Ch7 功與能量

1. Ch7 功與能量 § 7-1 功的定義 § 7-2 動能與功能定理 § 7-3 功率 § 7-4 位能與力學能守恆原理 1. 地表附近的重力位能 2. 彈力位能 3. 重力位能的一般式 § 7-5 碰撞

2. θ § 7-1功的定義 • 作功的意義：作功為能量轉移的過程。 • 定力所作的功：

3. 功的單位： • 焦耳（J）= 牛頓（N）．公尺（m） • 耳格（erg）= 達因（dyne）．公分（cm） • 功的符號： • 功的性質： • 功的量值會隨參考座標不同而改變。 • 例如當電梯下降時，電梯內的觀察者見重力對電梯內的靜止物體不作功。電梯外的觀察者見重力對該物體作正功。

4. 當物體同時受到幾個力的作用時，合力對物體所作的功等於各分力對物體所作功的代數和。 例題：以下有關功之敘述，何者為正確？ (A)人造衛星繞地球一週，萬有引力對衛星所作之功為零。 (B)手持重物，但手未運動，則手對重物所作之功為零。 (C)單擺運動中，繩之張力對擺錘所作之功為零。 (D)單擺運動中，重力對擺錘所作之功為零。 (E)以手沿一粗糙表面推一重物以等速前進，則手對重物所 作之功為零。 [71 日大] 答案：ABC

5. F m mg 例題：用繩將質量為 m的木塊垂直放下，以 g∕4 的向下加速度下降距離 ℓ，則繩拉力對木塊所作的功為何？重力對木塊作的功為何？木塊受到的總功為何？

6. F 60o 例題：一人在水平路上推進一購物車，推力 50 牛頓與路面成 60o。若車子在 10 秒內以等速前進 8 公尺，則推力所作之功為何？摩擦力所作之功為何？

7. N F 1.2m f mg 37o 例題：一質量 2 公斤的物體，放在傾斜 37o的斜面上，物與斜面之間的摩擦係數為 0.5，將物體等速拉至斜面上 1.2 公尺的高度，求拉力、重力、摩擦力所作的功分別為何？（ g = 10 m∕s2）

8. 1.2m F A B 例題：如右圖所示，質量 4 公斤 的物體靜置於光滑水平面，受一質量忽略不計的繩子繫著，繩繞過無摩擦的定滑輪，它端施以 10 牛頓向下的固定拉力，使物體沿光滑水平面由 A 滑到 B，則拉力對物體作功為何？

9. B A 例題：6.0N 的水平向右定力與其它力同時作用在質點 P 身上，使 P 自 A 點沿半徑 2.0m 的圓周運動 3∕4 圓周到 B 點時，問對 P 共作多少功？

10. Fx x Δx • 變力所作的功： • 當作用在物體上的力不為定值時，需要利用積分的技巧來計算力量所作的功。觀念上我們將物體的位移細分成許多相等的小段，每一小段功的計算可以將作用力當成定值，如此將每一小段的功算出後再總加起來，所得的值大約等於實際的值。當位移分的越細誤差就越小，在極限的情況時即得到實際值。數學式的表示為 物體在一直線上運動，受到的作用力平行於物體的位移，則作用力所作的功等於作用力對位移的關係圖中所圍出來的面積。

11. F ΔS 例題：一長度為 ℓ，質量為 m 的均勻繩子，其 4∕5 長度置於一無摩擦力之水平桌面上，另外 ℓ∕5 長度則懸吊於桌邊下垂（如圖），將此繩子全部拉回桌面上所需作的功為何？

12. F (N) 12 8 Δx (m) 0.3 0.2 例題：以 2 牛頓的力量可將一彈簧拉長 5 公分，今施一力將此彈簧由伸長量 20 公分變化至 30 公分，則施力所作的功為何？

13. F ΔS x 2x 例題：將一彈簧由原長壓縮 x長，需作功 W。若再繼續壓縮 x長，則 需再作功若干 W？ 3W W

14. § 7-2 動能與功能定理 • 動能：物體因運動時所具有對外作功的能力。當一質量為 m的物體，以 v的速率運動時，其動能以符號 Ek表示，定義為 動能為純量，其單位與功的單位相同。 • 功能定理： • 合力對物體所作的功等於物體的動能變化量。

15. 物體所受合力如不為定值，利用微積分的技巧，可以證明功能定理仍然成立。

16. 例題：一質量 2.0 公斤的物體放在水平桌面上，物體與桌面的滑動摩擦係數為 0.25。今以 6 .0 牛頓的力沿水平方向推物體，使作加速度運動，當物體移動 5.0 公尺時，此物體的動能約增加多少焦耳？（g = 10 m∕s2） [92.指定科考]

17. F 10 5 t 5 10 例題：質量 1kg 的物体由靜止受固定方向作用力而直進，F - t圖如右圖所示，求 (1) 5→10 秒，此力所施之衝量。 (2) 5→10 秒，此力所作之功。

19. § 7-3 功率 • 功率的定義：作功的速率。 • 功率的單位： • 瓦特（W）= 焦耳∕秒（J∕s）。 • 馬力（hp）= 746 瓦特。

20. 功率的關係式：

21. 例題：質量 2 公斤之物，由靜止開始，落下 5 公尺的瞬間，重力對該物作功之功率為何？整個過程的平均功率為何？（g = 10 m∕s2）

22. 解：船以等速律運動時，輸出功率等於阻力的消耗功率。解：船以等速律運動時，輸出功率等於阻力的消耗功率。 例題：假設一船在水中航行時，所受之阻力和速率成正比。若欲使船速加倍，則所需功率必為原有之： (A)1倍 (B)2倍 (C)4倍 (D)9倍 (E)1∕2倍 [66.日大] 答案：C

23. § 7-4 位能與力學能守恆定律 • 位能： • 位能的意義：物體因所在的位置不同，而使得某一力量對其具有不同的作功能力，即稱為物體具有此力量所對應的位能。 • 位能的特性：當力量對物體作功時與物體移動的路徑無關，只與其前後的位置有關時，才能定義對應的位能，此種力量稱為保守力。非保守力對物體作功的能力與物體移動的路徑有關，物體在不同兩處，非保守力對其作功的能力並沒有固定的差額，因此無法定義對應的位能。 • 位能的種類：在高中階段能定義位能的保守力只有少數幾個，其中有重力、彈力、電力等。

24. 力學能： • 力學能的定義：將物體的動能與位能合稱為力學能。 • 力學能守恆定律：當只有保守力在對物體作功時，則物體的力學能為守恆量。後面將在各種情況下證明力學能守恆定律。 • 保守力作正功，則對應的位能減少，保守力作負功，則對應的位能增加。 • 非保守力所作的功等於力學能的變化量。

25. 1 h1 – h2 2 mg • 地表附近的重力位能： • 重力對物體所作的功：質量為 m 的物體，在地球表面，由高度為 h1處移動到高度為 h2處，重力對其所作的功與路徑無關，只與其前後位置有關，其值為 證明：如右圖，將物體路徑細分成許多小段，每一小段的位移近似直線。將每一小段重力對物體所作的功加總，即得到總功。 這同時也證明了重力對物體所作的功與路徑無關。

26. 重力位能：物體在地表附近時，重力對物體作功的能力與其所在的高度成正比，而與移動的路徑無關。此因物體所在的位置不同而使得重力對其具有不同的作功能力，稱物體具有不同的重力位能。當物體在 h高度時，重力對其所能作的功比物體在 h = 0 的位置時，重力對其所能作的功多了 mgh的值。因此物體在 h高度時，我們說物體具有 mgh的重力位能。以符號 Ug表示 • 力學能守恆定律：物體在地表附近運動，當只有重力對物體作功不為零時，物體的力學能 E保持定值。

27. 1 2 h1 h2

28. 例題：一物體以 5 公尺∕秒的初速及 53o的仰角在水平地面上斜向拋出，試利用力學能守恆定律求： (a) 物體所能達到的最大高度 (b) 物體在 0.5 公尺高度時的速率。 （g = 10m∕s2）

29. 例題：將總長度 L，有質量，不伸長之繩置於水平光滑桌面上。以手按住，使長度 L0的一段下垂，如右圖。鬆手使繩滑下，則繩完全通過桌緣的瞬間，其速率為何？ L0

30. 例題：如右圖，設平面 AB 與圓形曲面 BCD（半徑為 r）均光滑，一質點以初速 自 A 點朝曲面運動（g 為重力加速）。此質點經 B、C、D 各點落回平面 AB 上。問落點與 B 點的距離為何？ D r v0 C A B v

31. v1 R v2 例題：一光滑圓形軌道半徑為 R，軌道平面與水平面垂直。一質點受重力及軌道正向力的作用，在軌道上運動時，其最大速率是最小速率的 6∕5 倍。設重力加速度為 g，則此質點的最小速率為何？ [81.日大]

32. T v mg 60o 例題：一質量為 m之質點附在一質量可略去之長桿一端。該長桿能以其另一端為軸在一垂直面上無摩擦地自由旋轉。若長桿最初靜止於與鉛垂線成 60o角之位置，如圖，則放下後質點落到最低點時長桿之張力為何？ [70.日大]

33. θ0 θ m T v mg 例題：單擺的擺錘質量為 m，擺長為 ℓ，將擺錘向右拉θ0角後，釋放任其擺動，則當擺到與鉛直線成θ角時，試求 (1) 擺錘的速率、切線加速度、法線加速度 (2) 擺線張力。

35. A B 例題：某人由 A 乘坐無動力的小滑車循軌道滑下，希望能夠緊貼著如圖的軌道完成圓圈的打轉而不脫離，假定摩擦可以忽略，圓圈的半徑為 R，則 A 點至少要比 B 點高出多少才行？ [69.日大]

36. R O H 例題：一擺長為 R的單擺懸於牆上 O 點的正下方距離 H 處（H < R）有一水平細桿 O '，細桿垂直進入牆面。今拉擺錘至擺線呈水平後放開（如圖所示），若要擺錘在細桿擋住擺線後，仍能繞細桿作完整的圓周運動，則 H∕R的最小比值應為若干？ [88.日大]

37. A N θ v R mg O 例題：如圖所示，一靜止小物体自半徑 R的固定光滑半球頂端下滑，而自 A 點滑離球體，則 A 點離地多高？

38. m H M 例題：如右圖所示，在水平地面上有一滑車，質量為 M，滑車上有一弧形軌道，軌道底端成水平。有一質量為 m的物體，從軌道頂端沿著軌道自由滑下，則當物體 m滑離軌道底端之瞬間，滑車的速度量值為__________。 [80.日大]

39. x2 x x1 0 F kx1 kx2 x2 x1 x • 彈力位能： • 彈力所作的功：一彈簧在彈性限度內對物體的彈力大小 F，依據虎克定律為 F = kx，k為彈力常數，x為彈簧的伸縮量。如右圖，當物體受到彈力的作用從彈簧的伸縮量為 x1處移動到伸縮量為 x2處時，彈力對其所作的功為 證明：如右上圖，彈力所作的功為 F – x圖中所為面積，

40. 彈力位能：根據上面的結論，一條彈簧對物體作功的能力與其伸縮量有關，伸縮量越大對外作功的能力越多。因此定彈簧處於原長時之彈力位能為零，則當彈簧的伸縮量為 x時，其對外所能作的功即為彈簧的彈力位能，以符號 US表示， • 力學能守恆定律：物體在一直線上運動，當只有彈力對物體作功不為零時，物體的力學能 E為守恆量， 證明：同前，自己練習。

41. k v m 例題：一條彈力常數為 k的彈簧，平放在光滑水平面上，一端固定於牆上。如有質量為 m的木塊以速率 v撞向彈簧的另一端，則彈簧的最大壓縮長度為 __________。 [82.日大]

42. - R 0 R 例題：一彈簧置於一水平光滑平面上，一端固定，另一端連結一木塊作簡諧運動。當木塊離平衡點的位移為最大位移的2∕3 時，其動能為最大動能的 __________倍。 [83.日大]

43. v m1 m2 例題：在光滑水平桌面上，有質量分別為 m1及 m2之兩方塊。m2起初靜止，m1以初速 v 向 m2接近。m2之前端有力常數為 k 之彈簧，彈簧質量可以不計。求在正面彈性碰撞過程中彈簧被壓縮成最短時，其縮短量為若干？

44. d 例題：一圓筒位在水平桌面上，力常數為k的彈簧之一端固定在圓筒的一個端面上、另一端頂著一顆小彈珠，如下圖所示。當彈簧既不被壓縮或伸長時，彈珠的中心剛好位在圓筒的開口端。小明緩緩施水平力於彈珠，使彈簧被壓縮一段距離 d 後放開，使彈珠由靜止被彈出。設圓筒與彈珠的質量分別為 M及 m，且所有摩擦力、彈簧質量及頂著彈珠的平板質量均可不計。 (1) 若圓筒固定，則當彈珠位在圓筒開口 d端時，其相對於 桌面的速率為何？ （以 m，k 及 d 表示） (2) 若圓筒可以自由滑動，則當彈珠位在圓筒開口端時，其 相對於桌面的速率為何？（以 M，m，k 及 d 表示） [94.指定科考]

45. d

46. 原長 x0 0 x • 同時有重力與彈力對物體作功： • 物體在一直線上運動，如同時有且只有重力與彈力對物體作功，則物體的力學能 E為守恆量 鉛直懸掛的彈簧：質量 m的物體，掛在彈力常數為 k的彈簧上，在鉛直方向上作簡諧振盪。在平衡點時物體受到的合力為零，因此在平衡點時，彈簧的伸長量如為 x0 釋放點必為簡諧振盪的其中一個端點。因此釋放點與平衡點的距離即為簡諧振盪的振幅 R。

47. 原長 x0 0 x 物體相對於平衡點的位移如為 x ，則物體受到的合力 F，若令向下為正，則 即如以相對於平衡點來計算彈簧的伸長量時，物體相當於只受到彈力的作用，因此考慮物體的力學能時，無需計算重力位能，即力學能 E可寫成 其中 x為彈簧相對於平衡點的伸縮量。 因此物體掛在彈簧上作鉛直方向的簡諧振盪與水平方向的簡諧振盪的差別就在平衡點的位置不同。

48. 30o 例題：一彈力常數為 98牛頓∕公尺，原長 2 公尺，質量可以忽略之彈簧，置於與水平面成角之光滑斜面的底部。若有一質量為 40 公克之靜止鋼塊自斜面頂端沿斜面滑落後，最多將此彈簧壓縮 20 公分。 (1)試問鋼塊在到達最低點時在斜面上所滑行的距離為何？ (2)滑行過程中，鋼塊初接觸彈簧時的速率為何？ [85.夜大]

49. Δx 1m 例題：一條質輕的線性彈簧，彈力常數為 100 牛頓∕公尺，一質量 4 公斤的小球，置於彈簧上端並下壓 1 公尺後放手，則小球上彈的最大位移 Δx為若干？（g = 10 m∕s2）

50. 例題：某人持一長度為 ℓ，質量為 m，密度均勻之細鐵鍊，令鐵鍊之下端輕觸一彈簧秤盤﹙如圖﹚，設彈簧秤之彈力常數為 k。今將此鐵鍊放開令其自由墬下落於秤盤中。如秤盤、彈簧之質量均可不計，所生的熱能亦可略去，且彈簧遵守虎克定律，則秤盤下沉之最大位移為何？