正弦函数、余弦函数的图象和性质

1. 正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数、余弦函数的图象和性质 正弦函数、余弦函数的图象和性质

2. （1）正弦函数、余弦函数的定义域、值域： y 1 o -  4 3 2 5 -4 -3 -2 6 x -1 y 1 o -  4 3 2 5 -4 -3 -2 6 x -1 y=sinx (xR) y=1 y= -1 y=cosx (xR) y=1 y= -1 定义域 值 域 y=sinx R [ - 1, 1 ] y=cosx R [ - 1, 1 ]

3. y 1 o -  4 3 2 5 -4 -3 -2 6 x -1 （2）正弦函数、余弦函数的周期性： y=sinx (xR) 观察函数图像，你还有什么发现？ 有什么规律？ 自变量x每隔2π时函数值y都相等 也就是图像有规律地不断重复出现！

4. 周期函数的定义： 对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时， 都有f(x+T)=f(x) 都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数。不为零 的常数T叫做这个函数的周期。 为什么有这些规定？ 隐含条件： xf(x)的定义域 x+Tf(x)的定义域 从图上观察，正弦函数、余弦函数的周期各为多少？

5. y y=sinx x∈R 1 o x -π -4π -3π -2π π 2π 3π 4π -1 y y=cosx x∈R 1 o π 2π 3π 4π -4π -3π -2π -π x -1

6. 判断“对于函数y=sinx，因为 所以 是y=sinx的周期”对吗？为什么？ 想一 想！ 不对！ 注意：周期性要对定义域内的“每一个值” 都成立！

7. 最小正周期的定义： 对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期。 ??? 任何周期函数都有最小正周期吗？ 以后说函数的周期都是指最小正周期！ 不是的！ 如：常数函数f(x)=c( c为常数），任意非零常数都是它的 周期，由于不存在非零的最小正实数，所以f(x)=c(c为常数） 没有最小正周期。 那么正弦函数、余弦函数的最小正周期各为多少？

8. 例1 求函数y=3cosx的周期 若没特殊说明，都是求最小正周期！ 分析：可以从数、形两方面来入手。 解法（1）：因为对于一切xR，3cos(x+2π)=3cosx 所以y=3cosx 的周期是T＝2π 解法（2）：画出函数图像 图像变化，周期不变，仍是2π。

9. 所以函数y=2sin( x- )的周期是T=4π. 例3.求函数y=2sin( x- )的周期 解：设u= x- 则y=2sinu的周期是2π 即2sinu ＝2sin(u+2π) 所以 2sin( x- )=2sin( x-- +2π) =2sin[ (x+4π)+ ] π π π π π π 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 2 2 2 2 例2.求函数y=sin2x的周期 谁对周期有影响？ x的系数2 怎样影响？ 用换元法 将未知转化为已知

10. 例4.求函数y=Asin(ωx+Φ)的周期（其中A、 ω、 Φ为常数，且A 0，ω>0，xR) Asin[(ωx+Φ)+2π] = Asin(ωx+Φ) Asin[(ωx+2π)+Φ] = Asin(ωx+Φ) Asin[ω(x+ )+Φ] = Asin(ωx+Φ) 即 f(x+ )=f(x) 所以 函数周期为T= 2π 2π 2π ω ω ω 解：设u= ωx+Φ 因为 y=Asinu的周期是2π 即 Asin(u+2π)=Asinu

11. 例5.求下列函数的周期。

12. 小　结 一 研究函数周期的意义； 二 对于函数周期定义应注意： 1 f(x+T)=f(x)(T不为零）是周期函数的本质属性； 2 定义中的“每一个值”是关键。 三 周期函数的周期与最小正周期的区别与联系： 1 周期函数的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，若存在必定唯一，周期函数的周期有无数个； 如：f(x)=c(常数），任意非零常数都是它的周期，由于不存在非零的最小正实数，所以f(x)=c(常数）没有最小正周期。 2 周期函数的最小正周期一定是这个函数的周期， 反之不然。 如： 2π是y=sinx的最小正周期，也是函数的周期，4π是函数周期，但不是最小正周期。