Chương III:

1. Chương III: BÀI TOÁN VẬN TẢI I.ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT Định nghĩa 1 Btvt TQ có dạng:

2. Dạng bảng của btvt:

4. Lưu ý: +Mỗi hàng Ai đại diện cho một trạm phát. +Mỗi cột Bj đại diện cho một trạm thu. +Ô(i,j) đại diện cho tuyến đường vận tải hàng từ trạm phát thứ i đến trạm thu thứ j. +Điều kiện cân bằng thu phát là đk:

5. + PA của btvt viết dưới dạng ma trận: Định lý 1: Btvt cân bằng thu phát luôn có PATƯ.

6. Định nghĩa 2: • Tập hợp các ô của bảng vận tải mà cứ hai ô liên tiếp thì nằm trên cùng một dòng hay một cột và một dòng hay một cột đó không chứa quá hai ô được gọi là một đường đi.

7. Một đường đi khép kín được gọi là một chu trình. Định lý 2: Một bảng vận tải m dòng, n cột thì tập hợp các ô không chứa chu trình có tối đa là (m+n-1) ô.

8. Định nghĩa 3: Trong một PA, ô có vận tải hàng đi qua ứng với xij>0 được gọi là ô chọn. Ô có xij=0 gọi là ô loại. Chú ý: ta thường dùng x để chỉ ô chọn. Định lý 3:X là PACB của btvt khi và chỉ khi X có tập hợp các ô chọn không chứa chu trình.

9. Định nghĩa 4: PACB gọi là không suy biến nếu số ô chọn =m+n-1. PACB gọi là suy biến nếu số ô chọn <(m+n-1). * Đưa PACB suy biến về PACB không suy biến, ta bổ sung thêm các ô loại cho đủ (m+n-1) ô chọn không chứa chu trình. Các ô loại bổ sung đó được gọi là ô chọn 0.

10. Định lý 3.Cho bảng vận tải có m dòng, n cột, cho E={(m+n-1) ô không chứa chu trình}, ô . Khi đó, chứa duy nhất một chu trình V. sẽ không chứa chu trình. (Vậy: E là PACB cũ, E2 là PACB mới).

11. II. Phương pháp tìm PACB • Phương pháp “min cước”: • nghĩa là ưu tiên phân phối hàng nhiều nhất vào ô có cước phí rẻ nhất! Ví dụ 1. Tìm PACB của bt sau:

12. Bằng “pp min cước” ta nhận được PACB:

14. Nghĩa là: + Chuyển 30 (đvh) từ t.phát 1 đến t.thu 1, + Chuyển 50 (đvh) từ t.phát 1 đến t.thu 4 , + Chuyển 35 (đvh) từ t.phát 2 đến t.thu 3, + Chuyển 10 (đvh) từ t.phát 2 đến t.thu 4, + Chuyển 40 (đvh) từ t.phát 3 đến t.thu 2, + Chuyển 15 (đvh) từ t.phát 3 đến t.thu 3. Cước phí f(x)=1.30+2.50+4.35+9.10+2.40+3.15 = 455(đvtt).

15. III. Phương pháp giải btvt • PP “qui 0 cước phí các ô chọn”. • Định lí. • Cho btvt ma trận cước phí C=(cij). Nếu cộng vào hàng thứ i của ma trận C một số tùy ý ri và cộng vào cột j một số tùy ý sj ta nhận được btvt mới với cước phí C’=(c’ij) với c’ij=cij+ri+sj. Hai btvt trên là tương đương.

16. b. Thuật toán: gồm 3 bước. B1) “Qui 0 ô chọn” PACB x: dựa vào định lí trên để chọn một bộ (ri, sj) sao cho tại các ô chọn cước phí mới cij’đều =0. B2) Điều kiện tối ưu. + c’ij≥0 với mọi i,j → PA x tối ưu. + Tồn tại một cước phí c’ij<0 → có PA mới tốt hơn PA x.

17. B3) Tìm PA mới (trên bảng cước phí C’) + Ô đưa vào: ô có cước phí âm bé nhất. +Xác định chu trình V, đánh số chẵn lẻ cho V bắt đầu số 1 từ ô đưa vào: VC, VL là lượng hàng điều chỉnh PA mới và (i0,j0) là ô đưa ra. +PA mới:

18. Ví dụ 1: Giải btvt sau:

19. Bằng pp min cước ta tìm PACB

24. Giải. • Bài toán thỏa ĐK cân bằng thu phát: Σhàng thu = Σ hàng phát = 180 • Tìm PACB ban đầu. Bằng “pp min cước” ta có PACB: có 6 ô chọn =m+n-1 nên X không suy biến.

25. Bước 1:“Quy không ô chọn” PA x: dựa vào định lí ta chọn một bộ (ri, sj) sao cho tại các ô chọn cước phí mới cij’đều =0. Nên ta có hệ p.trình: Hệ có 7 ẩn, 6pt →hệ VSN. Chọn một nghiệm: cho r1=0 ta có s1=-1, s4=-2, r2=-7, s3=3, r3=-6, s2=4.

26. ta có C’:

27. Bước 2:Kiểm tra ĐKTƯ. Từ ma trận cước phí mới C’ ta thấy tồn tại c’21<0 nên PA x chưa TƯ. Bước 3: Tìm PA tốt hơn. + Ô đưa vào chu trình V: ô (2,1) (vì có cước phí âm bé nhất). + Xác định chu trình V và đánh số chẵn lẻ cho V bắt đầu số 1 từ ô (2,1) như ghi trên bảng 1.

28. V={(2,1);(2,4);(1,4);(1,1)}.

29. → Lượng hàng điều chỉnh là 10, ô(2,4) đưa ra. + Xác định PA mới:

30. Bước 4: Xem Y là PA ban đầu ta quy không ô chọn PA Y.

31. Ta nhận được bảng cước phí mới C”: Từ C” ta thấy mọi cước phí cij”≥0. Vậy Y TƯ.

32. Nghĩa là: + Trạm phát 1 chuyển đến trạm thu 1: 20 t; + Trạm phát 1 chuyển đến trạm thu 4: 60 t; + Trạm phát 2 chuyển đến trạm thu 1: 10 t; + Trạm phát 2 chuyển đến trạm thu 3: 35t; + Trạm phát 3 chuyển đến trạm thu 2: 40t; + Trạm phát 2 chuyển đến trạm thu 3: 15t. Cước phí fmin(Y)=1.20+2.60+5.10+4.35+2.40+3.15 = 455(đvtt).

33. Ví dụ 2: Giải bài toán vận tải cho bởi bảng vận tải sau: j i 50 40 70 80 5 5 12 20 7 9 11 60 4 2 3

35. Giải. • Bài toán thỏa ĐK cân bằng thu phát: Σhàng thu = Σ hàng phát = 160 • Tìm PACB ban đầu. Bằng “pp min cước” ta có PACB: có 5 ô chọn =m+n-1 nên X không suy biến.

36. Bước 1:“Quy không ô chọn” PA x: ta chọn một bộ (ri, sj) như ghi trên bảng 1. Bảng 1 r1 =0 r2 =1 r3 =9 S3= -12 S1=-5 S2= -11

37. Ta có ma trận cước phí mới C’: Chứng tỏ X chưa tối ưu, vì C’ còn ô cước phí âm.

38. Bước 3: Xây dựng phương án mới. +ô đưa vào: ô (1,2) (cước phí âm bé nhất). Xác định chu trình V trong bảng 2. Bảng 2:

39. → Lượng điều chỉnh là 30, ô(1,4) đưa ra. + Xác định PA mới: Bước 4: Quy không ô chọn PA Y. …

40. IV. Các dạng đặc biệt của bt vận tải • Bt không cân bằng thu phát: • + Σai hàng phát > Σbj hàng thu: thêm cột thu giả với lượng hàng bằng (Σai-Σbj). • + Σai hàng phát < Σbj hàng thu: thêm hàng phát giả với lượng hàng bằng (Σbj-Σai). • Lưu ý: +Các ô thộc cột thu giả, cột phát giả gọi là ô phụ và đều có cước phi bằng 0; khi hàng còn dư mới phân vào các ô phụ.

41. Ví dụ 1: Giải bài toán vận tải không cân bằng thu phát cho bởi bảng vận tải sau:

42. + Ta thêm trạm thu giả có lượng hàng là 30, khi đó bt trở thành cân bằng thu-phát và cước phí tại các ô phụ đều bằng 0.

43. 2. Bài toán có ô cấm. Những ô cấm đại diện cho tuyến đường không thể qua được. Chẳng hạn như : cầu gãy, phà hư… Để giải bài toán có ô cấm ta xem ô cấm như ô bình thường có cước phí vận chuyển thay bằng M (M là số vô cùng lớn) rồi giải bt bình thường. Lưu ý: Nếu bt(M) có PATƯ và tồn tại ô cấm được phân hàng thì bt gốc không có PATƯ.

44. Ví dụ 2: Giải bài toán vận tải có ô cấm cho bởi bảng vận tải sau:

45. Ta thay cước phí của ô cấm bằng M, sau đó ta giải bt như trường hợp không có ô cấm.

46. 3. Bài toán vận tải có f(x) → max. Ta giải bình thường như bt có f(x)→min với lưu ý: +Tìm PACB ban đầu: Phân phối hàng nhiều nhất vào ô có “cước phí lớn nhất”! +ĐKTƯ: mọi c’ij≤0 +Ô đưa vào : là ô có cước phí dương lớn nhất.

47. Ví dụ: Một phân xưởng có 2 công nhân nữ và 3 công nhân nam. Phân xưởng có một máy tiện loại I và 2 máy tiện loại II, 2 máy tiện loại III. Năng suất công nhân đứng trên mỗi loại máy được cho trong bảng (đơn vị là chi tiết/ngày):

48. Tìm PA phân công công nhân đứng máy để cuối ngày thu được nhiều sản phẩm nhất.

49. Bài tập:1.Giải bài toán vận tải sau: j i 40 50 80 30 90 2 4 4 2 40 5 7 1 1 70 4 8 3 6

50. 2.Giải btvt sau: