9.11 平方差公式

2. 乘法公式 9.11平方差公式

3. 一、教材分析： 1、教学内容: 本节课是新教材七年级第一学期课本第八章 第四节第一课时。内容包括平方差公式的理解 和运用。 2、本节课在教材中所处的地位和作用 平方差公式是继多项式的乘法法则的基础上 学习的第一个乘法公式，通过探究乘法法则的特 殊规律推导出平方差公式，体现了教材由一般到 特殊的编写意图。同时，平方差公式也是进一步 学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的 重要知识基础．

4. 3、学情分析 （1）根据学生的实际情况，学生学习本节 课的知识障碍主要在于对公式的结构特征的理 解和对字母能代表任意的数或代数式的意义的 理解，必须帮助学生解决这两个问题才能够让 学生灵活地运用平方差公式。 （2）由于七年级学生的理解能力、思维特征 和生理特征，学生好动性，注意力易分散，爱 发表见解，希望得到老师的表扬等特点，所以在 教学中应抓住学生这一生理心理特点，一方面要 运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们 的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条 件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主 动性。

5. 4、教学目标 （1）理解和掌握平方差公式，并掌握灵 活地运用公式进行整式的乘法计算； （2）通过公式的探索、发现，在知识发 生、发展以及形成过程中培养学生由观察 －发现－归纳－验证－使用这一数学方法 的逐步形成. （3）通过探索平方差公式的几何意义，渗 透数形结合的数学思想，让学生感受数学来 源于实践，培养学生对数学的学习兴趣。 （4）通过公式的发现，使学生理解普遍性 寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯 物主义思想的熏陶。

6. 5、教材的重点和难点 重点：掌握公式的结构特征及正确运用公式。 难点：公式推导的理解及字母的广泛含义。

7. 二、说教法 1.通过直观、推理让学生充分感知，然后经过猜想、归纳，发现其中的规律，又通过运用多项式的乘法法则对平方差公式的论证及探究平方差公式的几何意义，从而使学生从形象思维逐步过渡到抽象思维，进而达到感知新知、概括新知、应用新知、巩固和深化 新知的目的。 2.采用快乐教学法，激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极发言和敢于质疑，引导学生自己动脑、动手、动口、动眼等多种形式的巩固习，使学生变苦学为乐学，把数学课上得有趣、有益、有效。

8. 三、说学法 本节课的教学，使学生掌握一些基本的学习方法： 1．学会通过观察、分析、抽象和概括出平方差公式。 2．学会通过表象看本质，抓住公式的结构特征 灵活运用公式，而不是简单的形式的模仿。 3．学会利用知识的迁移规律，把知识转化成相应的技能，从而提高灵活运用的能力。

9. n bn an am bm m b a 一、复习引入、温故知新 • 温故: 多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

10. 用自己的语言叙述你的发现的规律 思考1:计算下列各题,并观察下列乘式与结果的特征: • 引入: (1) (y+2)(y-2)= (2) (3-a)(3+a)= (3) (2a+b)(2a-b)= y2-22 32-a2 (2a)2-b2 比较等号左右两边： 左边：同两个数的和与差的积 右边：这两个数的平方差 结论：两个数的和与这两个数的差的乘积等于 这两个数的平方差。

11. 二、推导公式、揭示内涵 • 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积 等于这两个数的平方差，即 a2−b2. (a+b)(a−b)= 你能想办法推导出这个公式吗？ 根据多项式的乘法法则： (a+b)(a-b) =a2-ab+ab-b2 =a2-b2

12. 符号相同的数 完全相同的数 完全相同的数的平方 a a a a b b b b b b b b 符号相反的数 符号相反的数 符号相反的数 符号相反的数的平方 符号相反的数的平方 符号相反的数的平方 只符号相反的数 只符号相反的数的平方 (a+b)(a−b)=a2−b2 • 理解平方差公式的内涵 (一)、公式的结构特征

13. （一）(a+b)(a-b) = a2-b2结构特征 因式的特征是两个二项式a+b和a-b相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项则正好是互为相反数。 积的特征是一个二项式a2-b2，是平方差的形式， 其中完全相同的项的平方在前，带省略的“+”号， 恰好相反的项的平方在后，带不可省略的“-”号。 掌握因式的特征才能正确合理地选用公式； 掌握乘积的特征以及它与乘积中各项的关系，才能正确地运用公式。

14. 直观模式： 公 式： 2 2 (◎＋□) (◎－□) = ◎ －□ 应用示例：

15. 将2x看作公式中的a, 将y看作b 将x/2 看作a, 将y/3 看作b 三、启发诱导,初步运用 例题1计算: (2) (1) (2x+y)(2x-y); 解:(1) (2x+y) (2x-y) = (2x)2-(y)2= 4x2-y2 ( a +b) (a -b)= a2 - b2 (2) ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

16. (a+b)(a−b)= (a)2− (b)2 注意:当公式中的a与b 表示的是 负数、分数、数字与字母的 积、字母与字母的积、多项 式等时, 在求它们的平方时先 应该添上括号. 意图: 学生在具体计算时比较容易出现这个错误,因此 有必要提醒学生避免计算错误.

17. 小试牛刀，出口成章计算(开火车速答)：

18. 将(-x)看作a (3y)看作b 三、启发诱导,初步运用 例题2计算: (1) (-x+3y)(-x-3y) (1) (-x+3y)(-x-3y) =(-x)2-(3y)2 =x2-9y2 解:

19. 将a2看作公式 中的a,将b2看作 公式中的b 三、启发诱导,初步运用 例题2计算: (1) (-x+3y)(-x-3y) (2) (a+b)(a-b)(a2+b2) 解: (4) (a+b)(a-b)(a2+b2) = (a2-b2)(a2+b2) = (a2)2-(b2)2 = a4-b4 挑战自己　 你可以连续四次应用平方差公式吗？

20. 数学烟花 电光炮 (a-1)(a+1)(a2+1)(a4+1) 烟 花 (y-2)(y+2)(y2+4)(y4-16) 拓展思考： 加引线 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

21. 火眼金睛、判断真假 1、下列各式计算正确的是 A、(x+3)(x-3)=x2-3 B、(2x+3)(2x-3)=2x2-9 C、(2x+3)(x-3)=2x2-9 D、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 2、(-3x+4)(-3x-4)等于 A、(3x)2-42 B、42-(3x)2 C、(-3x)2-42 D、(-4)2-(3x)2

22. 3、下列各题中，能用平方差公式计算的是 A、(２a－b)(a－２b) B、(a－b)(-a+b) C、(-a － b)(a － b) D、(-a － b)(a+b) 火眼金睛、判断真假 4、若M(3x-y2)=y4-9x2，那么代数式M应是 A、-(3x+y2) B、-y2+3x C、3x+y2 D、3x-y2

23. 乘胜追击，更上层楼

24. 神机妙算(不用计算器，也不用竖式乘法) 102×98 ３0．2×２9．8 992-982

25. 利用平方差公式计算 两个有理数的乘积时, 最关键的是将其写成 平方差公式的形式 三、启发诱导, 初步运用 例题３ 利用平方差公式计算: (1) 102×98 (2) 30.2×29.8 • 102×98 • = (100+2)(100-2) • = 1002-22 • = 10000-4 • = 9996 解: • 30.2×29.8 • = (30+0.2)(30-0.2) • = 302-0.22 • = 900-0.04 • = 899.96

26. 四、尝试练习,反馈矫正 计算: • (2x+5)(2x-5); • (2) (1-2a)(1+2a); • (3) (a/3+b/2)(a/3-b/2); • (4) (x2/2+1/3)(x2/2-1/3). • 103×97 • (6) 50.2×49.8 • 运用平方差公式时，要紧 • 扣公式的特征，找出相等的 • “项”和符号相反的“项”，然后 • 应用公式． 意图: 学生接受知识需要一个循序渐进的过程,所以 在例题之后安排的练习比较基础,通过让学生自己练 习,加深学生对公式的结构特征的理解.

27. 五、拓展练习、深化提高 下列两个多项式相乘,哪些可用平方差 公式?哪些不能? (1) (2m-3n)(3n-2m); (2) (-5xy+4z)(-4y-5xz) (3) (4a1)(4a1) (4) (x+y+z)(x+y-z) 意图: 本题是公式的变式训练,可以让学生注意到 可以结合学过的运算法则将式子变形来应用公式,进 一步加深对公式的本质特征的理解.

28. 法一 利用加法交换律， 变成公式标准形式。 提取两“−”号中的“−”号， 变成公式标准形式。 计算时千万别忘了你提出的“”号、添括号；  注意 (3) (4a1)(4a1) 解: 方法一: (位置变化) 原式= (-1-4a)(-1+4a) = (-1)2 – (4a)2 = 1- 16a2 方法二: (符号变化) 原式= -(4a+1)(4a-1) = -[(4a)2-12] = -(16a2-1) = 1- 16a2 法二

29. 符号相反 (4) (x+y+z)(x+y-z) 符号相同 本题是两个三项式的乘积, 将多项式 (x+y)看作公式中的a, 将z看作公式中的b. 解: 原式= (x+y)2 – z2

30. 理解公式，灵活运用 1、位置变化: (a+2b)(2b-a) 2、符号变化：(-3x-2y)(3x-2y) 3、指数变化：(a2+b)(a2-b) 4、系数变化：(4a+4b)(a-b) 5、项数变化：(a+b+c)(a-b+c)

31. 拓展应用 (a+b+c)(a+b-c) (a+b-c)(a-b-c) (a+b+c+d)(a+b-c-d) (a-b+c-d)(a+b+c-d)

32. 2 2 ( + ) ( - ) = -

33. 2 2 ( + ) ( - ) = -

34. 理解平方差公式的内涵 (二)公式中字母的含义 公式中的a，b不仅可以表示一个数、 一个单项式，也可以表示一个多项式。 即a、b表示任意的数或代数式。

35. a a b b E A D Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ a a B J C Ⅱ Ⅱ F b b b G H I (a+b)(a−b)=a2−b2 用图形的面积关系来说明平方差公式 (a+b)(a-b)表示长方形ABCD的 面积,等于Ⅰ与Ⅱ的和. a2-b2表示正方形AEGH与正 方形BHIJ的面积的差,也等于Ⅰ 与Ⅱ的和. ∴ (a+b)(a-b)=a2-b2

36. 如图，在边长为a。的正方形内剪去边长为b的正方形后，剩下的形状可以分割成两个大小相等的直角梯形，请你用a、b表示梯形的上底、下底、高和面积，并由此理解a2- b2 =(a-b)(a+b)的几何意义．

37. 如图，边长为a、b的两个正方形的中心重合，边保持平行．如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的等腰梯形，请你用a、b表示出梯形的上底、下底、高和面积，并由此理解a2- b2 =(a-b)(a+b)的几何意义．

38. 实践应用 先画图再计算：街心花园有一块边长为a米的正方形 草坪，经统一规划后，南北向要加2米，而东西向要 缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？

39. 试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。 应用平方差公式 时要注意一些什么？ 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相 等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式； 对于不符合平方差公式标准形式者， 六、梳理所学总结提高 本节课你学到了什么? 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 或提取两“−”号中的“−”号， 要利用加法交换律， 变成公式标准形式后，再用公式。

40. 作业 1、基础训练：教材P35 练习8.11。 2、拓展训练：利用平方差公式计算： (a+b+c)(a—b—c)。

41. 欢迎专家和老师们批评指正！

42. 2、(x2+2a)(x2-2a) (x3+pq)(x3-pq) (x4+2cd )(x4-2cd) 小试牛刀，出口成章 1、(1-5ab)(1+5ab) (12-5pq)(12+5pq) (4mn-0.5)(4mn+0.5)