KULMAN PUOLITTAJA

1. KULMAN PUOLITTAJA Kulman puolittaja on kulmaan kärjestä alkava puolisuora, joka jakaa kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi. k a/2 k Uraehto: Kulman puolittaja on niiden pisteiden muodostama ura, jotka ovat yhtä etäällä kulman kyljistä. a/2 Huomaa että kulmanpuolittaja tai sen jatke jakaa annetun kulman tai sen eksplementtikulman kahteen yhtä suureen osaan. C Lause 1 Jokainen kulmanpuolittajan piste on samalla etäisyydellä kulman kyljistä tai niiden jatkeesta. P Oletus: Olkoon P mielivaltainen kulman ABC puolittajan piste. B Väitös: Etäisyys pisteestä P molemmille kulman kyljille on sama eli PC = PA. ja CPB yhteneviksi. Todistus: Todistamme kolmiot ABP A • sivu PB on kolmioille yhteinen • molemmissa kolmioissa on suora kulma (etäisyys mitataan kohtisuoraan). • B-kärjen kulmat ovat alkuperäisen puolikkaita ja siten keskenään yhtä suuria. • KKS:n mukaan kolmiot ovat yhtenevät ja vastinosina PC = PA. • Erikoistapauksia: M.O.T. psallinen

2. C Lause 2 Jokainen tason piste, joka yhtä etäällä molemmista kulman kyljistä tai niiden jatkeista, on kulman puolittajan piste. P B Oletus: Kulma ABC sekä piste P, joka on yhtä etäällä kulman kyljistä. Väitös: P on kulman puolittajan piste. Todistus: Yhdistetään piste P ja kulman kärkipiste B. Saamme kaksi kolmiota ABP ja CPB, jotka ovat yhteneviä (SSK) koska: A • Sivu AP = sivu CP oletuksen mukaan. • Sivu BP on kolmioille yhteinen ja siten molemmilla yhtä suuri. • Kulma BCP ja kulma BAP on molemmilla kolmioilla suora. Vastinosina ovat kulmat CBP ja ABP yhtä suuria eli piste P on kulmanpuolittajalla. Erikoistapauksia: 1) Kulma on 180 astetta. 2) Kulma on väillä 180 – 360 astetta. Annetun kulman puolittaminen geometrisesti ( harpilla ja viivaimella): 1) Piirretään kulman kärki B keskipisteenä ympyräviiva, joka leikkaa kylkiä kohdissa A ja C. C 2) Piirretään leikkauspisteet A ja C keskipisteinä saman säteiset ympyrät jotka leikkaavat toisiaan pisteessä P. B 3) Yhdistetään kulman kärki ja piste P. P 4) Kolmiot CPB ja ABP ovat yhteneviä ( SSS ) ja vastinosina A kulman B kärjen osat ovat yhtä suuria keskenään ja BP puolittaa kulman. psallinen