ระบบตัวเลข

1. ระบบตัวเลข

2. ระบบตัวเลข • เลขฐาน n: จะมีสมาชิกคือ 0,1,…,n-1 เช่น • เลขฐาน 2: 0,1 • เลขฐาน 8: 0,1,2,3,…,7 • เลขฐาน 10: 0,1,2,…,9 • เลขฐาน 16: 0,1,2,…,15 (ค่าตั้งแต่ 10 – 15 จะถูกแทนด้วย A, B, C, D, E, F)

3. การนับตัวเลข

4. การแปลงเลขฐาน • เลขฐาน 10แปลงเป็นเลขฐาน • 2, 8, 16 • เลขฐาน 2 แปลงเป็นเลขฐาน • 8, 10, 16 • เลขฐาน 8 แปลงเป็นเลขฐาน • 2, 10, 16 • เลขฐาน 16 แปลงเป็นเลขฐาน • 2, 8, 10

5. การแปลงเลขฐาน 10 เป็นฐานอื่น • วิธีคิด: สมมติว่าต้องการแปลงจากฐาน 10 เป็นฐาน x ให้นำเลขฐาน 10 ดังกล่าวตั้งแล้วหารด้วยเลขฐาน x และนำผลลัพธ์ที่ได้หารต่อด้วย x เรื่อยๆ จนกว่าจะมีค่าเป็น 0 โดยเศษที่ได้จากการหารทั้งหมดคือผลลัพธ์ ซึ่งเศษตัวแรกมีนัยสำคัญน้อยสุด ละตัวสุดท้ายมีนัยสำคัญมากสุด

6. การแปลงเลขฐาน 10 เป็นฐานอื่น ตย. จงแปลง 2510เป็นฐาน 2 25/2 = 12 เศษ 1 12/2 = 6 เศษ 0 6/2 = 3 เศษ 0 3/2 = 1 เศษ 1 1/2 = 0 เศษ 1 เพราะฉะนั้น 2510 = (11001)2

7. การแปลงเลขฐาน 10 เป็นฐานอื่น ตย. จงแปลง 2510เป็นฐาน 8 25/8 = 3 เศษ 1 3/8 = 0 เศษ 3 เพราะฉะนั้น 258 = (31)8

8. การแปลงเลขฐาน 10 เป็นฐานอื่น ตย. จงแปลง 2510เป็นฐาน 16 25/16 = 1 เศษ 9 1/16 = 0 เศษ 1 เพราะฉะนั้น 2510 = (19)16

9. การแปลงเลขฐาน 10 เป็นฐานอื่น กรณีแปลงเลขฐาน 10 ที่มีทศนิยม ให้นำเลขทศนิยมของเลขฐาน 10 คูณด้วยเลขฐาน x นำผลลัพธ์ที่ได้เฉพาะทศนิยมคูณ x ต่อเรื่อยๆ จนกระทั่งทศนิยมเป็น 0 ค่าจำนวนเต็มที่ได้เป็นคำตอบของทศนิยมเลขฐาน x

10. การแปลงเลขฐาน 10 เป็นฐานอื่น ตย. จงแปลง (0.6875)10เป็นฐาน 2 0.6875 0.3750 0.7500 0.5000 2 x 2 x 2 x 2 x 1.3750 0.7500 1.5000 1.0000 (0.6875)10 = (0.1011)2

11. การแปลงเลขฐาน 10 เป็นฐานอื่น ตย. จงแปลง (0.9375)10เป็นฐาน 8 0.9375 0.5000 8 x 8 x 7.5000 4.0000 (0.9375)10 = (0.74)8

12. การแปลงเลขฐาน 10 เป็นฐานอื่น ตย. จงแปลง (0.46875)10เป็นฐาน 16 0.46875 0.50000 16 x 16 x 7.50000 8.0000 (0.46875)10 = (0.78)16

13. แบบฝึกหัด จงแปลงเลขฐานต่อไปนี้ 1. (53)10 = (?)2 2. (137)10 = (?)8 3. (11.75)10 = (?)8 4. (2657)10 = (?)16 5. (415.65625)10 = (?)16

14. การแปลงเป็นเลขฐาน 10 • เป็นการแปลงจากเลขฐานใดๆ (เลขฐานที่ไม่ใช่เลขฐาน 10) ประกอบไปด้วย เลขฐาน 2 เลขฐาน 8 และเลขฐาน 16 เป็นเลขฐาน 10 • N = dnRn+…+d3R3+d2R2+d1R1+d0R0 หรือ • N = dnRn+…+d3R3+d2R2+d1R1+d0R0 +d(-1)R-1+d(-2)R-2 +…+d(-m)R-m (กรณีที่มีเลขทศนิยม) • dnคือ ค่าประจำตำแหน่ง, R คือ เลขฐานตั้งต้นและ n คือตำแหน่ง

15. การแปลงเป็นเลขฐาน 10 • ตย. จงแปลง 10112เป็นฐาน 10 วิธีทำ N = (1x23)+(0x22)+(1x21)+(1x20) = 8+0+2+1 =11

16. การแปลงเป็นเลขฐาน 10 • ตย. จงแปลง 1011.112เป็นฐาน 10 วิธีทำ N = (1x23)+(0x22)+(1x21)+(1x20)+(1x2-1)+(1x2-2) = 8+0+2+1+0.5+0.25 =11.75

17. แบบฝึกหัด จงแปลงเลขฐานต่อไปนี้ 1. (71)8 = (?)10 2. (11101.101)2 = (?)10 3. (AE.2)16 = (?)10 4. (2657)8 = (?)10 5. (101101)16 = (?)10

18. การแปลงเลขฐานใดๆ • คือการแปลงเลขฐานที่ไม่เกี่ยวกับเลขฐาน 10 • เช่น การแปลงจากเลขฐาน 2 เป็น เลขฐาน 16 • วิธีคิด แปลงเลขฐาน 2 เป็น เลขฐาน 10 ก่อน แปลงเลขฐาน 10 เป็นเลขฐาน 16

19. การแปลงเลขฐานใดๆ ตย. จงแปลง 258เป็นฐาน 2 ขั้นตอนที่ 1: แปลงจากฐาน 8 เป็นฐาน 10 N = (2x81)+(5x80) = 16+5 = 21

20. การแปลงเลขฐานใดๆ ตย. จงแปลง 258เป็นฐาน 2 ขั้นตอนที่ 2: แปลงจากฐาน 10 เป็นฐาน 2 21/2 = 10 เศษ 1 10/2 = 5 เศษ 0 5/2 = 2 เศษ 1 2/2 = 1 เศษ 0 1/2 = 0 เศษ 1 258 = (10101)2

21. แบบฝึกหัด จงแปลงเลขฐานต่อไปนี้ 1. (100110)2 = (?)16 2. (EFC)16 = (?)8 3. (11.75)8 = (?)16 4. (2657)8 = (?)2 5. (1101)8 = (?)16

22. การแปลงเลขฐานระหว่างฐาน 2 และ ฐาน 8(วิธีลัด) • วิธีการแปลงเลขฐานจากเลขฐาน 8 เป็นเลขฐาน 2 และ จากเลขฐาน 2 เป็นเลขฐาน 8แบบง่ายสามารถทำได้โดยการแทนเลขฐาน 8 หนึ่งหลักด้วยเลขฐาน 2 จำนวน 3 bit ดังต่อตารางไปนี้

23. การแปลงเลขฐานระหว่างฐาน 2 และ ฐาน 8(วิธีลัด)

24. การแปลงเลขฐานระหว่างฐาน 2 และ ฐาน 8(วิธีลัด) ตย. จงแปลง 258เป็นฐาน 2 2 5 010 101 เพราะฉะนั้น 258= (10101)2

25. การแปลงเลขฐานระหว่างฐาน 2 และ ฐาน 16(วิธีลัด) • วิธีการแปลงเลขฐานจากเลขฐาน 16 เป็นเลขฐาน 2 และ จากเลขฐาน 2 เป็นเลขฐาน 16 แบบง่ายสามารถทำได้โดยการแทนเลขฐาน 16 หนึ่งหลักด้วยเลขฐาน 2 จำนวน 4 bit ดังต่อตารางไปนี้

26. การแปลงเลขฐานระหว่างฐาน 2 และ ฐาน 16(วิธีลัด)

27. การแปลงเลขฐานระหว่างฐาน 2 และ ฐาน 16(วิธีลัด) ตย. จงแปลง A2716เป็นฐาน 2 A 2 7 1010 0010 0111 เพราะฉะนั้น A2716= (101000100111)2

28. การแสดงเลขฐานสองเป็นสัญญาณทางไฟฟ้าการแสดงเลขฐานสองเป็นสัญญาณทางไฟฟ้า เลขฐานสองสามารถแสดงออกมาได้เป็นเลข 0 และ 1 ซึ่งมันง่ายต่อการคำนวณเท่านั้น แต่ในทางปฏิบัติมีปัญหาอยู่ว่าทำอย่างไรจึงจะใช้ข้อมูลของเลขฐานสองในวงจรลอจิกของดิจิตอลคอมพิวเตอร์ได้ ซึ่งในลักษณะนี้สัญญาณทางไฟฟ้า จะถูกแสดงออกมาเป็น 2 ชนิด คือ 0 และ 1 โดยสัญญาณที่ถูกเลือกให้แสดงค่าเป็นลอจิก 1 และ 0 จะต้องมีค่าตายตัว เพราะว่าความเร็วและความแม่นยำคือสิ่งสำคัญอันดับแรกของวงจรดิจิตอล

29. สัญญาณทางไฟฟ้าจะต้องมีคุณสมบัติ ดังนี้ 1. ต้องใช้ได้กับวงจรที่ความเร็วอย่างเหมาะสม 2. สัญญาณเหล่านี้จะต้องง่ายต่อการใช้งานกับส่วนอื่น 3. จะต้องยากที่จะทำให้เกิดความสับสนกับสัญญาณอื่น ๆ ได้ ในรูปที่ 1.1 จะแสดงสัญญาณหลาย ๆ คู่ที่มีคุณสมบัติตามต้องการ ซึ่งจะเห็นได้ว่าสัญญาณพัลซ์ซึ่งแทนลอจิก 1 จะไม่มีการบิดเบี้ยวจนได้ลอจิกเป็น 0 หรือเป็นพัลซ์ลบหรือไม่เป็นพัลซ์ได้ ส่วนในรูปที่ 1.2 จะแสดงคู่ของสัญญาณที่ใช้แทนเลขฐานสองในลักษณะต่าง ๆ กัน

30. รูปที่ 1.1 คู่ของสัญญาณทางไฟฟ้าที่เหมาะที่จะใช้งานกับวงจรดิจิตอล

31. รูปที่ 1.2 การแสดงคู่ของสัญญาณทางไฟฟ้าเป็นดิจิตอล