-Ка, 2007

13. Десятичная система счисления - наиболее известная. Эта система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке - наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. Благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Несмотря на кажущуюся простоту, десятичная система содержит глубокую математическую идею. Известный французский математик, физик, астроном Пьер Симон Лаплас по этому поводу писал так: “Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, ещё значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим на примере величайших гениев греческой учёности Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой.” Итак, имеем десятичную позиционную систему счисления с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Основание системы счисления - число 10 Десятичная система счисления кафедра информатики У-Ка, 2007

14. Применима запись чисел в форме: и наоборот: кафедра информатики У-Ка, 2007

15. a3a2a1a0 = + a2*x2 + a1*x1 + a0*x0 a3*x3 1 0 6 2 тысячи сотни десятки единицы 3 2 1 0 i 103 102 101 100 ai 1000 100 10 1 имя 1062 = 1*1000 0*100 6*10 2*1 + + + x=10 1000 0 60 2 1062 = + + + xi Десятичная система счисления например,1062 – число в десятичной системе счисления кафедра информатики У-Ка, 2007

16. Двенадцатеричная система счисления Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение её тоже связано со счётом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырёх пальцев: всего их 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков - 12 штук.   кафедра информатики У-Ка, 2007

17. Шестнадцатиричная система счисления Шестнадцатиричная позиционная система счисления представляется цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, латинскими буквами A, B, C, D, E, F, G. Основание системы счисления - число 16. кафедра информатики У-Ка, 2007

18. Особый интерес представляет так называемая "вавилонская " , или шестидесятеричная, система счисления, весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне. Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся. Существуют две гипотезы. Первая исходит из того, что произошло слияние двух племён, одно из которых пользовалось шестеричной, другое - десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса. Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например, 1 час = 60 минут, 1 градус = 60 минут . В целом шестидесятеричная система счисления громоздка и неудобна.  ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ кафедра информатики У-Ка, 2007

19. Двоичная система счисления способ записи чисел с помощью цифр1 и 0, которые являются коэффициентами при степени числа 2. Например, &101. & - амперсантуказывает на то, что число записано в двоичной системе. кафедра информатики У-Ка, 2007

20. Двоичная система счисленияК наиболее простым системам счисления относится двоичная - позиционная система счисления с основанием два. Для изображения любого числа в ней используются только две цифры - 0 и 1. Двоичную цифру называют битом. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Все-общее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие. Большинство современных электронно-вычислительных машин используют в своей работе именно эту систему чисел. С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки - точки и тире, может передать практически любой текст. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки - точки и тире, может передать практически любой текст. кафедра информатики У-Ка, 2007

21. a3a2a1a0 = + a2*x2 + a1*x1 + a0*x0 a3*x3 1 0 1 0 3 2 1 0 i 23 22 21 20 ai 8 4 2 1 &1010 = 1*8 0*4 1*2 0*1 + + + x=2 8 0 2 0 &1010 = + + + xi Двоичная система счисления например,&1010 – число в двоичной системе счисления = 10 кафедра информатики У-Ка, 2007

22. ПРАВИЛА ДВОИЧНОЙ АРИФМЕТИКИ 1. Сложение: 1+1=10 1+0=1 0+1=1 0+0=0 2. Вычитание: 1-1=0 1-0=1 0-1=1 0-0=0 Число в двоичной системе можно представить в виде суммы степеней двойки с коэффициентами-цифрами, аналогично, как и для десятичных: кафедра информатики У-Ка, 2007

23. Перевод 2 -> 10 3 3 2 2 1 1 0 0 =13 & 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 2 2 + + + x x x x 4 1 8 + +

24. «Вычисление с помощью двоек…, сведение чисел к простейшим началам (0 и 1)» было предложено еще в XVII веке знаменитым немецким ученым Г.В. Лейбницем. кафедра информатики У-Ка, 2007

25. Двоичная система счисления “Круглые” числа &1 = 1 &10 = 2 &100 = 4 &1000 = 8 &10000 = 16 &100000 = 32 &101 = 5 &110 = 6 &111 = 7 &1000 = 8 &1001 = 9 кафедра информатики У-Ка, 2007

26. Перевод из десятичной системы счисления Целые и дробные числа переводятся порознь! • Для перевода целого числа необходимо разделить его на основание системы счисления q и продолжать делить частное от деления до тех пор, пока частное не станет равно 0. • Последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке начиная с последнего и будет числом с основанием q. Пример: 25/2=12 (ост. 1) 12/2=6 (ост. 0) 6/2=3 (ост. 0) 3/2=1 (ост. 1) 1/2=0 (ост. 1) 2510=110012 кафедра информатики У-Ка, 2007

27. Рассмотрим на примере 149 из десятичной системы перевести в двоичную кафедра информатики У-Ка, 2007

28. Записываем полученные в остатке числа в ответ справа налево. И так делим до того момента, когда делить будет больше нечего 149 делим на два и получаем 74 и 1 в остатке Далее 74 делим на два и получаем 37 без остатка (пишем 0) ОТВЕТ: (10010101)2=(149)10 кафедра информатики У-Ка, 2007

29. Перевод из десятичной системы счисления Целые и дробные числа переводятся порознь! • Для перевода дробной части (числа, у которого 0 целых) с основанием qнеобходимо последовательно умножать на q, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. • Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения. • Умножение производится до тех пор, пока дробная часть не будет равна 0, а в противном случае до заданной точности. Пример: 0,375*2=0,75 0,75*2=1,5 0,5*2=1 0,37510=0,0112 кафедра информатики У-Ка, 2007

30. 25 2 24 12 2 1 12 6 2 0 6 3 2 0 2 1 1 Перевод 10 –> 2 25 = &11001 Проверка 1* 24 + 1*23+ 0*22 + 0*21 + 1*20 = 1*16 + 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25

31. 18 2 18 9 2 0 8 4 2 1 4 2 2 0 2 1 0 Перевод самостоятельно (10 –> 2) 18 = &10010 Проверка 1* 24 + 0*23+ 0*22 + 1*21 + 0*20 = 1*16 + 0*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 = 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = 18

32. Основание системы Цифрысистемы Примерзаписи 2 0 1 &101011111 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 351 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f 10 11 12 13 14 15 #15f Сравнительная таблица 255 = &11111111 = #ff

33. Перевод двоичных чисел в восьмеричные и шестнадцатеричные • Для перевода целого двоичного числа в восьмеричные (шестнадцатеричные) необходимо разбить его по 3 (4) цифры справа налево, недостающие знаки заменить нулями, а затем каждой группе поставить ее восьмеричный (шестнадцатеричный) эквивалент. Пример: 001 101 101 0112=15538 0011 0110 10112=36B16 • Так же производится перевод дробных чисел, но разбивать их надо слева направо от запятой и добавлять нули в конце. Пример: 0,011 101 1002=0,3548 0,0111 01102=0,7616 кафедра информатики У-Ка, 2007

34. Чтобы число из двоичной системы перевести в восьмиричную или шестнадцатиричную, нужно воспользоваться таблицей: Например, переведем число из двоичной системы в восьмиричную: 0 11111000100 Справа налево отсчитаем по три цифры Одной не хватает, поэтому дописываем один нолик. (если бы не хватало двух, дописали бы два ноля и т.д.) Теперь с помощью таблицы записываем результат. Например, 011 во втором столбике эквивалентна 3 в первом; 111 = 7; 000 = 0; 100 = 4 Ответ: (11111000100)2 = (3704)8 кафедра информатики У-Ка, 2007

35. Только теперь справа налево отсчитываем по 4 цифры Ту же самую операцию мы проделаем с числом, когда будем переводить в 16-ую систему. 0 11111000100 Ответ: (7С4)16 кафедра информатики У-Ка, 2007

36. Перевод 16 -> 10 1 1 0 0 =75 b b # 4 4 16 16 + x x 1 11 16 4 + x x

37. Перевод 10 –> 16 180 16 180 = #b4 176 11 = b Проверка 11* 161+ 4*160 = 11*16 + 4*1= 176 + 4= 180 4 кафедра информатики У-Ка, 2007

38. #ffffff #b48abe # RGB #ff0000 #00ff00 #0000ff

39. 10-я 2-я 8-я 16-я 10-я 2-я 8-я 16-я 0 0 0 0 10 1010 12 A 1 1 1 1 11 1011 13 B 2 10 2 2 12 1100 14 C 3 11 3 3 13 1101 15 D 4 100 4 4 14 1110 16 E 5 101 5 5 15 1111 17 F 6 110 6 6 16 10000 20 10 7 111 7 7 17 10001 21 11 8 1000 10 8 18 10010 22 12 9 1001 11 9 19 10011 23 13 Запись чисел в различных системах счисления

40. Вопрос 3 Как выполняются арифметические действия в системе счисления? кафедра информатики У-Ка, 2007

41. Арифметические действия в двоичной системе выполняются следующим образом: 1+1=10 1+0=1 0+1=1 0+0=0 1-0=1 1-1=0 0-0=0 10-1=1 1*0=0 0*1=0 0*0=0 1*1=1 И с помощью этих действий можно решать более сложные примеры: 111001 + 1111 _______ 1001000 кафедра информатики У-Ка, 2007

42. Необыкновенная девчонкаА. Н. Стариков • Ей было тысяча сто лет,Она в 101-ый класс ходила,В портфеле по сто книг носила –Все это правда, а не бред. • Когда, пыля десятком ног,Она шагала по дороге,За ней всегда бежал щенокС одним хвостом, зато стоногий. • Она ловила каждый звукСвоими десятью ушами, И десять загорелых рукПортфель и поводок держали. • И десять темно-синих глазРассматривали мир привычно… Но станет все совсем обычным,Когда поймете наш рассказ. кафедра информатики У-Ка, 2007

43. кафедра информатики У-Ка, 2007

44. Вавилонская система счисления • Вавилонская система (шестидесятеричная)  одна из первых известных систем счисления мира, основанная на позиционном принципе появилась в Древнем Вавилоне за 2000 лет до н.э. Мы делим один час на 60 минут, а минуту делим на 60 секунд. Также окружность мы делим на 360 частей. Оказывается мы следуем примеру Вавилона!

45. Домашнее задание

46. Задача 1 В бумагах одного чудака найдена была его автобиография. Она начиналась следующими строками:«Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте  всего 11 лет  способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей.»Попробуйте разгадать ее. кафедра информатики У-Ка, 2007

47. 128 256 Задача 2 Для хранения области экрана монитора размером 256х128 точек выделено 32 Kb оперативной памяти. Количество цветов, максимально допустимое для раскраски каждой точки: 4; 16; 256; 512 ? ОЙ! 1. Всего точек = 128*256 = 27*28=215 2. Всего памяти = 32Kb = 32*210b = 25*210b = 215b 3. Памяти на одну точку = 215b/ 215 = 1b = 8 бит 4. Комбинаций на основании 8 бит = 28 = 256

48. 16 32 64 48 64 32 64 32 64 32 64 страница страница страница страница страница Задача 3 Досье на сотрудников занимают 8Mb. Каждое из них содержит 16 страниц (32 строки по 64 символа в строке). Сколько сотрудников в организации: 256; 512; 1024; 2048? ОЙ! 1. Символов 1 д. = 16*32*64 = 24*25*26=215 2. Памяти на 1 д. = 215b 1 символ = 1b 3. Всего = 8Mb = 23*220b = 223b 4. Кол-во сотр. = 223b/ 215b = 28 = 256

49. Надеемся, что краткое объяснение этой темы вам помогло и вы не будете испытывать трудностей с ней в дальнейшем! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!! Тему готовили: преподаватели кафедры информатики ВКГУ им. С.Аманжолова 2007 год кафедра информатики У-Ка, 2007

50. КОНЕЦ кафедра информатики У-Ка, 2007