专题十一应用题的解法

专题十一应用题的解法 第二部分

应用题的解法 试题特点＞＞ 03 应试策略＞＞ 06 考题剖析＞＞ 15

应用题的解法 试题特点应用题能考查学生对数学知识的灵活转化和实际应用的能力，能全面体现学生的数学综合素质，所以很受试卷命题人的青睐，并成为每年高考题的必备题型.高考应用题是高考成绩的分水岭，许多中等成绩的同学在处理此类题目时，往往难以下手，不知如何处理繁杂的条件，如何建立数学模型；在运算时，由于生活经验的缺失，不知如何处理数据.这些都是常见的错误。 ←返回目录

应用题的解法 试题特点近三年高考应用题出现如下特点： 1.命题点集中：2005年应用题，除了上海、湖南、天津；2006年应用题除上海(三角)、湖北(抽样)、江苏(立几)以外所有省市命题均集中在概率与统计这一知识点，等可能事件、互斥事件、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列及数学期望结合出题成为热点.但对于2007年各地试卷而言,虽说概率统计还是出应用题的热门素材(有11道)外,另传统内容也出现了回热现象,涉及函数4道,三角2道,数列1道,立几1道,更有宁夏/海南卷出现了三角与概率各一道共两道应用大题。 ←返回目录

应用题的解法 试题特点 2.背景丰富公平：应用题命题背景出现了种子发芽、五局三胜的比赛、射击、取球、中奖等等学生耳熟能详，审题时认同感强，理解准确。 3.运算设计合理，应用题主要出现在18题—20题，题目难度不是很大，但题目设计的运算有数字运算也有字母运算，对运算的稳定度、运算的准确度要求较高。 ←返回目录

应试策略 ←返回目录

应用题的解法 应试策略 1.应用题的背景丰富，题目灵活多变，但应用题的解答却是一个程序化的过程：（1）审题：解题的前提；应用题往往题干较长，文字表述较多.在审题时，要注意抓住题目中的关键词、关键句，如：至多、至少、直到两人中有一人取到白球，尤其是题目中出现的新词，往往这些新词是平常生活中不太熟悉的，要求把这些新词单独提取出来，如：2005年湖南卷中出现的新词汇有：鱼群的总量、鱼群的繁殖量、被捕捞量、死亡量；当这些词汇被提取出来后，要理顺各种数量之间的关系，解题就可以进入第二步. ←返回目录

应用题的解法 应试策略（2）建模：即用数学语言翻译文字描述，并建立数学模型，这是解题的关键；数学模型的建立主要有两种途径，一利用所学的数学知识如函数、数列、不等式、圆锥曲线、概率等，与题目所给信息相结合，建立数学模型；二是利用题目所给的已知量、未知量、常量、变量等建立数学关系，题目中所给的条件就是题目中所出现的新词汇，如湖南卷中出现的新词汇就可以组成等量关系：鱼群第n+1年的总量=鱼群第n年的总量 +鱼群的繁殖量—被捕捞量—死亡量. ←返回目录

应用题的解法 应试策略（3）运算：基本等同于常规理论题的解答，这是正确解答必不可少的环节，应用题的运算包括字母运算和数字运算，无论哪种运算，都要求考虑实际的意义、题目的要求精度（如保留几位小数等）、运算方法的优化问题等. 综上分析，应用题是用文字表述，具有一定的事理，它和一般解答题有明显的不同.一般解答题有现成的式子，计算方法和次序都是明确的，逻辑推理能力要求高，而应用题同时还考查了学生的“用所学基础知识分析和解决问题的能力”。 ←返回目录

应用题的解法 应试策略 2.应用题在考查知识上主要有：（1）函数、不等式的应用题，大多是以函数知识为背景设计，所涉及的函数主要是一次函数，反比例函数，二次函数、分段函数，以及形如y=ax+ 的函数等.解答此类应用题一般都是从建立函数表达式入手，将实际问题数学化，即将文字语言向数学的符号语言或图形语言转化，最终构建函数、不等式的数学模型，在题目给出的实际定义域内求解.此类题目在求解时，要注意仔细分析，捕捉题目中的新词汇及数量关系，对于较复杂的数量关系可以根据事物的类别、时间的先后、问题的项目对题目中给出的已知量、未知量、常量的归类，或画出图表，建立等式、不等式，将复杂的数量关系清晰化，从而建立数学模型，进行求解，最后还要注意检验所求是否符合实际意义. ←返回目录

应用题的解法 应试策略（2）数列、不等式应用题，大多以数列知识知识为背景，所涉及的知识有数列的首项、通项公式、项数、递推公式、前n项和公式及an与Sn的关系等等；常见的命题点有：平均增长率、利率（复利）、分期付款、等值增减或等量增减的问题.常用的数学模型有：①构造等差、等比数列的模型，然后应用数列求和或特殊数列求和求解；②利用无穷等比数列的求和公式求解，往往与极限结合出题；③构造数列通项的递推公式或Sn的递推公式，利用待定系数法或an与Sn的关系求解，注意n的范围问题；④通过类比归纳得出结论，用数学归纳法或数列的知识求解.

应用题的解法 应试策略 (3)三角、向量应用题，引入角作为参变量，构造三角形，借助正弦定理、余弦定理、三角函数公式、三角函数的最值、反三角函数、向量、不等式、图象的对称及平移等知识，求解实际问题，对于参变量的角要注意角的范围. (4)解析几何应用题，在新教材引入“线性规划”后，使此类题目的命题点从原来的椭圆应用题、双曲线应用题、抛物线应用题又增加了线性规划应用题，解此类应用题往往在理解题意的基础上，利用先行规划求最优解、直线的夹角定比分点公式、或利用圆锥曲线的定义或性质、使用导数与切线的关系等求解问题.

应用题的解法 应试策略 (5)排列组合、概率应用题，此类问题无论从内容还是从思想上都能体现实际应用的意义.排列组合的问题、抽样方法常出现在选择或填空的小应用题，常考查有限定条件的组合与排列问题，从正面或反面入手，当限定条件较多时，正面求解要注意树图列举法的使用或分类讨论思想的应用；当正面突破较困难时要注意反面考虑；抽样方法主要考查概念，在选择填空题里出现较多，属于容易题.概率题目主要出现在解答题，分布列及数学期望是高考的热点，考查分类讨论、化归思想，独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望及方差、标准差；正态分布都可能成为考查的对象.

应用题的解法 应试策略 3.要做好高考应用题，要注意以下三个方面： (1)文字关：即阅读理解题意，罗列题目的条件，分清题目中的已知量、未知量、常量、变量、新词汇，分析题目所求，思考可能采用的方法——审题 (2)建模关：建立数学模型主要包括代数建模、几何建模，其中代数建模主要利用函数、数列、不等式、概率等知识进行建模，其难度主要在阅读题意，建立等式或不等关系上；几何建模主要是利用解析几何知识，建立直角坐标系，使实际问题几何化，解决实际问题. (3)运算关：考查学生运算的稳定度，精确度.

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应用题的解法 考题剖析 1.（2007·梅州市二模）某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元。（Ⅰ）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；（Ⅱ）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）.问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析［解析］（Ⅰ）设该厂应隔x(x∈N+)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1 ∵饲料的保管与其它费用每天比前一天少200×0.03=6（元）， ∴x天饲料的保管与其它费用共是 6(x－1)+6(x－2)+…+6=3x2－3x(元) 从而有y1= (3x2－3x+300)+200×1.8= +3x+357≥417 当且仅当 =3x，即x=10时，y1有最小值即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析（Ⅱ）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则 y2= (3x2－3x+300)+200×1.8×0.85= +3x+303(x≥25) ∵y′2=－ +3 ∴当x≥25时，y′2＞0，即函数y2在［25，+∞)上是增函数 ∴当x=25时，y2取得最小值为390，而390＜417 ∴该厂应接受此优惠条件 ←返回目录

应用题的解法 考题剖析［点评］这是一道以常见的进货及储存费用为背景而命题的应用题.审题时要注意是平均价格的计算，此题涉及到利用基本不等式求最值的知识，要注意应用均值不等式的条件，在第一问中可以直接应用均值不等式进行计算，而第二问最利用函数的单调性来求解. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析 2.（2007·福建）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为(12－x)2万件.（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a). ［解析］（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为: L=(x－3－a)(12－x)2，x∈［9，11］. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析（Ⅱ）L′(x)=(12－x)2－2(x－3－a)(12－x) =(12－x)(18+2a－3x). 令L′=0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a≤5，∴8≤6+ a≤ . 在x=6+ a两侧L′的值由正变负. 所以: （1）当8≤6+ a＜9即3≤a＜时， Lmax=L(9)=(9－3－a)(12－9)2=9(6－a). ←返回目录

应用题的解法 考题剖析（2）当9≤6+ a≤ 即 ≤a≤5时， Lmax=L(6+a)=(6+ a－3－a)［12－(6+ a)］2=4(3－ a)3，所以Q(a)= 答：若3≤a＜，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=9(6－a)（万元）；若 ≤a≤5，则当每件售价为(6+ a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3－ a)3（万元）. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析［点评］本题主要考查函数及应用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力. 本题关键是求出利润L（万元）与售价x的函数关系式，从而将待求的最值转化为目标函数——三次函数的最值，这时方法明朗即利用导数求最值. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析 3.（2007·湖南部分学校联考）关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：方案甲：按现状进行运营.据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元. 方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力.港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营.据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的4年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第5年的水平上. （1）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？（2）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（收益＝收入－投资） ←返回目录

应用题的解法 考题剖析［解析］（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数. 在方案乙中，前4年的总收入为 =2600＜6000,故n必定不小于5，则由2600+320·1.54(n－4)＞6000，解得n＞6 ,故n的最小值为7. 答: 从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析（2）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1, y2万元，则 y1=760n－［50n+ n(n－1)·20］=－10n2+720n, 当n≤4时，则y1＞0, y2＜0,可得y1＞y2. 当n≥5时，y2=2600+320·1.54(n－4)－6000=1620n－9880，令y1＜y2, 可得1620n－9880＞－10n2+720n, 即n(n+90)＞998, 由10(10+90)＞998, 9(9+90)＜998, 可得n的最小值为10. 答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析［点评］这是一道数列应用题，同时涉及到方案的选择问题.在数列应用问题中，“增长率”的问题一般是等比数列问题，“比上一年增加了多少”往往是等差数列问题. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析 4.（2007·湛江市高考预测卷一）高校招生是根据考生所填报的志愿，从考试成绩所达到的最高第一志愿开始，按顺序分批录取，若前一志愿不能录取，则依次给下一个志愿（同批或下一批）录取.某考生填报了三批共6个不同志愿（每批2个），并对各志愿的单独录取以及能考上各批分数线的概率进行预测，结果如“下表”所示（表中的数据为相应的概率，a、b分别为第一、第二志愿）. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析（Ⅰ）求该考生能被第2批b志愿录取的概率；（Ⅱ）求该考生能被录取的概率；（Ⅲ）如果已知该考生高考成绩已达到第2批分数线却未能达到第1批分数线，请计算其最有可能在哪个志愿被录取？（以上结果均保留二个有效数字） ←返回目录

应用题的解法 考题剖析［解析］分别记该考生考上第1、2、3批分数线为事件A、B、C，被相应志愿录取为事件Ai、Bi、Ci，（i=a、b）, 则以上各事件相互独立. （Ⅰ）“该考生被第2批b志愿录取”包括上第1批分数线和仅上第2批分数线两种情况，故所求概率为 P1= =0.6×(1－0.8)(1－0.4)(1－0.9)×0.5+(1－0.6)×0.8 ×(1－0.9)×0.5 =0.45. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析（Ⅱ）设该考生所报志愿均未录取的概率为P2，则 P2= =0.6×(1－0.8)(1－0.4)(1－0.9)(1－0.5)(1－0.95)(1－0.8) +(1－0.6)×0.8×(1－0.9)(1－0.5)(1－0.95)(1－0.8) + (1－0.6)(1－0.8)×0.9×(1－0.95)(1－0.8)+(1－0.6)(1－0.8) (1－0.9)≈0.00892. ∴该考生能被录取的概率为P=1－P2=1－0.00892≈0.99. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析（Ⅲ）由已知,该考生只可能被第2或第3批录取，仿上计算可得各志愿录取的概率如下表所示. 从表中可以看出，该考生被第2批a志愿录取的概率最大，故最有可能在第2批a志愿被录取. ［点评］自从高中引入概率统计知识后，这块知识就一直是高考中出应用题的热点.解概率题首先要区分应用的概率类型是什么？然后要注意将复杂事件拆分为“和事件”或“积事件”的概率来解. ←返回目录

应用题的解法 考题剖析 5.（2007·湖南部分中学期中考试）某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A、B、C、D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙在各设备上需要的加工台时数于下表给出.已知各设备在计划期内有效台时数分别是12，8，16，12（一台设备工作一小时称为一台时），该厂每生产一件产品甲可得利润2元，每生产一件产品乙可得利润3元，问应如何安排生产计划，才能获得最大利润？ ←返回目录

应用题的解法 考题剖析［解析］设计划期内生产甲x件，生产乙y件，则即 ←返回目录

应用题的解法 考题剖析目标函数z=2x+3y，作直线2x+3y=t 如图所示，可见当直线2x+3y=t过A 点时，它在y轴上的截距最大，从而t最大. 显然A点坐标为（4，2）. ∴当x=4，y=2时，可获得最大利润14元. ［点评］这是一个线性规划问题，设恰当的未知量，寻找约束条件，得到目标函数，这是把实际问题向数学问题转化的过程，其求解过程实质是数形结合的应用过程. ←返回目录

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