复杂网络上动力系统同步的研究进展

1. 复杂网络上动力系统同步的研究进展 报告人：赵明 2005.5.

2. 多种多样的同步现象 • 夏日夜晚青蛙的齐鸣、萤火虫的同步发光； • 心肌细胞和大脑神经网络的同步； • 剧场中观众鼓掌频率的逐渐同步； ……

3. 同步的基本概念 两个或多个动力学系统，除了自身的演化外其间还有相互作用(耦合)，这种作用既可以是单向的，也可以是双向的。当满足一定条件时，在耦合的作用下，这些系统的状态输出就会逐渐趋同进而完全相等，称为同步(精确同步)。广义的同步还包括相同步和频率同步等等。

4. 同步概念的数学表述 （1） （2） 当这两个系统同步时满足： x1＝x2 ＝s。设差信号 z1 ＝x1 - s，对系统（1）在同步流形s附近做线性化，得到 （3） 差信号z1表示系统状态变量与同步流形的距离，如果随时间的演化，差信号趋近于零，就说明系统的同步状态是稳定的。反之，同步状态失稳。

5. 描述同步稳定性的另一种方法 李雅普诺夫指数是用来描述系统稳定与否的数学量，它的符号描述了系统的稳定性：若为负，系统稳定；为正，不稳定。 我们也可以用它来研究同步系统的稳定性问题：计算差信号方程（3）的李雅普诺夫指数(此时的李雅普诺夫指数被称作条件李雅普诺夫指数)，若其值为负，则同步状态稳定。

6. 复杂网络上的动力学： 研究网络结构和动力系统之间的相互影响，相互作用。同步是其中的一个重要的现象。 Pecora和Carroll 给出的同步的基本假设： (1)所有的耦合振子都是完全相同的， (2)从每个振子提取的用于耦合其它振子的函数也是完全相同的， (3)同步流形是不变流形， (4)节点的耦合方式使在同步流形附近可以线性化。

7. 复杂网络同步的定义 如果在网络的每个节点上加上一个动力学系统，这个动力学系统既可以是极限环也可以是混沌的；如果两个节点之间有边相连，就表示其间存在相互的耦合作用，就形成了一个动力学网络。 具体地，设网络有N个节点，第i个节点在n时刻的m维状态变量为xi(n)，单个节点(不存在耦合作用)所满足的状态方程是：xi(n+1)＝ F(xi(n+1))。设： H:Rm → Rm是每个节点状态变量的函数，用于对其它节点进行耦合。

8. 这样，在存在耦合作用下第i个节点所满足的状态方程是：这样，在存在耦合作用下第i个节点所满足的状态方程是： （4） 对于连续系统 （5） 其中σ是耦合强度，Gij表示耦合矩阵G的矩阵元。 耦合矩阵定义如下： （6） 其中ki是第i个节点的度，Λi是与节点i相连的节点的集合。耦合矩阵G包含了网络结构的全部信息。

9. 几种规则网络的邻接矩阵 最近邻耦合网络 星型网络 完全网络

10. 在耦合的作用下，经过一段时间的演化，使得 x1＝ x2＝ …＝xN＝ s ，网络就进入了同步状态。 当然并不是所有的网络在任意耦合强度或耦合方式下都能实现同步。 报告的内容： 1.复杂网络同步的稳定性分析 ； 2.复杂网络上动力学系统同步的特点 ； 3.网络的几何特征量对同步稳定性的影响 ； 4.提高网络同步能力的一种方法 。

11. 复杂网络同步的稳定性分析 • Pecora和Carroll的主稳定性函数(master stability function )方法 • 汪小帆和陈关荣的结论 • Chen等人的结合主稳定性函数与Gershgörin 圆盘理论(Gershgörin disk theory)方法

12. Pecora和Carroll的主稳定性函数方法 首先对动力学网络的同步流形进行线性稳定性分析。已知连续系统的状态方程 在同步状态s附近对其进行线性化，得到 （7） 其中DF(∙)和DH(∙)分别是函数F和H的m×m阶雅可比(Jacobian)矩阵。利用m×N阶矩阵z＝(z1, z2 , …, zN )重写(7)式，得 （8）

13. 根据约丹规范型(Jordan canonical forms)理论，上式的稳定性是由G的特征值γ决定的，设其对应的特征向量为e，并且令u＝z·e，将e右乘上式，得到 （9） 这样原来要讨论的m×N维空间的稳定性问题被简化到m×m维空间，并且通常情况下m<<N。 以上是利用连续系统进行讨论，离散系统可给出类似(9)式的结论。

14. 我们可以利用(9)式计算单个系统的李雅普诺夫指数(Lyapunov exponents)，设这些指数分别为 注意到由于 ，γ=0总是G的一个特征值，相应的特征向量是(1 1 … 1)T，它对应同步流形模式。其它N－1个特征向量所张成的子空间横截于同步流形，如果所有这些横截李雅普诺夫指数都小于零，系统稳定。设σγ=α+iβ并代入(9)中， （10） 计算最大李雅普诺夫指数λmax随α和β的变化关系，这就是Pecora和Carroll定义的主稳定性函数。

15. 长波分岔(long-wavelength bifurcation or LWB) 短波分岔(short-wavelength bifurcation or SWB) 中波分岔(intermediate-wavelength bifurcation or IWB)

16. 对称耦合情况下最大李雅普诺夫指数的变化规律对称耦合情况下最大李雅普诺夫指数的变化规律 设拉普拉斯算子的特征值 线性稳定同步状态的存在条件： 即

17. 汪小帆和陈关荣的结论 陈关荣等人在他们的工作中给出下面的定理。 设网络的状态方程是： （11） 定理：考虑动力学网络(11)，令 为耦合矩阵G的特征值，设有m×m阶对角阵D>0以及两个常数 和 ，使得 （12） 对所有 都成立， 是单位阵。如果 （13） 也成立，那么同步状态稳定。

18. 由于 、 ，不等式(6)等价于 （14） λ2的值越小， |λ2|的值越大，这表明网络(11)可以在一个很小的耦合系数下同步。因此，在特定的耦合方式下，耦合矩阵G的第二大特征值表征了网络(11)的同步能力。 Wu和Chua的工作表明：只要耦合强度的值足够大，都会使耦合振子系统进入同步状态。

19. Pecora和汪小帆等人的工作矛盾？ 连续系统同步区域无界(图(a))或有界(图(b))由耦合方式和系统的其它参量决定。 Pecora等人研究的是同步区域有界情况下的同步稳定条件，汪小帆等人研究的是同步区域无界情况下的同步稳定条件。

20. 几点结论 • 当网络结构相同时，如果节点上的动力学系统不同，网络的同步稳定性是不同的。 • 当节点上的动力学系统相同，但耦合方式不同，即使将该系统放在同样的网络结构上，动力学网络的同步的稳定性仍然不同； • 对于同一个动力学系统，相同的耦合方式，网络结构对动力学网络的同步稳定性也有影响。 动力学系统、耦合形式、网络结构决定了动力学网络同步稳定性

21. Chen等人的结合主稳定性函数与Gershgörin 圆盘理论的方法 前面的分析方法都是要计算耦合矩阵的特征值，对于复杂网络来说计算出的都是近似值，因此前述的方法都是近似方法。Yonghong Chen 等人将主稳定性函数方法与Gershgörin 圆盘理论(Gershgörin disk theory)结合，为网络结构对同步稳定性的影响给出了更精确的理论。 Gershgörin 圆盘定理的内容是：一个n×n阶矩阵A=[aij]的特征值处于n个圆盘的并集中，这些圆盘的定义是： (15)

22. 将Gershgörin 圆盘定理应用于复杂网络同步稳定性的研究中，需要将对应于同步流形的特征值0去掉，下面我们首先介绍该过程。 设有矩阵G，已知它的一个特征值是 ，对应的特征向量是e。通过变换可以使e的任一部分等于1。在这里，不失一般性，我们令第一个元素为1，那么e=(1,eN-1T)T。将G写成下面的形式： 其中：

23. 取 通过P对G进行相似变换，并设 得到 由于P-1GP与G有相同的特征值谱，那么(N-1)×(N-1)阶矩阵D1=GN-1-eN-1rT与G有除了 外相同的特征值。 通过变换令e的不同元素为1，可以得到N个不同的约化矩阵，用Dk(k=1,2,…,N)表示。

24. 将上述方法用于耦合矩阵G中，令 ，e=(1 1 … 1)T，得到Dk=[dijk]，其中dijk=Gij－Gkj。根据Gershgörin圆盘定理，动力学网络同步稳定性条件表述如下： (1) 每个Gershgörin圆盘的中心位于稳定区域 即 ； (2)每个Gershgörin圆盘的半径满足不等式 (16) 这里δ(x)是实轴上x到稳定区域的边界的距离。

25. 几个规则网络的同步能力 • 最近邻耦合网络:耦合矩阵的特征值 其中 特征值比 • 星型网络: 特征值比 • 完全网络:耦合矩阵的特征值只有0和－N 特征值比

26. 复杂网络上动力学系统同步的特点 • 小世界网络上的相和频率同步； • 小世界网络上动力学系统的精确同步； • 小世界网络的快速响应和相干振动现象； • 无标度网络的精确同步 。

27. 小世界网络上的相和频率同步 Hong，Choi和Kim在WS型小世界网络的每一个节点上放置一个振子，节点i上的状态由位相 描述，网络上N振子系统的动力学方程是： (17) K是耦合强度，Λi是与节点i相连接的节点的集合， ωi是节点i的固有频率，它们依据分布函数g(ω)随机取值。

28. 网络上耦合振子系统运动的整体行为由以下两个参数表示：网络上耦合振子系统运动的整体行为由以下两个参数表示： (18) (19) <…> 对时间求平均； […] 对各种可能的固有频率取值的实现方式求平均； c是一个足够大的常数。 当达到相和频率同步时，m →1，q → 1；反之m →0，q → 0。

29. 取k＝3，固有频率取自方差为1的高斯分布函数 重连概率为P～0.5时得到了和P＝1时几乎相同的同步结果。

30. 耦合强度、重连概率空间中的相同步临界曲线 不同耦合强度下实现相同步和频率同步的驰豫时间 当重连概率增加到0.5时，网络的同步就达到了“饱和”，再次表明当P＝0.5时就能得到和P＝1接近的同步效果

31. Hong，Choi和Kim还研究了热噪声和相的随机淬火对相同步的影响，当存在热噪声时，网络上N振子系统的动力学方程是：Hong，Choi和Kim还研究了热噪声和相的随机淬火对相同步的影响，当存在热噪声时，网络上N振子系统的动力学方程是： (20) 这里J是耦合强度； ωi依据高斯分布随机取值，高斯分布的方差为σ2，当所有振子的频率相同(σ2=0)时，系统没有随机淬火，系统退化为经典的XY自旋模型；ηi表示热噪声，即平均值为零的白噪声，其相关性为： (21) 噪声幅值T(>=0)可认为是波尔兹曼常数为1(kB=1)的系统的温度。

32. (a)σ2=0.00，(b)σ2=0.05。当没有随机淬火时，如果系统的温度很低，即使重连概率很小，系统也能实现相同步；但是，当存在随机淬火时，即使系统温度很低，也只有在重连概率比较大的情况下系统才能实现相同步。即随机淬火不利于网络的相同步。(a)σ2=0.00，(b)σ2=0.05。当没有随机淬火时，如果系统的温度很低，即使重连概率很小，系统也能实现相同步；但是，当存在随机淬火时，即使系统温度很低，也只有在重连概率比较大的情况下系统才能实现相同步。即随机淬火不利于网络的相同步。

33. 相同步临界曲线 O:同步区域，D:非同步区域

34. 小世界网络上动力学系统的精确同步 长程连接网络(1996 ，Gade)：设有N个独立的节点，每个节点都随机的与其它k个节点相连接，允许节点的重连和自连。耦合振子满足的动力学方程是： (22) 设λ0是耦合矩阵对应于特征向量e=(1 1 … 1)T的特征值，其它N－1个特征值λi，i=1,2,…,N －1，其顺序是 ，设映射f的李雅普诺夫指数是λ

35. 那么网络同步状态稳定的条件是：只有|λ0eλ |>1，其它|λieλ |<1，对所有i=1,2,…,N －1都成立。因此，只要耦合矩阵的非λ0的绝对值最大的特征值小于一常数，即 |λ1|<e -λ， 同步状态就是稳定的。 Gade发现对于长程连接|λ1|与 成正比。 中程连接网络(近邻耦合网络)(1999 ，Gade和胡进锟)：与长程连接网络不同，其同步能力取决于节点每一边邻居的数目与总节点数的比值，而不是这一数目本身。

36. NW型小世界网络(2000 ，Gade和胡进锟)：网络的同步能力与长程连接网络相似，是由与某个节点耦合的长程节点数决定，即|λ1|与 成正比，p是加边概率。 不是与某个节点耦合的节点数与网络总节点数的比而是其数目决定了同步的稳定性

37. 汪小帆、陈关荣关于（NW型）小世界网络同步的结论汪小帆、陈关荣关于（NW型）小世界网络同步的结论 对于一定的节点数目N，当加边的概率p从0到1变化时，耦合矩阵次最大特征值降到-N

38. 对于一定的加边的概率p ，节点数目N增加到时，耦合矩阵次最大特征值降到 加边概率、节点数目空间中的相同步临界曲线

39. Barahona和Pecora得出的(NW型)小世界网络的同步性质Barahona和Pecora得出的(NW型)小世界网络的同步性质 (a) (b) (a)随机网络(点划线)、近邻耦合网络(方块(数值模拟)和实线(理论分析))和小世界网络(点线)的拉普拉斯算子的特征值比同f的变化关系，f表示网络的边数与同样节点数目的完全网络的边数的比值 (b)在同样的网络规模下不同的网络实现同步所要求的边数比f，

40. 祁丰、侯中怀和辛厚文给出了钟摆模型的小事界网络同步能力分析祁丰、侯中怀和辛厚文给出了钟摆模型的小事界网络同步能力分析 祁丰、侯中怀和辛厚文研究了一种与小世界网络相似的网络的运动规律。该网络的模型是：满足自由边界条件的最近邻耦合网络，随机地加入M条捷径，捷径数与总的可能的捷径数的比是q=2M/(N－1)(N－2)。在每个节点上放置一个受迫阻尼钟摆，钟摆所满足的运动方程是： (23) θn表示第n个节点上钟摆的摆角，n=0,1,…,N－1，N=128

41. 当q＝0.0时，系统处于时空混沌状态；当q＝0.01时，M～80，系统在空间上处于同步态而在时间上处于周期运动状态；当q＝0.02时，系统在空间上仍处于同步态而在时间上处于混沌态了。这表明随机的捷径可以使混沌运动规则化，并且存在一个最优的随机程度使得系统运动最规则。当q＝0.0时，系统处于时空混沌状态；当q＝0.01时，M～80，系统在空间上处于同步态而在时间上处于周期运动状态；当q＝0.02时，系统在空间上仍处于同步态而在时间上处于混沌态了。这表明随机的捷径可以使混沌运动规则化，并且存在一个最优的随机程度使得系统运动最规则。

42. 为了进一步量化他们的结论，祁丰等人还引入了一个参数τ， τ值越大表示系统的运动越规则 τ随比率q的变化关系 带误差棒的圆点:小世界网络,虚线:随机网络 插图:当增大近邻耦合范围，即每个节点与K个邻居耦合， τ随K的变化规律 给规则网络随机的增加捷径更有助于系统形成规则的时空行为

43. 小世界网络的快速响应(fast response)和相干振荡(coherent oscillations)现象 Lago-Fernández等人分析了以Hodgkin-Huxley神经元为节点上动力学系统的近邻耦合网络、WS型小世界网络和随机网络的运动规律，发现近邻耦合网络虽然能够形成网络整体上的相干振荡但对刺激的反应速度很慢；随机网络虽然对刺激能够作出快速响应，但形成不了相干振荡；而小世界网络对刺激的反应既迅速，又能形成大振幅的相干振荡，可以很好的描述神经网络的快速响应和相干振荡现象

44. 规则网络：一致振荡 小世界网络：快速相应、一致振荡 随机网络：快速响应

45. 无标度网络的精确同步汪小帆、陈关荣关于无标度网络同步的结论无标度网络的精确同步汪小帆、陈关荣关于无标度网络同步的结论 耦合矩阵次最大特征值 (24)

46. 无标度网络同步的鲁棒性和脆弱性

47. Lind、Gallas和Herrmann对无标度网络同步规律的研究Lind、Gallas和Herrmann对无标度网络同步规律的研究 Lind等人以Logistic映像为节点上的动力学系统，研究了无标度网络同步稳定性与随节点上的动力系统和拓扑参数的函数关系。在他们的研究中，当存在耦合作用时节点所满足的动力学方程是： (25) 函数 f 取Logistic映像 f (x)=1-ax2。参数α是用来调节耦合的均匀性的实数：当α为正值时，度大的点具有更大的耦合强度；反之当α<0时，度小的节点起到更大的作用；α＝0表示节点间的均匀耦合。

48. 三种无标度网络模型 • 随机无标度网络(BA网络) • 确定性伪分形无标度网络(deterministic pseudofractal scale-free network) • 阿波罗网络(Apollonian network)

49. 随机无标度网络上的同步规律1 • 动力学网络的同步能力除了受耦合强度ε的影响外，更主要地收到了网络生成时加入的每个节点伸出的边数k的影响；

50. 2 • 分割网络同步与否的临界耦合强度εc是临界边数kc的幂函数，即 ，指数μ的取值由动力学参数a决定；