第十三章 位移法

1. 第十三章 位移法 沈阳建筑大学 侯祥林

2. 第十三章 位 移 法 §13—1 概述 §13—2 等截面直杆的转角位移方程 §13—3 位移法的基本未知量和基本结构 §13—4 位移法的典型方程及计算步骤 §13—5 对称性的利用

3. §13—1 概 述 力法和位移法是分析超静定结构的两 种基本方法。力法于十九世纪末开始应用， 位移法建立于上世纪初。 力法 以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出内力后再 计算位移。 位移法 以某些结点位移为基本未 知量，由平衡条件建立位移法方程，求出 位移后再计算内力。 ×

4. 位移法的基本概念 Z1 以图示刚架为例予以说明 F ⌒ 刚架在荷载F作用下将发生如虚 线所示的变形。 2 1 Z1 ⌒ 在刚结点1处发生转 角Z1，结点没有线位移。则12杆可 以视为一根两端固定的梁。 F 1 1 2 其受荷载 F 作用和支座1发生转角Z1 这两种情况下的内力均可以由力法求。同理，13杆可以视为一根一端固定另一端铰支的梁。 ⌒ Z1 ⌒ ⌒ Z1 Z1 EI=常数 在固定端1处发生了转角Z1，其内 力同样由力法求出。 3 3 可见，在计算刚架时，如果以 Z1为基本未知量，设法首先求出Z1， 则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。 ×

5. 由以上讨论可知，在位移法中须解 决以下问题： （1）用力法算出单跨超静定梁在杆 端发生各种位移时以及荷载等因素作 用下的内力。 （2）确定以结构上的哪些位移作为 基本未知量。 （3）如何求出这些位移。 下面依次讨论这些问题。 ×

6. §13—2 等截面直杆的转角位移方程 用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。 计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位 移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应 用方便，首先推导杆端弯矩公式。 如图所示，两端固定的等截 面梁， F A B 两支座还发生位移：转角 A、 B及侧移△AB。 EI L  A 转角A、 B顺时针为正， △AB 则以整个杆件顺时针方向转动为正。 AB  B A′ △AB  B′ 在位移法中，弯矩的符号规定：弯矩是以对杆端顺时针为正 (对结点或对支座以逆时针为正)。 MAB MBA  A   B  图中所示均为正值。 ×

7. Ｆ 用力法解此问题，选取基本结构如图。 A B 多余未知力为X1、X2。 EI L 力法典型方程为  A 11X1+12X2+ △1P+ △1F=A 21X1+22X2+ △2P+△2F=B AB  B A′  △AB P B′ 为计算系数和自由项，作 、 X1   由图乘法算出： 、MF图。 X2 X3 ， 图 1 1 图  ， MP图 XA XB 由图知 AB  △AB 这里，AB称为弦转角，顺时针为 正。 ×

8. 将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1= X2= 令 称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用 MBA代替X2，上式可写成 MAB= 4iA+2i B－ (13—1） MBA= 4i B +2i A－ 式中 (13—2） 是两端固定梁在荷载作用下杆端弯矩，称为固端弯矩。 ×

9. MAB= 4iA+2iB __ (13—1） MBA= 4iB +2iA__ 式(13—1）是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常 称为转角位移方程。 其转角位移方程 可由式(13—1）导出，设B端为铰支，则因 对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)， P MBA= 4i B +2i A__ =0 B A 有 EI l 可见，B可表示为A、△AB的函数。将 此式代入式(13—1)第一式，得 MAB=3iA (13—3）（转角位移方程） 式中 （13—4）（固端弯矩） 杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。 ×

10. §13—3 位移法的基本未知量和基本结构 1.位移法的基本未知量 在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。 (1) 独立角位移数目的确定 由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。 这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。 2 1 3 例如图示刚架 独立结点角位移 数目为2。 4 5 6 ×

11. (2)独立线位移数目的确定 在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。 略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，每一受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了结点线位移数目，故结点只有一个独立线位移。如图a 4、5、6 三个固定 端 都是不动的点，结点1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长度不变，故三个结点均有相同的水平位移△。 △ △ △ 2 1 3 P 4 5 6 (b) (a) 图(a)所示结构的独立线位移数目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目是相同的。实用上为了能简捷地确定出结构的独立线位移数目，可以将结构刚结点(包括固定支座)都变成铰结点。则使其成为几何不变添加的最少链杆数，即为原结构的独立线位移数目(见图b)。 ×

12. 2.位移法的基本结构 用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静 定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根 单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结 点转动),同时在有线位移的结点上 加上附加支座链杆(阻止结点移动)。 2 3 1 基本未知量三个。 4 5 6 例如 ( 见图a) (a) 4 3 又例如(见图b) 共有四个刚结点，结点线位移 数目为二，基本未知量为六个。 基本结构如图所示。 1 2 6 7 5 (b) ×

13. §13—4 位移法的典型方程及计算步骤 以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知 量的方程及具体计算步骤。 =0 R1 Z2 Z2 基本未知量为:Z1、Z2 。 2 ↷ 1 2 1 基本结构如图(b)所示。    Z1 =0 R2 Z1 R1—附加刚臂上的反力矩 F = R2—附加链杆上的反力 P EI=常数 则有 据叠加原理, 3 4 3 4 R1=R11+R12+R1F=0 R2=R21+R22+R2F=0 L (a) (b)基本结构 R1F R12 ↷ Z2 R11 ↷ R2F ↷ R22 2 R21 2 2 1 1 1     Z1 P   = 3 3 3 4 4 4 ×

14. 式中第一个下标表示该反力的位置， 第二个下标表示引起该反力的原因。 R1=R11+R12+R1F=0 R2=R21+R22+R2F=0 设以 r11、r12分别表示由单位位移 所引起的刚臂上的反 力矩， 以 r21、r22分别表示由单位位移 所引起的链杆 上的反力，则上式可写成 r11Z1+ r12Z2+R1F=0 r21Z1+ r22Z2+R2F=0 (13—5) 这就是求解Z1、Z2的方程，即 位移法基本方程(典型方程)。 它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用 下，每一个附加联系中的附加反力矩或反力都应等于零(静力平衡条 件)。 对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程： r11Z1+ ··· + r1iZi+ ··· + r1nZn+R1F=0 ···················································· ri 1Z1+ ··· + ri iZi+ ··· + ri nZn+Ri F=0 ···················································· rn1Z1+ ··· + rniZi+ ··· + rnnZn+RnF=0 (13—6） ×

15. r11Z1+ ··· + r1iZi+ ··· + r1nZn+R1F=0 ···················································· ri 1Z1+ ··· + ri iZi+ ··· + ri nZn+Ri F=0 ···················································· rn1Z1+ ··· + rniZi+ ··· + rnnZn+RnF=0 (13—6） 在上述典型方程中，rii 称为主系数，rij(i≠j) 称为副系 数。RiP称为自由项。主系数恒为正，副系数和自由项可 能为正、负或零。据反力互等定理副系数 rij=rji (i≠j)。 由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移 所引起的附加联系的反力(或反力矩)，显然，结构刚度愈 大，这些反力(或反力矩)愈大，故这些系数又称为结构的 刚度系数。因此位移法典型方程又称为结构的刚度方程， 位移法也称为刚度法。 ×

16. 为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表13—1，绘为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表13—1，绘 出基本结构在 以及载荷作用下的弯矩图 和MP图： r12 r11 R1P ⃕ ⃕ ⃕ ⃔ ⃕ ⃕ 1 1 1 3i R 1Ｆ r12 ⃔ 0 0 ⃔ ⃕ ↷  ↷ R2FP r21 2 2 2 1 4i ↷ 4i 1 1   r11 r22 3i F MF 3 3 4 3 4 4 (b) (a) (c) 2i r21 R2F 2 r22 2 2 1 1 1 0 0 → ← ⇁ → ← → 系数和自由项可分为两类：附加刚臂上的反力矩 r11、r12、和 R 1P； ， r11=7i , 是附加链杆上的反力 r21、r22和R2P。 可分别在图(a)、(b)、(c) 对于附加链杆上的反力，可分别在图(a)、(b)、(c）中用截面法割断 两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表13—1查出杆端 剪力， 中取结点1为隔离体， 由力矩平衡方程∑M1=0求得：r11=7i , R1P= 由方程∑Fx=0求得 。 R2F=－F/2 ×

17. 将系数和自由项代入典型方程(13—5)有 1 2 P 解此方程得 3 4 所得均为正值，说明Z 1、Z2与所设 方向相同。 M图 最后弯矩图由叠加法绘制： 例如杆端弯矩M31为 ×

18. 由上所述，位移法的计算步骤归纳如下： (1) 确定结构的基本未知量的数目(独立结点角位移和线位移)， 并引入附加联系而得到基本结构。 (2) 令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩 或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。 (3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡 条件求出各系数和自由项。 (4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。 (5) 按叠加法绘制最后弯矩图。 ×

19. 例 13—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a 及转角=a/L，试绘其弯矩图。 L Z 1  ↷ B B C EI C 解： 基本未知量 Z 1(结点C转角)； 基本结构如图示； 2EI L 建立位移法典型方程： 基本结构 Z 1  r11Z1+R1F=0 A A b 为计算系数和自由项，作 A′ B ⌒  C a 16i 和M△图(设EI/L=i) Z 1=1 ↷  B 12i 基本结构由于支座位移产 生的固端弯矩(由表13—1)查得 8i C MF 3i A 20i A 4i R1F ↷ r11 ↶ ↷ ↶ 12i ↶ 3i ↶ 16i 8i 由 求得 r11=8i+3i=11i 由MF图求得 R1F=16i+12i=28i ×

20. 将上述系数和自由项代入典型方程， B C 便有 11iZ1+28i=0 M图 A 解得 Z1= Z 1=1  ↷ B 8i C 刚架的最后弯矩图为 3i A 4i 例如： ↷ R1△ B C 16i MAC= 4i× +20i 12i MF 图 = A 20i ×

21. §13—5 对称性的利用 在第八章用力法计算超静定结构时，曾得到一个重要结论：对 称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对 称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。在位移法中，同样可 以利用这一结论简化计算。  Ⅱ  Ⅱ Z2  Ⅱ  Ⅱ Z1 Z1 Z2 ⃕ ⃔ ⃕ ⃕ ‖ Z3 P P/2 P/2 P/2 P/2 〓 +  Ⅱ  Ⅱ Z1 Z2 ⃕ ⃕ ‖ Z3 P/2 P/2 ×