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第四章 二次曲線

第四章 二次曲線. 4- 1 拋物線. 目錄. 4-1 拋物線 甲 ﹑ 拋物線的基本概念 乙 ﹑ 頂點在原點的拋物線標準式 丙 ﹑ 頂點不在原點的拋物線標準式. 圓錐截面 ( 3D). 解說影片. 按此觀看影片. Geogebra 檔案. 按此觀看影片. 圓錐截面 ( 3D). ‍‍ 甲、拋物線的基本概念. 請看課本 p.190. 一、拋物線的定義 我們雖然在第一冊第二章介紹過二次函數 y = ax 2 + bx + c 的圖形為一拋物線 , 但對其幾何特性並不清楚 . 底下 , 我們藉由分析一個二次函數　　　

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第四章 二次曲線

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  1. 第四章 二次曲線 4-1 拋物線

  2. 目錄 • 4-1拋物線 • 甲﹑拋物線的基本概念 • 乙﹑頂點在原點的拋物線標準式 • 丙﹑頂點不在原點的拋物線標準式 圓錐截面(3D)

  3. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 圓錐截面(3D)

  4. ‍‍甲、拋物線的基本概念 請看課本p.190 • 一、拋物線的定義 • 我們雖然在第一冊第二章介紹過二次函數y=ax2+bx+c的圖形為一拋物線, 但對其幾何特性並不清楚. 底下, 我們藉由分析一個二次函數　　　 • 的圖形, 找出此一函數圖形（拋物線）的特性後, 再給予拋物線的定義. • 設Γ為函數：　　　的圖形, • 其圖形如圖4－3所示. 拋物線 隨堂1-0 下一主題 隨堂1-1

  5. ‍‍甲、拋物線的基本概念 請看課本p.190 圖4-3 拋物線 隨堂1-0 下一主題 隨堂1-1

  6. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 拋物線

  7. ‍‍甲、拋物線的基本概念 請看課本p.191 • 我們將觀察圖4－3所得之結果列表如下： 隨堂1-0 下一主題 隨堂1-1

  8. ‍‍甲、拋物線的基本概念 請看課本p.191 • 一般而言, 當直線為Lk －1：y＝k－1, 圓為 • Ck：x2 + (y －1)2 ＝ k2時, 則 • (1)將y＝k－1代入x2+(y －1)2 ＝k2, • 得x2 ＝4k －4, 所以 　　　　　 • 故其交點為　　　　　　　 又Ak滿足函數　 • 因此, 點Ak也在函數圖形(拋物線) Γ上. • (2) Ak到圓心(0,1)的距離恰為圓Ck的半徑 k. • Ak到直線y＝－1的距離為 　　　　　　　 隨堂1-0 下一主題 隨堂1-1

  9. ‍‍甲、拋物線的基本概念 請看課本p.191 • 根據以上的討論知：二次函數　　　 的圖形（拋物線）Γ上的點到定點(0, 1)的距離等於到定直線y＝－1的距離. 因此, 我們將拋物線定義如下： • 拋物線的定義 • 設平面上有一定直線L及不在L上的一定點F, 則在此平面上到點F的距離等於到直線L的距離的所有點所形成的圖形稱為拋物線. 其中定直線L稱為拋物線的準線, 定點F稱為拋物線的焦點. 隨堂1-0 下一主題 隨堂1-1

  10. ‍‍甲、拋物線的基本概念 請看課本p.191 • 根據拋物線的定義, 我們可利用直尺與三角板依下列步驟作出拋物線的圖形. • 在一張紙上作一直線L（準線）, 並取直線L外一定點F（焦點）. 隨堂1-0 下一主題 隨堂1-1

  11. ‍‍甲、拋物線的基本概念 請看課本p.192 • 將直尺固定在直線L的位置, 再將三角板的一股緊靠著直尺的邊緣, 並在另一股上適當的取一點B , 如圖4-4. • 取長度等於B點到直線L距離的線（即B點到三角板直角頂點C的長）.  圖4-4 隨堂1-0 下一主題 隨堂1-1

  12. ‍‍甲、拋物線的基本概念 請看課本p.192 • 將線的一端固定在B點, 另一端固定在F點. • 以筆的筆尖緊靠三角板, 將線拉緊, 將三角板沿著直尺上下滑動, 筆尖隨著移動, 就能描繪出拋物線的一部分. • 我們在第一冊第二章曾介紹過拋物線是一個軸 • 對稱圖形, 其對稱軸（簡稱軸）即為過焦點且與準 • 線垂直的直線（證明請見附錄一）. • 底下我們再介紹與拋物線有關的一些名詞： 隨堂1-0 下一主題 隨堂1-1

  13. ‍‍甲、拋物線的基本概念 請看課本p.192 • 對稱軸與拋物線的交點稱為頂點. • 焦點與頂點的距離稱為焦距. • 拋物線上任二點的連線段稱為弦.過焦點的弦稱為焦弦.垂直對稱軸的焦弦稱為正焦弦. 拋物線 隨堂1-0 下一主題 隨堂1-1

  14. 解說影片 按此觀看影片 Geogebra 檔案 按此觀看影片 拋物線 拋物線 隨堂1-0 隨堂1-1

  15. ‍‍隨堂練習1-0 請看課本p.193 若拋物線Γ表以F為焦點, L為準線, 　為軸, 且軸交拋物線於A, 交準線於D, 試說明頂點A為　　的中點. • 證: • 根據拋物線的定義, 拋物線上任一點到焦點的距 • 離等於到準線的距離, • 所以 • 故A為　　的中點. 隨堂1-0 返回 下一主題 隨堂1-1

  16. ‍‍ 請看課本p.193 • 二、拋物線的性質 • 根據正焦弦的定義,我們可得如下的性質： • 拋物線的正焦弦長等於焦距的4倍. • 證： • 如右圖所示, 設Γ表以F為焦點,L為準線的拋物線, 　　為其正焦弦. • 自P,Q分別作L的垂線, 交L於M, N二點. • 根據拋物線的定義得 隨堂1-0 下一主題 隨堂1-1

  17. ‍‍ 請看課本p.193 • 證： • 又∠PMD＝∠MDF＝∠PFD＝90°, • 所以四邊形PFDM為正方形, • 故拋物線的正焦弦長等於焦距的4倍. 隨堂1-0 下一主題 隨堂1-1

  18. ‍‍隨堂練習1-1 請看課本p.193 右圖為一拋物線的部分圖形, 且在對稱軸上A, B, C, D, E五點中有一點為其焦點. 試利用你手邊現有簡易測量工具判斷哪一點是其焦點？ (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E. • 解： • 作一直線L通過A, B, C, D, E五個點, • 過C作直線L的垂直線, 交拋物線於 • 過D作直線L的垂直線, 交拋物線於 • 過E作直線L的垂直線, 交拋物線於　 隨堂1-0 返回 下一主題 隨堂1-1

  19. ‍‍隨堂練習1-1 請看課本p.193 右圖為一拋物線的部分圖形, 且在對稱軸上A, B, C, D, E五點中有一點為其焦點. 試利用你手邊現有簡易測量工具判斷哪一點是其焦點？ (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E. • 解： • 如右圖所示.由於正焦弦的長度為焦距的4倍, 隨堂1-0 返回 下一主題 隨堂1-1

  20. ‍‍隨堂練習1-1 請看課本p.193 右圖為一拋物線的部分圖形, 且在對稱軸上A, B, C, D, E五點中有一點為其焦點. 試利用你手邊現有簡易測量工具判斷哪一點是其焦點？ (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E. • 解： • 由圖形可知： • 故點C為此拋物線的焦點. 隨堂1-0 返回 下一主題 隨堂1-1

  21. ‍‍乙、 頂點在原點的拋物線標準式 請看課本p.194 • 在坐標平面上, 根據拋物線的定義, 可以推導出拋物線的方程式,底下我們先來看一個例子. 例題1 下一主題 前一主題 隨堂1-2

  22. ‍‍例題1 請看課本p.194 設拋物線Γ的焦點為F(0, 2), 準線為L：y＝－2, 試求拋物線Γ上的點P(x, y) 所滿足的方程式. • 解： • 因為P在以F為焦點, L為準線的拋物線上, • 所以P到F的距離等於P到直線L的距離,即　　　　　 • 兩邊平方展開得x2＋(y2－4y＋4) ＝y2＋4y＋4, • 整理得x2＝8y , • 所以拋物線Γ上 點P(x, y)所滿足的方程式為x2＝8y. 例題1 下一主題 前一主題 隨堂1-2 返回

  23. ‍‍隨堂練習1-2 請看課本p.194 設拋物線Γ的焦點為F(–3, 0), 準線為L：x = 3, 試求拋物線Γ上的點P(x, y)所滿足的方程式. • 解： • 因為P在以F為焦點, L為準線的拋物線上, • 所以P到F的距離等於P到直線L的距離, • 兩邊平方展開得 • 所以拋物線Γ上點P(x, y)所滿足的方程式為　 例題2 下一主題 前一主題 隨堂1-2 返回

  24. ‍‍乙、 頂點在原點的拋物線標準式 ‍‍ 請看課本p.194 • 底下我們根據拋物線的定義來推導拋物線的方程式.當拋物線Γ的焦點為F(c,0), 準線為L：x＝－c, 其中c為異於0的實數, 則此拋物線的對稱軸為x軸, 頂點為原點, 如圖4－6所示, 此時, • 根據拋物線的定義可得: • 若點P(x,y)在拋物線Γ上, 則P到F的距離等於P到直線L的距離, • 所以 • 兩邊平方展開得 (x2－2cx＋c2)＋y2＝x2＋2cx＋ c2,整理得 y2＝4cx. 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4

  25. ‍‍乙、 頂點在原點的拋物線標準式 ‍‍ 請看課本p.195 • 反之, 任給一點P(x, y)滿足 y2=4cx, • 所以P到F的距離等於P到直線L的距離, • 故 P在拋物線Γ的圖形上. • 由以上的討論可知拋物線Γ的方程式為y2＝4cx. 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4

  26. ‍‍乙、 頂點在原點的拋物線標準式 ‍‍ 請看課本p.195 圖4-6 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4

  27. ‍‍乙、 頂點在原點的拋物線標準式 ‍‍ 請看課本p.195 • 2. 當拋物線Γ的焦點為F(0, c), 準線為L：y＝－c, 其中c為異於0的實數, 則此拋物線的對稱軸為y軸, 頂點為原點, 仿照上述的討論可得拋物線的方程式為 x2＝4cy, 其圖形如圖4-7所示. 圖4-7 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4

  28. ‍‍乙、 頂點在原點的拋物線標準式 ‍‍ 請看課本p.196 • 上述方程式y2＝4cx與x2＝4cy, 都稱為拋物線的標準式, 整理如下： • 頂點在原點的拋物線標準式設c為異於0的實數, 則 • 以F(c, 0)為焦點、直線L：x=－c為準線的拋物線方程式為y2＝4cx. • 以F(0, c)為焦點、直線L：y=－c為準線的拋物線方程式為 x2＝4cy. 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4

  29. 本題也可利用定義求解, 如例題1的解法. ‍‍例題2 請看課本p.196 設一拋物線的焦點為(3, 0), 準線為x＋3＝0, 試求此拋物線的方程式. • 解： • 因為焦點為(3, 0), 準線為x＝－3 , • 所以拋物線的頂點為(0, 0),且圖形開口向右, 得c＝3, • 故拋物線的方程式為 • y2＝4‧3‧x , • 即y2＝12x .  例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  30. ‍‍隨堂練習2 請看課本p.196 • 試求滿足下列條件的拋物線方程式. • 焦點為(–1, 0), 準線為x = 1. • 焦點為(0, 4), 準線為y = – 4. • 解： • 因為焦點為( –1, 0), 準線為x = 1, • 所以拋物線的頂點為(0, 0), • 且圖形開口向左, • 故拋物線的方程式為 • 即y2= – 4x. 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  31. ‍‍隨堂練習2 請看課本p.196 • 試求滿足下列條件的拋物線方程式. • 焦點為(–1, 0), 準線為x = 1. • 焦點為(0, 4), 準線為y = – 4. • 解： • 因為焦點為(0, 4), 準線為y= －4, • 所以拋物線的頂點為(0, 0),且圖形開口向上, 得c = 4, • 故拋物線的方程式為 • 即x2= 16y. 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  32. ‍‍例題3 請看課本p.196 試求拋物線y2＝8x的頂點、焦點、準線、軸、焦距及正焦弦長, 並作略圖. • 解： • 因為y2＝8x,即y2＝4‧2‧x , • 所以頂點坐標為(0, 0), c＝2＞0, 圖形開口向右. • 故焦點坐標為 (2, 0), • 準線為x＝－2, • 軸為y＝0（x軸）, • 焦距為│c│＝2 , • 正焦弦長為4│c│＝8 , • 其圖形如右圖所示. 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  33. ‍‍隨堂練習3 請看課本p.197 試求下列各拋物線的頂點﹑焦點﹑準線﹑軸﹑焦距及正焦弦長, 並作略圖. y2 = –12x. x2 = y. • 解： • 因為y2= –12x, 即 • 故焦點坐標為(–3, 0), • 準線為x = 3, • 軸為y = 0（x軸）, • 正焦弦長為4│ c│= 12, • 其圖形如右圖所示. 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  34. ‍‍隨堂練習3 請看課本p.197 試求下列各拋物線的頂點﹑焦點﹑準線﹑軸﹑焦距及正焦弦長, 並作略圖. y2 = –12x. x2 = y. • 解： • 所以頂點坐標為(0, 0), 圖形開口向上. • 軸為x = 0（y軸）, 焦距為  例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  35. ‍‍隨堂練習3 請看課本p.197 試求下列各拋物線的頂點﹑焦點﹑準線﹑軸﹑焦距及正焦弦長, 並作略圖. y2 = –12x. x2 = y. • 解： • 正焦弦長為4│ c│= 1,其圖形如右圖所示. 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  36. ‍‍例題4 請看課本p.197 新長虹橋位於花蓮縣, 跨越秀姑巒溪, 橋上方的拱圈側面所形成的曲線為拋物線的形狀, 且拱圈的最高點位於橋中央,設拱圈與橋面交於A, B兩點, 若阿源測得A, B兩點距離為 120公尺,橋面與拱圈最高點 的距離為20公尺, 橋面與 拱圈最低點的距離為16公尺, 試求拱圈最寬處為多少公尺？ （已知 2.24,四捨五入至整數） 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  37. ‍‍例題4 請看課本p.197 • 解： • 建立直角坐標系, 將拱圈的最高點（即拋物線的頂點）定為原點O, 以過拱圈的最高點且垂直橋面為y軸,過拱圈的最高點且平行橋面為x軸, 如圖所示, • 設拋物線的方程式為x2＝4cy,且點A坐標為(60, －20). • 又設拱圈兩側最低點分別為C與D, • 則點C與點D坐標可設為(x,－36), (－ x,－36). 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  38. 新長虹橋為東海岸著名景點,橋的上方為拱型狀的大橋, 新鐵橋如同一道彩虹, 跨越秀姑巒溪, 中間完全沒有支架, 氣勢非常雄偉. 於九十二年完工通車, 橋長185公尺、寬21.7公尺，主樑至拱圈最高點約21公尺, 拱圈跨距164公尺. ‍‍例題4 請看課本p.197 • 解： • 因為點A為拋物線上一點, 所以602＝4c‧(－20), • 解得c＝－45, • 所以此拋物線的方程式為x2＝－180y. • 又點C為拋物線上一點, 所以x2＝－180‧(－36), • 解得 x＝±36 , • 故拱圈最寬約161公尺.  例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  39. ‍‍隨堂練習4 請看課本p.198 河流上有一座側面為拋物線形拱門橋（如右圖）, 當橋下水面寬40公尺時, 拱門最高點（即橋中心處）與水面相距16公尺. 今水位上漲, 已知拱門最高點與水面相距12公尺, 則此時橋下水面寬為多少公尺？ • 解： • 建立直角坐標系, • 將拋物線的頂點定為原點O, • 以過拱門的最高點且垂直橋面為y軸, 過拱門的最高點且平行橋面為x軸, 如右圖所示, 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  40. ‍‍隨堂練習4 請看課本p.198 河流上有一座側面為拋物線形拱門橋（如右圖）, 當橋下水面寬40公尺時, 拱門最高點（即橋中心處）與水面相距16公尺. 今水位上漲, 已知拱門最高點與水面相距12公尺, 則此時橋下水面寬為多少公尺？ • 解： • 則可設拋物線的方程式為x2 = 4cy, • 因為點A(20, –16)為拋物線上一點, • 代入上式得202 = 4c · (–16), 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  41. ‍‍隨堂練習4 請看課本p.198 河流上有一座側面為拋物線形拱門橋（如右圖）, 當橋下水面寬40公尺時, 拱門最高點（即橋中心處）與水面相距16公尺. 今水位上漲, 已知拱門最高點與水面相距12公尺, 則此時橋下水面寬為多少公尺？ • 解： • 所以此拋物線的方程式為x2 = –25y, • 因為點B(x, –12)為拋物線上一點, • 代入上式 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  42. ‍‍隨堂練習4 請看課本p.198 河流上有一座側面為拋物線形拱門橋（如右圖）, 當橋下水面寬40公尺時, 拱門最高點（即橋中心處）與水面相距16公尺. 今水位上漲, 已知拱門最高點與水面相距12公尺, 則此時橋下水面寬為多少公尺？ • 解： • 故水面寬為 公尺. • （約為34.64公尺） 例題2 例題3 例題4 下一主題 前一主題 隨堂2 隨堂3 隨堂4 返回

  43. ‍‍丙、 頂點不在原點的拋物線標準式 請看課本p.198 • 將拋物線Γ：y2＝4cx平行移動, 使其頂點落在(h, k), 則平行移動後的拋物線方程式應如何表示呢？我們說明如下： • 設拋物線Γ' 為拋物線 • Γ：y2＝4cx沿著 平行移動後的圖形, • P(x, y)為拋物線Γ上一點, • P'(x', y')為P沿著 • 平行移動後的點, 即 圖4-8 例題5 例題6 例題7 下一主題 前一主題 隨堂5 隨堂6 隨堂7

  44. ‍‍丙、 頂點不在原點的拋物線標準式 請看課本p.198 • 整理得　x＝x ' －h, y＝y ' －k. • P(x, y)在拋物線Γ上y2＝4cx • (y'－k)2＝4c(x'－h) • P'(x', y')在(y－k)2＝4c(x－h) 的圖形上, • 故平行移動後拋物線Γ‘ 的方程式為(y－k)2＝4c(x－h). 例題5 例題6 例題7 下一主題 前一主題 隨堂5 隨堂6 隨堂7

  45. ‍‍丙、 頂點不在原點的拋物線標準式 請看課本p.199 • 此時, 拋物線Γ'的頂點為(h, k), • 焦點為(h＋c, k), • 準線為x＝h－c. • 同理可得: • 將拋物線Γ：x2＝4cy平行移動, 使其頂點落在(h, k), 則平行移動後的拋物線 • Γ'方程式為 (x－h)2＝4c(y－k). • 此時, 拋物線Γ' 的頂點為(h, k), • 焦點為(h, k＋c), • 準線為y＝k－c. 例題5 例題6 例題7 下一主題 前一主題 隨堂5 隨堂6 隨堂7

  46. ‍‍丙、 頂點不在原點的拋物線標準式 請看課本p.199 • 上述方程式(y－k)2＝4c(x－h)與(x－h)2＝4c(y－k), 我們也稱為拋物線的標準式. • 有了拋物線的標準式後, 我們也可由標準式中得知拋物線的頂點坐標、焦點坐標、準線方程式與對稱軸方程式等相關內容, 列表說明如下： 例題5 例題6 例題7 下一主題 前一主題 隨堂5 隨堂6 隨堂7

  47. 請看課本p.199 例題5 例題6 例題7 下一主題 前一主題 隨堂5 隨堂6 隨堂7

  48. ‍‍丙、 頂點不在原點的拋物線標準式 請看課本p.199 • ‍‍註：當(h, k)為原點(0 , 0)時, 上述結論亦成立. 例題5 例題6 例題7 下一主題 前一主題 隨堂5 隨堂6 隨堂7

  49. ‍‍例題5 請看課本p.200 試求拋物線(x＋1)2＝－8(y－3) 的頂點、焦點、準線、軸及正焦弦長. • 解： • 由於拋物線的方程式為(x＋1)2＝－8(y－3), • 即(x＋1)2＝4‧(－2)‧(y－3), • 得頂點坐標為(－1, 3), • c＝－2＜0, 圖形開口向下, • 故焦點坐標為(－1, 1), • 準線方程式為y＝5, • 軸方程式為x＝－1, • 正焦弦長為4| c |＝8. 例題5 例題6 例題7 下一主題 前一主題 隨堂5 隨堂6 隨堂7 返回

  50. ‍‍隨堂練習5 請看課本p.200 試求下列各拋物線的頂點﹑焦點﹑準線﹑軸及正焦弦長. ( y ＋ 2)2= – 4( x – 3).  (x– 2)2= 20( y – 2). • 解： • 由於拋物線的方程式為(y + 2)2(x – 3), • 即 • 得頂點坐標為(3, –2), c= – 1 < 0, 圖形開口向左, • 故焦點坐標為(2, –2), • 準線方程式為x = 4, • 軸方程式為y = – 2, • 正焦弦長為4│ c│= 4. 例題5 例題6 例題7 下一主題 前一主題 隨堂5 隨堂6 隨堂7 返回

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