هندسه درفضا

1. عنوان هندسه فضایی هندسهدرفضا آشنایی با شکل‏های فضایی

2. مقدمه: مقدمه تجسم فضایی • درک بهتر هندسه فضایی، نیاز به قدرت تجسم بالایی دارد. • اما چه کنیم که چنین قدرتی پیدا کنیم؟ • 1) سه بعدی ببینید، سه بعدی بیاندیشید و تصور کنید. • به این مثال‏ها توجه کنید:

3. مقدمه تجسم فضایی • به نظر شما این زاویه چند درجه است؟

4. مقدمه تجسم فضایی • به نظر شما این شکل چیست؟

5. مقدمه تجسم فضایی • این مکعب را به دو صورت تصور کنید:

6. مقدمه تجسم فضایی 2) در رسم اشکال فضایی دقت کنید که از علائم استاندار آن استفاده کنید.

7. مقدمه تجسم فضایی 3) با تجسم بیشتر و بهتر، قدرت تجسم خود را بالا ببرید. • به نظر شما این شکل چیست؟ تصویر از بالا تصویر از جلو تصویر از چپ تصویر از جلو تصویر از چپ تصویر از بالا

8. مقدمه تجسم فضایی • به نظر شما این شکل چیست؟ تصویر از جلو تصویر از چپ تصویر از بالا تصویر از جلو تصویر از چپ تصویر از بالا

9. مقدمه تجسم فضایی • به نظر شما این شکل چیست؟ تصویر از جلو تصویر از چپ تصویر از بالا تصویر از جلو تصویر از چپ تصویر از بالا

10. مقدمه تجسم فضایی • به نظر شما این شکل چیست؟ تصویر از جلو تصویر از چپ تصویر از بالا تصویر از جلو تصویر از چپ تصویر از بالا

11. مقدمه تجسم فضایی • به نظر شما این شکل چیست؟ تصویر از جلو تصویر از چپ تصویر از بالا تصویر از جلو تصویر از چپ تصویر از بالا

12. مقدمه تجسم فضایی • به نظر شما این شکل چیست؟ تصویر از جلو تصویر از چپ تصویر از بالا تصویر از جلو تصویر از چپ تصویر از بالا

13. تعریف فضا • تعریف فضا: فضا مجموعه‏ تمام نقاط را فضا می‏نامیم. • تعریف نقاط هم‏خط: نقاطی که خطی وجود داشته‏باشد که شامل تمامی آن نقاط گردد. • تعریف نقاط هم‏صفحه: نقاطی که صفحه‏ای وجود داشته‏باشد که شامل تمامی آن نقاط گردد.

14. اصل خط فضا • اصل 1 (اصل موضوع خط) : • به ازای هر دو نقطه متمایز تنها یک خط وجود دارد که از آنها می‏گذرد. • اصل 1، دو مطلب مهم را بیان می‌کند: • الف) یک خط وجود دارد، که آن خط، از دو نقطه مفروض متمایز، می‌گذرد. • (دو نقطه متمایز یک خط را مشخض می‏کند) • ب) این خط یکتا است.

15. قضیه: • اگر دو خط یکدیگر را قطع کنند، اشتراکشان تنها یک نقطه است. X

16. اصل 2: از هر سه نقطه متمایز ناهم‏خط در فضا، یک و تنها یک صفحه، می‌گذرد. اصل 2 فضا • اصل 2، دو مطلب مهم را بیان می‌کند: • الف) یک صفحه وجود دارد، که آن صفحه، از سه نقطه مفروض غیرواقع بر یک خط، می‌گذرد. • ب) این صفحه یکتاست. یعنی، اگر دو صفحه P1 و P2 از ســه نقطه غیرواقع بر یک خط، مانند A، B و C بگذرند، این دو صفحه حتماً بر هم منطبق می‌شوند. پس در واقع، یکی هستند.

17. اصل 3 و 4 فضا • اصل 3: در هر صفحه حداقل سه نقطه وجود دارد که بر یک خط قرار ندارند. • اصل 4: حداقل چهار نقطه در فضا وجود دارد که بر یک صفحه قرار ندارند. به عبارتی دیگر...

18. اصل 5 فضا تمرین :ثابت کنید خارج از هر صفحه حداقل یک نقطه وجود دارد. • اصل 5: اگر دو نقطه متمایز از خطی، در یک صفحه باشند، آن خط به تمامی در آن صفحه قرار می‌گیرد.

19. تذکر فضا تذکر: خط از هر دو طرف نامحدود است. صفحه از همه طرف نامحدود می‌باشد، بنابراین، طبیعی است که تمام صفحه را نمی‌توان در یک تصویر، نشان داد و آن چه که مشاهده می‌شود تنها بخشی از صفحه است.

20. وضعیت دو صفحه نسبت به هم، در فضا اصل 6 فضا • اصل 6: اگر دو صفحه متمایز یک نقطه مشترک داشته باشند، آنگاه در یک خط، مشترک خواهند بود. • به عبارت دیگر فصل اشتراک دو صفحه متقاطع یک خط راست است.

21. دو صفحه در فضا، نسبت به هم، سه وضعیت دارند: دو صفحه فضا 1) بر هم منطبق هستند. 2) هیچ نقطه مشترکی ندارند. • 3) در یک خط مشترک هستند. در دو وضعیت (1) و (2)، دو صفحه را موازی و در وضعیت (3)، دو صفحه را متقاطع می‌نامند.

22. فصل مشترک فضا • محل تقاطع دو صفحه، فصل مشترک آن دو صفحه نامیده می‌شود. • از یک خط، بیشمار صفحه می‌گذرد.

23. وضعیت دو خط نسبت به هم، در فضا دو خط فضا 1) دو خط در فضا را که در یک صفحه قرار نمی‌گیرند، دو خط متنافر می‌نامیم. تذکر: متقاطع نبودن دو خط در فضا به معنای موازی بودن آنها نیست. 2) دو خط در فضا را که در یک صفحه باشند و همدیگر را قطع نکنند، یا بر هم منطبق باشند، دو خط موازی می‌نامیم. 3) دو خط در فضا را که فقط یک نقطة مشترک داشته باشند، دو خط متقاطع می‌نامیم. بنابراین: دو خط در فضا نسبت به هم، یا متنافرند، یا متوازی‌اند و یا متقاطع.

24. دو خط تمرین D H • تمرین: با توجه به این اشکال، به سؤالات زیر پاسخ دهید. A E E F G F C B C D E B A B A D C الف) وضعیت دو خط AB و EH نسبت به هم، در مکعب مستطیل چگونه است؟ • وضعیت دو خط AB و CD نسبت به هم، در منشور چگونه است؟ • وضعیت دو خط AB و AD نسبت به هم، در هرم چگونه است؟

25. دو خط تمرین D H A E E F G F C B C D E B A B A D C ب) در مکعب مستطیل دو خط متنافر با خط AB بیابید. • در منشور دو خط موازی با خط AE بیابید. • در هرم چند خط متقاطع با خط AB می‌توانید بیابید؟

26. دو خط تمرین D H A E E F G F C B C D E B A B A D C پ) جاهای خالی را با کلمات مناسب پر کنید. • 1) در مکعب مستطیل، خط FG و خط ............ موازیند. • 2) در مکعب مستطیل، خط ............ و خط BC متقاطعند. • 3) در منشور،‌خط AE و خط ........... متنافرند.

27. دو خط تمرین D H A E E F G F C B C D E B A B A D C • 4) در منشور، خط DF و خط AC .............. • 5) در منشور، خط DC و خط ............. موازی است. • 6) در هرم، خط AC و خط ............... متنافرند.

28. توازی اصل7 • اصل توازی اقلیدس اصل 7: از هر نقطه خارج یک خط در فضا، یک و تنها یک خط به موازات آن خط می‌گذرد. بازگشت به قضیه3

29. توازی اصل7 اصل 7، دو مطلب مهم را بیان می‌کند: • 1) یک خط وجود دارد، که آن خط، از یک نقطه مفروض، به موازات یک خط مفروض می‌گذرد. • 2) این خط یکتاست. یعنی، اگر دو خط L1 و L2 از نقطه‌ای مانند A به موازات خطی مانند L بگذرند، این دو خط حتماً بر هم منطبق می‌شوند. پس در واقع، یکی هستند. A L2 L1 L

30. تعیین صفحه مشخص کردن صفحه در فضا به طور کلی، صفحه به صورتهای زیر مشخص می‌شود: 1) از هر سه نقطه غیرواقع بر یک خط، یک و تنها یک صفحه می‌گذرد. 2) از یک خط و یک نقطه خارج آن، یک و تنها یک صفحه می‌گذرد. چرا؟

31. تعیین صفحه 3) از دو خط متقاطع، یک و تنها یک صفحه می‌گذرد. چرا؟ 4) از دو خط متمایز موازی، یک و تنها یک صفحه می‌گذرد. چرا؟

32. فضا خط و صفحه وضعیت خط و صفحه نسبت به هم، در فضا پیش از این گفته شد: اگر دو نقطه متمایز از خطی در صفحه‌ای باشد، آن خط به تمامی در آن صفحه خواهد بود. در نتیجه،‌اگر خطی در صفحه‌ای قرار نداشته باشد، یا آن را قطع نمی‌کند،‌یا فقط در یک نقطه قطع می‌‌کند. (چرا؟) بنابر این:

33. فضا خط و صفحه خط و صفحه در فضا، نسبت به هم، یکی از سه وضعیت زیر را دارند: 1) خط صفحه را قطع نمی‌کند؛ 2) خط به تمامی، در صفحه قرار می‌گیرد؛ 3) خط و صفحه، در یک نقطه همدیگر را قطع می‌کنند. در دو وضعیت (1) و (2)، خط و صفحه با هم موازی هستند و در وضعیت (3)، خط و صفحه با هم متقاطع هستند.

34. خطها و صفحه‌های موازی فضا خط و صفحه موازی بودن یک خط و صفحه در دو حالت رخ می‌دهد: الف) خط و صفحه، هیچ نقطه اشتراکی ندارند، در نتیجه خط در صفحه قرار ندارد. ب) خط به تمامی در صفحه قرار دارد. تذکر: برای اثبات قضیه‌های مربوط به توازی خط و صفحه، باید هر دو حالت توازی در نظر گرفته شود.

35. قضیه 1: اگر خط L با صفحه P موازی باشد، هر صفحه که از L بگذرد و با P متقاطع باشد، P را در یک خط موازی L قطع می‌کند. فضا خط و صفحه برهان: برای اثبات این قضیه، دو حالت موازی بودن یک خط و صفحه در فضا را به تفکیک، در نظر می‌گیریم: L P` الف) خط L در صفحه P قرار ندارد. فرض کنید P` صفحه‌ای گذرنده از L باشد که P را در خط L` قطع کند. L` P بازگشت به قضیه3

36. فضا خط و صفحه L و L` هر دو در صفحه P` هستند و همدیگر را قطع نمی‌کنند. زیرا از متقاطع بودن L وL` نتیجه می‌شود که خط L صفحه P را قطع می‌کند، که این خلاف فرض است. L بنابراین، دو خط L و L` هر دو، در صفحه P` هستند و همدیگر را قطع نمی‌کنند، پس با هم موازیند. P` P L`

37. فضا خط و صفحه ب) خط L در صفحه P قرار دارد. در این حالت هر صفحه متمایز از P که از L می‌گذرد،‌ صفحه P را در همان خط L قطع می‌کند. پس حکم ثابت می‏شود. P`` P` P``` L` P L

38. فضا خط و صفحه نتیجه1: اگر خطی با صفحه‏اي موازی باشد، با خطهای بیشماری از آن صفحه موازی است. نتیجه2: L اگر خطی با صفحه‌ای موازی باشد، حداقل با یکی از خطهای آن صفحه موازی است. P` L` P بازگشت به 48

39. فضا خط و صفحه قضیه 2: اگر خط L با یکی از خطهای صفحه P موازی باشد، آنگاه، خط L با صفحه P موازی است. برهان: اگر خط L در صفحه P باشد حکم قضیه برقرار است. پس فرض کنید خط L در صفحه P قرار ندارد. L L`,L P

40. فضا خط و صفحه اگرL` خطی از صفحه P باشد که با L موازی است، L و L` متمایزند. صفحه‌ای را که از این دو خط موازی می‌گذردP` می‌نامیم. L P` فصل مشترک دو صفحه P وP` همان خطL` است. P L`

41. فضا خط و صفحه اگر خط L صفحه P را قطع کند محل تقاطع روی فصل مشترک این دو صفحه قرار دارد، یعنی دو خط L وL` متقاطع خواهند شد. که این خلاف فرض است. پس خط L صفحه P را قطع نمی‌کند و با آن موازی است. L L P` P L`

42. فضا خط و صفحه از این دو قضیه، نتیجه مهم زیر به دست می‌آید: شرط توازی خط و صفحه: خط L با صفحه P موازی است، اگر، L با یکی از خطهای صفحه P موازی باشد و بالعکس. L P L`

43. فضا خط و صفحه قضیه 3:‌ اگر خط L با صفحه P موازی و A نقطه‌ای از صفحه P باشد آنگاه، خطی که از A به موازات L رسم می‌شود، به تمامی در صفحه P قرار دارد. L راهنمایی: این مطلب، نتیجه‌ای از قضیه 1 و اصل توازی اقلیدس است. P` A P L` بازگشت به 47 بازگشت به نتیجه2 بازگشت به 48

44. فضا خط و صفحه مسأله: از نقطه A خارج صفحه P، خطی موازی P رسم کنید. حل:‌ • در صفحه P، یک خط دلخواه L رسم کنید. A L` • از نقطه A، خطL` را موازی L بگذرانید. • L` با یکی از خطهای صفحه P موازی است، بنابراین: P L خطL` با صفحه P موازی است.

45. فضا خط و صفحه تمرین ـ چند خط می‌توان از یک نقطه مفروض موازی یک صفحه مفروض گذراند؟ A P نکته: اگر دو خط با خط دیگری موازی باشند، آن دو خط با هم موازیند.

46. فضا خط و صفحه • قضیه ( نتیجه2 از قضیه3 ): اگر خطی با دو صفحه متقاطع، موازی باشد،‌ با فصل مشترک آنها موازی است. L` برهان : L • فرض کنید خط L موازی دو صفحه متقاطع P وP` باشد. A • از یک نقطه فصل مشترک مانند A، خطL` را موازی L رسم می‌کنیم. • چون خط L با صفحه P موازی است،‌ خطL` به تمامی در صفحه P قرار دارد. P P` • با استدلال مشابه خطL` به تمامی در صفحه P` قرار دارد. • پس، L` همان فصل مشترک دو صفحه P وP` است که با خط L نیز موازی است و حکم، نتیجه می‌شود.

47. فضا خط و صفحه چند ویژگی از خطها و صفحه‌های موازی در هندسه مسطحه دیدیم، که اگر خطی یکی از دو خط موازی را قطع کند، دیگری را هم قطع می‌کند. L L` نتیجه 1: ‌اگر صفحه‏اي‌یکی از دو خط موازی را قطع کند،‌دیگری را هم قطع می‌کند. P A A` با برهان خلف شروع کنید و از قضیه3 استفاده کنید

48. فضا خط و صفحه نتیجه 2: اگر خطی یکی از دو صفحه موازی را قطع کند، دیگری را هم قطع می‌کند. L P A A` P` با برهان خلف شروع کنید و از و نتیجه2 از قضیه1 و قضیه3 استفاده کنید

49. فضا خط و صفحه نتیجه 3: اگر صفحه‌ای یکی از دو صفحه موازی را قطع کند، دیگری را هم قطع می‌کند و فصل مشترکها با هم موازیند. فرض کنید P``با P در خط l متقاطع باشد. حال یک خط در P`` در نظر بگیرید که در یک نقطه با l در تقاطع است. برهان: P`` P در این صورت این خط عملا صفحه P را قطع می‏کند. پس طبق نتیجه2 ، صفحه موازی با P یعنی P` را نیز قطع می‏کند. در نتیجه واضح است که صفحه P`` نیز P را قطع می‏کند. P` L L` بازگشتبه تمرین ص53

50. فضا خط و صفحه قضیه: اگر دو صفحه موازی باشند،‌ هر خط از یکی از این دو صفحه، با صفحه دیگر موازی است. L P P`