Interpolación

1. Interpolación Forma de Lagrange para interpolación polinomial Dra. Nélida Beatriz Brignole

2. Aproximación de Funciones Interpolación Cuadrados Mínimos

3. Ajuste de Datos Dra. Nélida Beatriz Brignole

4. Cuadrados Mínimos Dra. Nélida Beatriz Brignole

5. Interpolación Dra. Nélida Beatriz Brignole

6. Teorema (existencia y unicidad) Dra. Nélida Beatriz Brignole

7. Interpolación • Lagrange • Splines Dra. Nélida Beatriz Brignole

8. Fórmula de Interpolación Dra. Nélida Beatriz Brignole

9. Características • Matriz de coeficientes: Matriz de Vandermonde • Mal condicionada Dra. Nélida Beatriz Brignole

10. Forma de Lagrange Dra. Nélida Beatriz Brignole

11. (1.a) (1.b) Delta de Kronecker Forma de Lagrange •  polinomio de interpolación de grado  n para una tabla con (n+1) puntos (asumiendo abscisas xi distintas) • n diferentes formas de construir este polinomio (s algoritmos). Una alternativa es Lagrange. • El polinomio de Lagrange se escribe como: Donde i(x) con 0  i  n son polinomios de grado n con la propiedad: Dra. Nélida Beatriz Brignole

12. Construcción del polinomio • La propiedad anterior asegura que se cumplan las condiciones de interpolación. 0  i  n • Derivemos la forma de los polinomios de Lagrange: • Para satisfacer (1.a) i(x) debe tomar la forma: (2) • Para satisfacer (1.b) debe ser: Dra. Nélida Beatriz Brignole

13.  Construcción del polinomio • Reemplazando (3) en (2): (3) Dra. Nélida Beatriz Brignole

14. Construcción del polinomio Puede probarse que: Lo cual puede utilizarse como chequeo aritmético cuando calculamos a mano. Dra. Nélida Beatriz Brignole

15. Representación para abscisas equidistantes • Suele haber tablas matemáticas en las que: i   Se introduce una nueva variable s  , que mide la distancia entre x y x0 en unidades de h: Si tenemos en cuenta lo siguiente: Dra. Nélida Beatriz Brignole

16.  Representación para abscisas equidistantes OBS: La representación es independiente de h Dra. Nélida Beatriz Brignole

17. Existencia y unicidad del polinomio de interpolación • Teorema: • Si x0, x1,..., xnson números reales distintos, entonces para valores arbitrarios y0, y1,..., yn polinomio pn de grado n tal que: (0 i n) Demostración: a) UNICIDAD (por contradicción) Supongamos que existen dos polinomios distintospn(x) y qn(x). Entonces, grado(pn(x))  n y grado(qn(x))  n Dra. Nélida Beatriz Brignole

18.  0  i n   x0, x1,..., xnson (n+1) raíces del polinomio dn(x) Demostración • Si generamos el polinomio diferencia:  grado(dn(x))  n(*) Como ambos polinomios interpolan a los mismos datos, Dra. Nélida Beatriz Brignole

19. Demostración de unicidad • donde grado(dn(x)) = n +1 + grado(z(x)) (1) • ó bien • z(x)  0 (2) • Si se verifica (1) • Como grado(z(x))  0 grado(dn(x))  n+1 (**) Si comparo (*) con (**)   una contradicción Y lo que ocurre es (2) dn(x)= 0  pn(x)= qn(x) CQD  Dra. Nélida Beatriz Brignole

20. Demostración de existencia • b) EXISTENCIA (por inducción sobre el grado del polinomio) • Base: n=0 (obvia) • (x0,y0)  p0(x0) = cte (grado 0) • p0(x0) = y0p0(x0) = y0 = cte • Hipótesis inductiva: • asumo que •  pk-1(x) de grado a lo sumo (k-1) tal que • pk-1(xi)=yi 0  i  k-1 • qpq’ • pk-1(x) , grado (pk-1(x))  k tal que • pk(x)=yi0  i  k-1 Dra. Nélida Beatriz Brignole

21.  Demostración de existencia • Construyo: Obs: pk(x) interpola los datos (xi, yi)0 i  k-1 determinemos el coeficiente c de modo tal que pk(xk)= yk Reemplazando queda: Como por hipótesis xkyj k j el polinomio es  0   c CQD Dra. Nélida Beatriz Brignole