§4-1 磁感应强度与毕奥-萨瓦定律 §4-2 磁通及其连续性原理 §4-3 真空中的安培环路定理 §4-4 非真空媒质中的安培环路定理

1. 第四章 恒 定 磁 场 §4-1 磁感应强度与毕奥-萨瓦定律 §4-2 磁通及其连续性原理 §4-3 真空中的安培环路定理 §4-4 非真空媒质中的安培环路定理 §4-5 两媒质交界面上磁场的边界条件 §4-6 磁场中的两个基本定理的微分形式 §4-7 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程 §4-8 磁场的矢量磁位及泊松方程 §4-9 磁场的镜象法 §4-10 自感及其计算 §4-11 互感及其计算  §4-12 载电流回路系统的磁场能量及其分布 §4-13 磁场力的计算

2. §4-1 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律 一、磁感应强度 1. 磁场—— 存在于载流回路或永久磁铁周围空间的能对运动电荷施力的客观存在。 2. 磁感应强度——运动的单位正点电荷在场中某点以单位速度向与磁场垂直方向运动时，所受的最 大磁场力。

3. 导线中的电流为运动电荷所形成 磁场中载流微小线元的受力 国际单位制中，磁感应强度的单位特（T），1T＝1Wb/m2 仿恒定磁场的磁感应强度线，使磁场形象化，磁感应线 磁感应强度矢量的定义式与前一式等效 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律

4. 二、毕奥－萨瓦定律(实验定律) 微小载流线元 在无限大空间某点所产生的磁感应强度为 为线元至被研究点之距离 为线元指向被研究点方向上的单位矢量 μ0表示媒质为真空时的磁导率 其值为4π×10–7H/m。 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律

5. 闭合载流回路在空间某点所产生的磁感应强度 μ为空间媒质的磁导率，在通常情况下，也引用媒质的相对磁导率μr (=μ／μ0) 。除铁磁物质（铁、钴、镍等）以外的其它物质的磁导率均相差无几。 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律

6. 例4-1:真空中长度为2L的细直导线通有电流I，试确定直线外任一点P的磁感应强度。例4-1:真空中长度为2L的细直导线通有电流I，试确定直线外任一点P的磁感应强度。 解: 在细直导线上截取电流元，它在点P（r，α，z）的磁感应强度dB的大小 dB的方向由 确定 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律

7. R=r cscθ l=z－rctgθ dl=r csc2θdθ 说明：θ1和θ2分别是细直导线两端电流元方向与其到场点的矢径方向之间的夹角；r为场点到直导线的垂直距离。 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律

8. 对于距无限长直细导线的垂直距离相同的各场点，磁感应强度的大小相同。对于距无限长直细导线的垂直距离相同的各场点，磁感应强度的大小相同。 讨论： 1 、对应于不同的坐标α，只要场点的坐标r、z相同，则磁感应强度B的大小相同而方向不同。 2、当导线为无限长时，θ1→0，θ2→π，则 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律

9. b I R α P a I P 练习：分别求出图示各种形状的线电流在真空中所产生的磁感应强度。 解： 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律

10. 例4-2:两平行的，轴线间距离为d的半无限长直导线1、2，以直导线3连接，导线为铜线，其半径均为a。通以电流I，试确定连接1，2的导线段3所受的磁场力。 解： 坐标系如图所示。 连接1、2的导线段为x=a至x=d-a 在区间（a，d－a）内任一点x处截取长度元dx，则导线1，2在x处的磁感应强度B1和B2的方向相同 由于空气以及非铁磁物质的磁导率与真空中的磁导率μ0极其接近 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律

11. 长度元dx处的磁感应强度B的大小 它垂直于导线所在平面并指向读者，亦与电流元Idx的方向相垂直。 磁感应强度与毕奥—萨瓦定律

12. 一、磁通 磁感应强度矢量的通量——作出场的矢量线，穿过某微小面元的磁感应强度矢量线数（磁感应线数），简称为磁通量或磁通。 §4-2 磁通及其连续性原理 当S为空间闭合曲面时，则穿过此闭合曲面磁通

13. 二、磁通连续性原理 穿过空间任意闭合曲面S的磁通恒等于零磁感应强度线是绵延连续无源无汇的 磁通连续性原理。它说明磁感应强度矢量线是连续而不中断的闭合矢量线，因而磁场空间没有磁感应强度矢量线的源和汇，磁场是一个无源场。 磁通及其连续性原理

14. 例4-3无限长直导线通以电流I，图示直角三角形ΔA’B’C’与之共平面，求通过ΔA’B’C’的磁通。设a=12cm，b=7cm，d=5cm，I=10A，求出数值结果。例4-3无限长直导线通以电流I，图示直角三角形ΔA’B’C’与之共平面，求通过ΔA’B’C’的磁通。设a=12cm，b=7cm，d=5cm，I=10A，求出数值结果。 解：长直导线外任一点的磁感应强度 与其距离为r的各点上的方向相同。窄长条上穿进的磁通 磁通及其连续性原理

15. 穿过ΔA’B’C’磁通为 磁通及其连续性原理

16. §4-3 真空中的安培环路定理 一、推导 设真空媒质中，有一无限长载电流I的直导线，在与导线垂直的平面上，作任意积分路径l，根据毕奥－萨定律，l上任一点的磁感应强度 真空中的安培环路定理

17. 真空中的安培环路定理 当积分路径不与电流交链时，上式右端项将为零。 当积分路径k次交链电流I时，上式右端项的电流应记为kI。 一般情况下 真空中的安培环路定理

18. 真空媒质中，磁感应强度沿任意闭合有向曲线l的环路积分，等于与该闭合有向曲线l所交链的电流的代数和与真空媒质磁导率的乘积。真空媒质中，磁感应强度沿任意闭合有向曲线l的环路积分，等于与该闭合有向曲线l所交链的电流的代数和与真空媒质磁导率的乘积。 二、物理意义 电流的方向 当所交链的电流流向与闭合有向曲线l的绕行方向符合右螺旋法则时，该电流取为正，反之取为负。 若电流不与闭合有向曲线l交链时，该电流应记为零。当积分路径k次交链某一电流I时，则应记为kI。 真空中的安培环路定理

19. 三、磁场的无旋性 磁场的环路积分不恒为零，说明磁场图形与静电场不同。它的分布具有旋涡形，是非位场。 真空中的安培环路定理

20. 例4-4： 空气中无限长直圆柱导体载有电流I，其半径为a。试确定导体内、外的磁感应强度。设空气和导体的磁导率均为μ0。 解： 磁场以长直圆柱导体的轴线作对称分布，取半径为r的圆周为闭合曲线l半径为r（r＜a）的圆所交链的仅是电流I的一部分：

21. §4-4 非真空媒质中的安培环路定理 磁场的分布具有旋涡性这一重要特性，不会因为空间媒质的更换而有质的改变。但是对真空中的安培环路定理作数量方面的修改则是必要的。 顺磁性媒质 反磁性媒质 一、磁媒质 顺磁性媒质——在外磁场中，其分子磁矩有秩序地排列而使整个磁场加强的媒质。 反磁性媒质——在外磁场作用下产生的附加磁矩，和外磁场方向相反，从而削弱了外磁场，呈现出反磁性。

22. 引入矢量表示媒质分子圆电流的磁效应 称为分子圆电流的磁偶极矩，简称分子磁矩，单位为安培平方米（A·m2） 若从导磁的观点看问题，除铁磁物质外，无论是顺磁媒质，或反磁媒质，其磁导率均接近于真空媒质磁导率，即均接近于1。 如顺磁媒质铝，其相对磁导率μr=1.0000214； 而反磁媒质铜，其相对磁导率μr=0.999991 非真空媒质中的安培环路定理

23. 二、磁化强度矢量 1、磁化强度定义：研究宏观媒质的微小体积元中，单位体积内分子磁矩的平均磁效应，以表示单位体积内分子磁矩之和 ——媒质的磁化强度，它描述媒质被磁化时，媒质中各点所呈现的磁化强弱状态。 磁化强度与媒质表面的磁化电流 2、磁化强度与磁化电流的关系：若在被磁化的媒质中，截取一微小圆柱体，设单位体积内所含分子数为N，则包围轴线的磁化电流为

24. 若的取向与方向一致时 在极限情况下 故场中某点的磁化强度可理解为该点所在处方向上，单位长度所交链的磁化电流 在考虑了媒质边缘处所出现的表面磁化电流（亦可称为束缚电流）之后，可视磁场处于真空媒质之中。 媒质的磁化电流 非真空媒质中的安培环路定理

25. 三、安培环路定理 在非真空媒质中，考虑磁化电流后，可得磁感应强度矢量 的环路定理 安培环路定理：磁场强度矢量，沿任意闭合有向曲线的积分，等于与该曲线所交链的宏观电流（自由电流）的代数和。安培环路定理为磁场的又一个基本定理，它说明磁场是有旋场。 磁场强度 非真空媒质中的安培环路定理

26. 对于各向同性媒质，根据实验有 对比 ——媒质的磁化率，是一个无量纲的纯量。 非真空媒质中的安培环路定理

27. 静电场与恒定磁场的类比 非真空媒质中的安培环路定理

28. 解： 设电流依次为I1和I2，则应有I1＋I2＝I 。在钢芯和铝线的分界面上，电场强度的轴向分量连续 例4-5： 空气中有一长直钢芯铝线，钢芯半径为R1，铝线的内外半径分别为R1、R2。钢的电导率为γ1，相对磁导率为μr，铝的电导率为γ2。设此导线中电流强度为I，求导线内部的磁感应强度及磁化强度。 非真空媒质中的安培环路定理

29. 非真空媒质中的安培环路定理

30. §4-5 两媒质交界面上磁场的边界条件 将磁通连续性原理运用于不同媒质交界处 将安培环路定理应用于不同媒质交界面处 两不同导磁媒质交界面处的面电流示意 1、当积分路径不交链电流时 2、若不同媒质交界面处存有宏观面电流，以a表示垂直流过单位长度上的面电流值。当面电流的方向与积分路径成右手螺旋法则时，运用安培环路定理于上述积分路径

31. 在不同媒质交界面处，磁场的边界条件为 磁场的折射定理 无面电流媒质交界面处，磁场的折射定理 安培环路定理 铁磁媒质的磁导率远大于顺磁、反磁媒质，在两者交界面处，不管磁场从何方射向交界面，非铁磁物质中磁场总是趋向垂直于铁质交界面磁媒质的表面。 两媒质交界面上磁场的边界条件

32. 例4-6： 磁场由磁导率μ1＝1500μ0的钢进入空气中，已知钢中B1＝15T，=87°。求分界面空气一侧的B2和。 解钢内磁感应强度B1的两分量为 两媒质交界面上磁场的边界条件

33. §4-6 磁场中的两个基本定理的微分形式 一、微分形式的磁通连续性原理 磁通连续性原理 微分形式的磁通连续性原理：磁场中，空间任一点的磁感应强度矢量的散度恒为零。它说明了磁场是无源场，磁感应强度矢量线处连续而不断。 在直角坐标系中，散度公式为

34. 微分形式的安培环路定理 二、微分形式的安培环路定理 1.推导 xoy yoz xoz 磁场中的两个基本定理的微分形式

35. 设空间有场，为适应直角坐标系的需要，场中以任意点A（x，y，z）为中心，如图作一无限小闭合矩形 。 设A点的磁场强度矢量为，三个分量为Hx，Hy，Hz，沿无限小闭合矩形的环路积分 当此无限小闭合矩形所交链的电流为dIx时，可得磁场强度的旋度在x方向上的分量为 磁场中的两个基本定理的微分形式

36. 同理可得旋度在y及z方向上的分量 • 微分形式的安培环路定理。空间任一点的磁场强度的旋度等于该点的电流密度矢量。在电流密度不为零的区域磁场强度H的旋度不为零，说明磁场是旋涡场，或有旋场。 • 磁场中的两个积分形式定理及两个微分形式定理的数学表达式，统称为磁场的基本方程式。 磁场中的两个基本定理的微分形式

37. 例4-7： 证明由的环路定理所求得例4-4的结果，满足磁场的两个微分形式定理及边界条件。 例4-4： 空气中无限长直圆柱导体载有电流I，其半径为a。试确定导体内、外的磁感应强度。设空气和导体的磁导率均为μ0。 证明： 半径为a，载有电流I长直圆柱导体内磁感应强度 r=a处分界面 磁场中的两个基本定理的微分形式

38. r=a处分界面 磁场中的两个基本定理的微分形式

39. 引入标量磁位 磁位函数是一个没有物理意义的计算量，单位为（A） §4-7 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程 一、磁场的标量磁位 磁场中电流密度处

40. 可得任意方向l上的磁场强度 UmAP定义为A、P两点间的磁压 选定P为参考点时，则得A点的磁位函数为 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程

41. 二、标量磁位的多值性与磁障碍面 磁位函数为一多值函数。当两点间积分路径穿越载流回路时，则磁位函数有一附加常数I。 若积分路径穿越的方向改变时有 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程

42. 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程 磁场中的两个基本定理的微分形式 当积分路径穿越某载流回路k次时 两点间的磁压要随积分路径而变。 积分路径k次穿越载流 为了使磁位函数具有单值性，我们通常约定，在求载流回路空间的磁位时，不得穿越载流回路所界定的面积，此面积称之为磁障碍面。这样，磁位函数即为单值函数，磁压亦为单值函数。 从原则上讲，磁障碍面可任意选取，然而为方便起见，对于平面载流回路，一般选择平面载流回路所界定的平面。

43. 三、磁场的拉普拉斯方程 在磁场的无电流区域，即处 在空间媒质的磁导率μ为常数情况下 磁位函数的拉普拉斯方程 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程

44. 磁场的唯一性定理为： 满足拉普拉斯方程，且满足一定边界条件的标量磁位函数是唯一的。 以磁位函数所表示的媒质交界面处边界条件为 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程

45. 例4-8 有一载电流I的无限长直圆导线，试求图示导线外A、P两点之间的磁压UmAP。 解： 载有电流I的无限长直圆导线外的磁场强度 在直线OP上取点C，令OC=OA=r。磁场强度沿着点A到P的曲线l的曲线积分，只要曲线l不绕电流，则积分值与路径无关。 A、P两点间的磁压 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程

46. 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程 例4-9通过求解标量磁位的拉普拉斯方程，确定载电流I的无限长直圆导线外的磁场。 解：取ox轴，通过 ＝0的射线作一磁障碍面，可以设想空间将被分割，被分割的空间内，导线以外区域标量磁位具有单值性。磁障碍面构成这一问题的边界，即平面上下两侧分别是等磁位面。 设定磁场标量磁位的参考点

47. 无电流区域中磁场的标量磁位与拉普拉斯方程 设A、B分别取为磁障碍上、下侧极为邻近的两点，l为自A到B围绕电流I（I的方向如图示）的曲线，则 （r＞a）

48. 引入后，没有破坏磁通连续性原理 §4-8 磁场的矢量磁位及泊松方程 一、矢量磁位及其所满足的泊松方程 1.引入矢量磁位 由于旋度场的散度恒为零

49. 矢量磁位不具有直接的物理意义，但却是一个用途广泛的重要计算量，单位为韦伯每米（Wb/m）。矢量磁位不具有直接的物理意义，但却是一个用途广泛的重要计算量，单位为韦伯每米（Wb/m）。 当媒质均匀或分区均匀时 由矢量恒等式有 2.方程推导 有电流密度区域 无电流密度区域 磁场的矢量磁位及泊松方程

50. 二、分布型问题泊松方程的解 在恒定磁场中，当磁导率为μ的各向同性、线性导磁物质充满空间时，泊松方程为 在静电场中，当电容率为ε的各向同性、线性介质充满空间时，泊松方程为 磁场中各点的矢量磁位 其解 类比 磁场的矢量磁位及泊松方程