ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -5

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-5

2. 6. Уравнение Я.Бернулли • ДУ вида: называется уравнением Бернулли. p(х), q(х)- заданные непрерывные функции или постоянные, причем n≠0 и n≠1.

3. Я́коб Берну́лли (Jakob Bernoulli, 1654-1705, Базель) — швейцарский математик, старший брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687 года). http://ru.wikipedia.org/wiki/Бернулли,_Якоб

4. Решение уравнения Я.Бернулли можно искать в виде произведения двух функций у=uv[u=u(x), v=v(x)], причем одну из них можно выбрать по своему желанию, но отличной от нуля, т.е. решить уравнение методом И.Бернулли.

5. Пример 1. Найти общее решение ДУ: Это ДУ вида Представим (неизвестное нам!) общее решение ДУ в виде:

6. Найдём производную: Подставим её в уравнение: (*) Используем своё право выбора u, взяв его таким, чтобы выражение в скобках было равно нулю.

8. Поскольку в качестве u нам надо взять какое-нибудь одно из решений ДУ, то положим С=0.

9. Подставляя в уравнение (*) и учитывая, что , получим:

10. где:

11. Общее решение ДУ: или Ответ. Общее решение ДУ:

12. Пример 2. Найти общее решение ДУ: Решение:

15. где:

16. где:

17. То есть, получим:

18. Так как , то То есть или