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《 数值线性代数 》 课件

《 数值线性代数 》 课件. 河南师大数学与信息科学学院. 本章讨论解线性方程组. 古典迭代解法。. 第四章 线性方程组迭代解法. 主要内容包括： 雅可比 (Jacobi) 迭代法 高斯 - 赛德尔 (Gauss-Seidel) 迭代法 超松驰 (SOR) 迭代法. 单步线性定常迭代算法. 雅可比 (Jacobi) 迭代法. 雅可比迭代法的分量形式. 雅可比迭代程序设计. 编制计算程序时 , 应注意以下几个问题 :. 算法的实现. 算法的终止. 程序设计. 点击对象展开程序. 高斯 - 赛德尔 (Gauss-Seidel) 迭代法.

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《 数值线性代数 》 课件

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  1. 《数值线性代数》课件 河南师大数学与信息科学学院

  2. 本章讨论解线性方程组 古典迭代解法。 第四章 线性方程组迭代解法 • 主要内容包括： • 雅可比(Jacobi)迭代法 • 高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法 • 超松驰(SOR)迭代法

  3. 单步线性定常迭代算法

  4. 雅可比(Jacobi)迭代法

  5. 雅可比迭代法的分量形式

  6. 雅可比迭代程序设计 编制计算程序时,应注意以下几个问题: • 算法的实现 • 算法的终止 • 程序设计 点击对象展开程序

  7. 高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法

  8. G-S迭代法的分量形式

  9. G-S迭代程序设计 编制计算程序时,应注意以下几个问题: • 算法的实现 • 算法的终止 • 程序设计 点击对象展开程序

  10. 超松驰(Successive Overrelaxation)迭代法

  11. SOR迭代法的分量形式

  12. G-S迭代程序设计 编制计算程序时,应注意以下几个问题: • 算法的实现 • 算法的终止 • 程序设计 点击对象展开程序

  13. 则于(3.4)两端取极限有： 上式说明： 是解向量,从而当k充分大时 解向量 (1)叫简单迭代法,B叫迭代矩阵。 注意: 迭代阵B不唯一,影响收敛性。 2.收敛性. 定义3.3 称 为矩阵B的谱半径。 定理3.3 简单迭代法

  14. 定理3.4

  15. 收敛列解 (i=1,2,…,n) 即 =0, 例3.2 设有方程组( 其中　　　 ) Ax=b,即 (3.5) 作等价变形 (3.6)

  16. 于是有迭代公式 (3.7) (k=0,1,2,…) ----------Jacobi迭代法

  17. 矩阵形式为：

  18. (3)设方程组（3.5）的系数矩阵A按行严格对角占优即： (3)设方程组（3.5）的系数矩阵A按行严格对角占优即： 或按列严格对角占优，即 二、 迭代法 设有简单迭代法 即 (3.8)

  19. 称如下迭代法 (3.9) 为与(3.8)对应的 迭代法，其迭代矩阵 可用 “代入法”求得。

  20. 迭代法(3.9)的收敛性 （1） 迭代法(3.9)对任意 收敛 （2）若 则 迭代法(3.9)对 任意 收敛； （3）若简单迭代法(3.8)的迭代矩阵 满 足 或 ，则相应的Seidel迭代法 (3.9)对任意 收敛（证略）

  21. 例3.3 迭代方法 （3.10） 称为与Jacobi迭代法（3.7）对应的Seidel方法, 其收敛情况如下： (1)使用一般的Seidel方法（3.9）的收敛性判别法 (2)若系数矩阵A对称正定，则求解方程组（3.5）的 与Jacobi迭代法对应的Seidel方法（3.10）对任意 收敛。 （证略）

  22. (3)若系数矩阵A按行（或按列）严格对角占优，则(3)若系数矩阵A按行（或按列）严格对角占优，则 求解（3.5）的与Jacobi方法对应的Scidel方法 （3.10）对任意 收敛. （练习） 三.逐次超松弛迭代法(SOR法) —松弛因子, =1 即Seidel方法(3.10) (3.11)是一种加权平均。

  23. SOR方法的收敛性如下（不加证明）： (1)SOR方法对任意 都收敛的必要条件是： (2)若系数矩阵A对称正定，则 时SOR方法 求解 对任意 收敛； (3)若系数矩阵A按行（或按列）严格对角占优， 则 时SOR方法对任意 收敛。 最佳松弛因子 选取问题。

  24. 例3.4 用Seidel迭代法求解方程组 取初始向量 ,要求 时迭代终止。 解：因为系数矩阵严格对角占优，故Seidel方 法对任意 收敛。 Seidel迭代格式为

  25. 计算结果可列表如下 注意：未必Seidel方法一定比Jacobi方法好。

  26. 基本要求： 1 熟悉简单迭代法及其收敛条件的使用； 2 熟悉Jacobi迭代法及其相应的Seidel迭代法的 计算公式以及它们的收敛条件； 3熟悉SOR方法的计算公式及其收敛条件； 作业： 作业集(A) 第三章 4，5，6，7

  27. 数值代数 复习： 线代： 1.定义：若 则 叫A的特征 值， 叫其相应的特征向量。 说明 还是特征向量。 2.求法 十分困难;应寻求近似解法,且简单、 可行、有效。 第四章 矩阵特征值和特征向量计算

  28. §4.1乘幂法与反幂法 一．乘幂法——求A的主特征值（按模最大者）及 其相应的特征向量 设A的特征值 特征向量 （假定线形无关）

  29. 有算法： 说明:

  30. 6.几何解释

  31. 解：

  32. 二．反幂法——求A的按摸最小的特征值。 设A可逆，由

  33. §4.2 Jacobi旋转法 对实对称矩阵A的全部特征值及特征向量 ——Jacobi旋转法 基本思想： 求一般矩阵全部特征值和特征向量的QR方法 ——参考书。

  34. 基本要求： 1. 熟悉特征值和特征向量的定义； 2. 熟悉乘幂法求主特征值的计算过程； 3.了解反幂法的思路； 作业： 作业集（A）第四章 1.

  35. 数值代数 第五章 插值法

  36. 注:不用待定系数法 --- (1)计算量大;(2)不易讨论误 差; 二次多项式插值 --- 过两点直线; 三次多项式插值 --- 过三点抛物线; 3. 几何意义

  37. §5.1 Lagrange插值公式 一. 插值基函数.

  38. 二.Lagrange插值多项式

  39. 三 截断误差：

  40. §5.2Newton插值公式 一．差商 1.定义

  41. 3.造差商表(实用)

  42. 二．Newton插值公式

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