1 / 27

Современные вычислительные методы для амплитуд рассеяния в калибровочных теориях

Современные вычислительные методы для амплитуд рассеяния в калибровочных теориях. Л.В.Борк Институт Теоретической и Экспериментальной Физики (ИТЭФ). MEPHi L. Bork Moscow 2012. amplitudes. Введение. Типичными наблюдаемыми в Ф.В.Э. являются сечения рассеяния.

yan
Download Presentation

Современные вычислительные методы для амплитуд рассеяния в калибровочных теориях

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Современные вычислительные методы для амплитуд рассеяния в калибровочных теориях Л.В.Борк Институт Теоретической и Экспериментальной Физики (ИТЭФ) MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  2. Введение. • Типичными наблюдаемыми в Ф.В.Э. являются сечения рассеяния. 2/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  3. Введение. • Сечения рассеяния обычно определяются как: где: Квадрат модуля амплитуды рассеяния Ф-ция измерения Lorentz Invariant Phase Space Функция измерения определяет какую именно наблюдаемую мы рассматриваем. Например: Ellis, Kunszt, Soper 89 3/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  4. Амплитуды рассеяния в калибровочных теориях. • Основными ингредиентами С.М. являются не абелевы калибровочные теории и «эффект Хигса». Импульсы частиц Спиральности («поляризации») частиц Константа(ы) связи Квантование в рамках теории возмущений (Т.В.) (фиксация калибровки, Духи Фадеева-Попова, BRST, формализм Баталина-Вилковского и т.д.) Фейнмановские правила (диаграммы) Вычисление амплитуд по Т.В. 4/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  5. Фейнмановские правила в SU() QCD. Спектр частиц: (g,q, c). Структурные константы SU() Калибровочной группы , , 2*3 2*4 5/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  6. Отступление о Т.В. в QCD. «Жесткая» (hard) часть процесса «Мягкая» (soft) часть процесса QCD в D=4 является асимптотически свободной теорией. Только «жесткая» (малые расстояния, больше импульсы) часть процесса м.б. описана Т.В. Спектр Т.В. и «физических» частиц отличается (кварки, глюоныVS адроны и т.д.). Электрослабый сектор С.М. таких особенностей не имеет. 6/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  7. Стандартные методы вычисления амплитуд. Стандартный алгоритм вычисления амплитуды рассеяния: Перемножить «лоренцевы структуры» в числителях диаграмм Нарисовать все возможные диаграммы Свести все интегралы к базисным (редукция Вельтмана-Пассарино) PassarinoVeltman 79 Вычислить базисные интегралы Пример диаграмм для LO и NLO вкладов в 4-глюонную амплитуду рассеяния: 7/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  8. Пример разложения по базисным интегралам для NLO амплитуд в QCD. Для QCD в NLO порядке ТВ разложение по базисным интегралам имеет вид: 8/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  9. Редукция Вельтмана-Пассарино. Отступление о размерной регуляризации. Пример сведения «тензорного» интеграла к базисным: Для определения входящих в предыдущее равенство интегралов их надо регулярезовать. Будем пользоваться размерной регуляризацией(t’Hooft): Где будем считать, что и т.д. и Тогда например: 9/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  10. Результаты применения стандартных методов. Для LO амплитуд число диаграмм зависит от числа внешних импульсов (частиц) n как: ManganoParke 90 Рассмотрим для примера 6-глюонную амплитуду: После перемножения всех векторов поляризации, пропагаторов и вершин мы найдем, что ответ имеет вид: 10/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  11. Результаты применения стандартных методов. From 11/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  12. Результаты применения стандартных методов. • Выражения получаемые методами обычной ТВ зачастую чрезвычайно сложны. • Причина этого, в частности, в том что обычная ТВ (фейнмановские диаграммы) не является явно калибровочно инвариантной. • Каждая фейнмановская диаграмма не является калибровочно инвариантной и может описываться достаточно сложным выражением, в то время как калибровочноинвариантная амплитуда (сумма диаграмм) может быть записана в достаточно компактном виде. • Нужны методы реорганизации ряда ТВ. 12/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  13. Цветовая декомпозиция (colour decomposition). Парциальные упорядоченные по цвету амплитуды (colour ordered partial amplitudes). Используя определения «цветовой фактор» (colour factor)каждой диаграммы можно представит в виде: Что позволяет переписать амплитуду рассеяния как: Rev. in BernDixonKosower 96 Парциальная упорядоченная по цвету амплитуда Физическая амплитуда Все возможные не Циклические перестановки Для упорядоченной по цвету прациальной амплитуды фейнмановские правила упрощаются (только «планрные» диаграммы). Парциальные амплитуды калибровочно инварианты и имеют более простую аналитическую структуру (полюса в виде сумм только соседних импульсов). 13/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  14. Формализм «спиральных спиноров»(spinorhelicity formalism). Любой светоподобный импульс можно представить в виде: Rev. in BernDixonKosower 96 В данных обозначениях «Вектора поляризации» могут быть записаны в виде: Удобна следующая классификация амплитуд: 14/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  15. BCFW рекуррентные соотношения. Рассмотрим следующую «замену переменных»: (2-частичный BCFW сдвиг) BrittoCachazoFengWitten 05 Тогда получаем и если: то : Вычисление вычетов дает в итоге: 15/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  16. Пример решения BCFW рекуррентных соотношений для MHV сектора. Далее по индукции тривиально доказывается: Амплитуда Парки-Тейлора (MHV сектор) ParkeTalor 86 Так-же не сложно показать что, например: и 16/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  17. BCFW рекуррентные соотношения. Возвращаясь к рассмотренному выше примеру с 6-глюонной амплитудой: Vs Все остальные спиральные конфигурации или равны 0 или получаются из исходных к.с.: 17/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  18. Петлевые амплитуды. Метод унитарных разрезов (unitarity cuts). Оптическая теорема: В рамках ТВ мы имеем, например: Вычисление вычетов в полюсах пропагаторов эквивалентно замене их числителей на дельта ф-ции (правило Кутковского). Rev. in BernDixonKosower 96 Дисперсионные соотношения: 18/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  19. Петлевые амплитуды. Метод унитарных разрезов (unitarity cuts). Произведение древесных амплитуд Вычеты в полюсах пропагаторов Набор базисных Скалярных интегралов и коэффициентов перед ними Например в одной петле в QCD: 19/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  20. Петлевые амплитуды. Метод унитарных разрезов (unitarity cuts). Пример. Rev. in BernDixonKosower 96 Аналогичные вычисления В t-канале дают: Например рассмотрим s-канальный вклад: 20/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  21. Обобщенная унитарность (generalized unitarity). «Чем больше разрезов тем лучше». Дополнительные разрезы позволяют изолировать коэффициент перед конкретным скалярным интегралом. Например: BrittoCachazoFeng 04 Применение данных методов не ограничивается NLO приближением. Они могут быть Использованы и в «старших петлях». Важно заметить, что фиксация калибровки, Духи Фадеева-Попова, BRST, формализм Баталина-Вилковскогои т.д. в данном подходе к построению т.в. НЕ нужны! 21/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  22. Суперсимметричная декомпозиция.D=4 Vs D=4-2. А как быть с рациональными вкладами, которые потенциально могут возникнуть ? Rev. in BernDixonKosower 96 В размерное регулярезации амплитуда не содержит чисто рациональных вкладов. Но только в D=4-2. Формализм спиральных спиноров определен только в D=4. Нам нужна размерная редукция (Four Dimensional Helisityсхема). Теории с суперсимметрией не содержат рациональных вкладов и в D=4: D=4-2 D=4 22/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  23. Примеры результатов. QCD. 1. 4-ех глюоннаяNLO --++ амплитуда: 2. «аномальная» UV и IR конечная NLO ++++ амплитуда: Не имеет разрезов в D=4, может быть восстановлена По своим аналитическим свойствам вD=4-2 Brandhuber&Co 05 23/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  24. N=4 SYM Точно решаемая модель КТП в D=4 ? • N=4 Максимально суперсимметричная теория Янга-Миллса (N=4 SYM)очень особенная калибровочная теория в D=4 пространстве времени. • Это теория с наибольшей возможной суперсимметрией не включающая гравитацию (состав полей теории – 1 векторное поле, 4 майрановских спинора, и 3 комплексных скаляра. Все поля в присоединенном представлении калибровочной группы ( SU(N) ). Все поля безмассовые.) • N=4 SYM является конформно инвариантной теорией как на классическом так и на квантовом уровне ( – нет UV расходимостей ). • Было обнаружено благодаря развитию вычислительных методов для амплитуд и фейнмановских интегралов, что помимо (супер)конформной симметрии N=4SYM обладает, по видимому, бесконечномерной симметрией определяемой Янгиан (Yangian) алгеброй («Янгиан симметрия»). • Ожидается, что эта бесконечномерная симметрия+ дуальное описанииN=4 SYMв терминах теории струн (AdS\CFT) полностью зафиксирует амплитуды (S-матрицу) теории. • N=4 SYM – первая не тривиальная точно решаемая КТП в D=4 ? 24/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  25. N=4 SYM Точно решаемая модель КТП в D=4 ? • На основании прямых вычислений было высказано предположение, что MHVамплитуды имеют итерационную структуру (BernDixonSmirnov 05): В дальнейшем эта гипотеза была подтверждена, а существование точного ответа для части MHV сектора теории было осознано как следствие новой (бесконечномерной) симметрии (Yangian). Функция конформных отношений кинематических инвариантов NLO ответ Касповаяаномальная Размерность (cusp anomalous dimension) Коллинеарная аномальная размерность Для n=4,5 «BDS экспонента» дает ТОЧНЫЙ ответ для амплитуды рассеяния. На касповую аномальную размерность существует интегральное уравнение. 25/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  26. Примеры результатов. N=4 SYM Точно решаемая модель КТП в D=4 ? Базис скалярных интегралов для n=4 в NLO, NNlOи NNNLO порядках ТВ в N=4 SYM: Примеры скалярных интегралов и типов разрезов в «4-ех петлях»: 26/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

  27. То что осталось «за бортом».Вместо заключения. • Дуальность между Вильсоновскими петлями и амплитудами в N=4 SYM (KorchemskyDrummondSokatchev 07). • От спиральных спиноров к моментным Твисторам (momentum twistors) – новые переменные для описания амплитуд(Hoges 09). • Рекуррентные соотношения для подынтегральных выражений (integrands) для петлевыхамплитуд в N=4 SYM (Arkani-Hamed&Co 10). • Интегро-дифференциальное уравнение на конечные части амплитуд в N=4 SYN, Янгиан (Yangian) симметрия (Beisert&Co 08). • «Квантовая гравитация» и UV конечность N=8 SUGRA (BernDixon 05). • Методы унитарности для теорий со спонтанно нарушенной симметрией (массивные частицы) и для корреляционных функций (формфакторы) (Evlang&CoKazakovVartanovBork 11). • Многопетлевые вычисления в N=4 SYM и QCD (Dixon&Co 02). • … 27/ 27 MEPHiL. Bork Moscow 2012 amplitudes

More Related