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Mathématiques SN. Les IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES. Réalisé par : Sébastien Lachance. 3 nouveaux rapports trigonométriques. Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES -. 1. cosec . COSÉCANTE :. =. sin . 1. SÉCANTE :. sec . =. cos . 1. cotan . COTANGENTE :. =.

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  1. Mathématiques SN Les IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance

  2. 3 nouveaux rapportstrigonométriques Mathématiques SN- Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - 1 cosec COSÉCANTE : = sin 1 SÉCANTE : sec = cos 1 cotan COTANGENTE : = tan

  3. Les 3 identités trigonométriques y 1 x 1 -1 -1 Mathématiques SN- Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - cos  sin  P() = ( , ) x y 1 IDENTITÉ #1 y Par Pythagore :  x2 + y2 = 12 x Donc : cos2+ sin2 = 1

  4. IDENTITÉ #2 RAPPEL À partir de l’identité #1 : 1 cos2+ sin2 = 1 = sec  cos cos2 cos2 cos2 1 = cosec  sin  1 + tan2 = sec2 1 = cot tan  IDENTITÉ #3 À partir de l’identité #1 : cos2+ sin2 = 1 sin2 sin2 sin2 cot2 + 1 = cosec2

  5. 1 1 Ex. #1 : Démontrer = 1 + sec2 cosec2 1 1 = 1 + 1 1 cos2 sin2 cos2 sin2 = 1 + 1 = 1 Ce symbole signifie que la démonstration est terminée ! On peut aussi écrire CQFD(ce qu’il fallait démontrer).

  6. cos x  tan x = sin x Ex. #2 : Démontrer cos x  sin x sin x = cos x sin x sin x = Ex. #3 : Simplifier (1 + tan2x) cos2x (sec2x) cos2x 1 cos2x cos2x 1

  7. Ex. #4 : Démontrer tan2x – tan2x sin2x = sin2x tan2x (1 – sin2x) = sin2x tan2x (cos2x) = sin2x (cos2x) = sin2x sin2 x cos2x sin2x = sin2x

  8. Ex. #5 : Démontrer – sin x = cot x cos x 1 sin x – sin2x = cot x cos x 1 sin x sin x 1 – sin2x = cot x cos x sin x cos2x = cot x cos x sin x cosx cos x = cot x cos x sin x cotx cos x = cot x cos x

  9. Résolutions d’équations à l’aide d’identitéstrigonométriques Mathématiques SN- Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Exemple : Résoudre sin x = 2 cos2x – 1 sin x = 2 (1 – sin2x) – 1 sin x = 2 – 2 sin2x – 1 sin x = -2 sin2x + 1 0 = -2 sin2x – sin x + 1

  10. Exemple : Résoudre sin x = 2 cos2x – 1 sin x = 2 (1 – sin2x) – 1 sin x = 2 – 2 sin2x – 1 sin x = -2 sin2x + 1 0 = -2 sin2x – sin x + 1 Posons sin x = a . Il faut donc résoudre : 0 = -2a2 – a + 1 a1 = et a2 = -1 sin x2 = -1 sin x1 = et

  11. y 1   3 4 5 2 4  3 3 3 6 5 3 7 4 4 4 7 5 6 6 x 1 -1 -1  3 11 2 2 6 P( ) = ( 0 , 1 ) - P( ) = ( , ) 1 3 P( ) = ( , ) 1 3 2 2 2 2 P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 P( ) = ( , ) 1 - P( ) = ( , ) 3 1 3 2 2 2 2 P( ) = ( 1 , 0 )  0 P( ) = ( - 1 , 0 ) 2 P( ) = ( 1 , 0 ) P( ) = ( , ) 1 - 3 - P( ) = ( , ) 1 - 3 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 2 2 - - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 1 - P( ) = ( , ) - 1 3 3 2 2 2 2 P( ) = ( 0 , - 1 )

  12. Exemple : Résoudre sin x = 2 cos2x – 3 sin x = 2 (1 – sin2x) – 3 sin x = 2 – 2 sin2x – 3 sin x = 2 sin2x – 1 0 = 2 sin2x + sin x – 1 Posons sin x = a . Il faut donc résoudre : 0 = 2a2 + a – 1 a1 = et a2 = -1 sin x2 = -1 sin x1 = et x1 = x1 = et

  13. y 1   3 4 5 2 4  3 3 3 6 5 3 7 4 4 4 7 5 6 6 x 1 -1 -1  3 11 2 2 6 P( ) = ( 0 , 1 ) - P( ) = ( , ) 1 3 P( ) = ( , ) 1 3 2 2 2 2 P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 P( ) = ( , ) 1 - P( ) = ( , ) 3 1 3 2 2 2 2 P( ) = ( 1 , 0 )  0 P( ) = ( - 1 , 0 ) 2 P( ) = ( 1 , 0 ) P( ) = ( , ) 1 - 3 - P( ) = ( , ) 1 - 3 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 2 2 - - P( ) = ( , ) 2 2 2 2 2 2 - P( ) = ( , ) 1 - P( ) = ( , ) - 1 3 3 2 2 2 2 P( ) = ( 0 , - 1 )

  14. Exemple : Résoudre sin x = 2 cos2x – 3 sin x = 2 (1 – sin2x) – 3 sin x = 2 – 2 sin2x – 3 sin x = 2 sin2x – 1 0 = 2 sin2x + sin x – 1 Posons sin x = a . Il faut donc résoudre : 0 = 2a2 + a – 1 a1 = et a2 = -1 Période sin x2 = -1 sin x1 = et P = x1 = x1 = x2 = et et = = 2 Réponse : x   + 2n , + 2n , + 2n  où n  

  15. Autres identités trigonométriques Mathématiques SN- Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Somme de u et v sin (u + v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u) cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v) tan (u + v) = tan(u) + tan(v) 1 – tan(u) tan(v)

  16. Somme de u et v sin (u + v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u) cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v) tan (u + v) = tan(u) + tan(v) 1 – tan(u) tan(v) Ex. : Soit u = et v = , calculer précisément sin (u + v) . + cos ( ) cos ( ) sin ( ) sin ( + ) = sin ( ) + ( ) ( ) ( ) sin ( ) = ( ) + ( ) sin ( ) = ( ) sin ( ) = + 2

  17. Différence entre u et v sin (u – v) = sin(u) cos(v) – sin(v) cos(u) cos (u – v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v) tan (u – v) = tan(u) – tan(v) 1 + tan(u) tan(v) Ex. : Soit u = et v = , calculer précisément cos (u – v) . + sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( – ) = cos ( ) + ( ) ( ) ( ) cos ( ) = ( ) + ( ) cos ( ) = ( ) + 6 cos ( ) =

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