第四章 态和力学量的表象

1. 第四章 态和力学量的表象 引入：三维空间中的一个矢量 ，可在直角坐标系OXYZ下表示为 在三个坐标轴上的投影。 （Ax，Ay，Az），其中Ai(i=x,y,z)是 同一个矢量 也可以在另一个旋转 角（绕Z 轴的）直角坐 标系O 下表示为（ ），二组投影分量之间 可以用矩阵或线性方程组进行变换。 矢量也可在球坐标系下 为（Ar，A A ），与（Ax，Ay，Az)之间也可以作坐标变换。一个矢量可以在不同的坐标系下表示，即有许多等价的表示方式，可根据解决问题的方便需要来选择。 量子力学的状态和力学量的具体表达方式称为表象（repreenstation) 通过广义傅利叶变换，可以将（x）坐标表象的状态矢量变换为以P,E，L等算符的状态矢量，即变换到动量表象，能量表象，角动量表象等。

2. Chapter 4.1 态的表象 一，状态 用动量为变量的波函数描写: 1, 其中 （1） (2) 简记：c(p)=( (3) 归一化：

3. 中的几率。实际上 粒子动量值在p—p+dp 为同一状态 在动量表象中的波函数。 (4) 的自由粒子的态： 2，具有确定动量值的 则 :变量 ：确定值 略去含时因子： 简记： （5）或（6）是具有确定动量 的粒子的状态在动量表象中的表示。 3，具有确定坐标的粒子状态在坐标表象中的表示: (7)也是坐标表象中坐标算符 的本征值方程。

4. 二，状态 在任意力学量 的表象中的表示 1，分立谱，例如无限深势阱中电子 ，H原子中电子束缚态 ,谐振子 ,设力学量 的算符 具有分立的本征值： 对应分立的本征函数： 则可以用正交归一完全系 将 展开为级数： 其中 简记： 归一化：

5. 即若 已归一化，则 也自然归一化。 是在 所描写的态中测量力学量 Q 所得结果为Qn的几率，而数列 就是 所描写的态在 Q 表象中的表示。写为 列矢量： 其转置复共轭为： ：dagger 归一化：

6. 2,分立谱+连续谱 例如，氢原子中电子能量 ：束缚态 ,电离态 连续；有限深方势阱，当 为束缚态， 分立 ， 则连续， 也是 又：完全连续谱例子：电子自由运动时的动量，动能，自由粒子的坐标 ，H原子 中电子的 坐标表象的波函数 用 算符的本征函数系 展开： 例如 ,H基态的 表象波函数 即为状态 在 p 表象中的表示， 即测得力学量 Q 数值为Qn 的几率，而 即测得力学量 Q 值的结果在 内的几率。 归一化：

7. 状态矢量： 归一化： 归纳：求力学量Q 表象中波函数 ,即用Q 算符的本征 函数的共轭 与坐标空间波函数相乘并积分:

8. 三，希尔伯特空间(Hibert space) 1，状态 态矢量，选定一个Q 表象，即选定一特定的坐标系来描述 ， 的本征函数 系 即为这个表象中的基矢， 表象中的波函数 即态矢 量 在 Q 表象中沿各基矢方向的分量。量子力学中的 的本征函数 有无限多，所以张成了描写态矢量的无限希尔伯特空间。 2，表象常用：

9. Chapter4.2算符的矩阵表示 一 1， ，算符 以 左乘（3）并积分：

10. 即 其中 为算符 在 表象中的表示。 分别为状态 和 在 Q 表象中的表示。

11. 即算符 在 Q 表象中是一矩阵， 为其矩阵元。简记为 。 2，Q 表象中的厄密算符 （厄密性定义） 转置并共轭： 比较得 即厄密算符 在Q 表象中为厄密矩阵。 3。Q 在自身表象中的矩阵元 可见:算符在自身表象中的矩阵元是一个对角矩阵，并且对角元素就是算符的本征值

12. 值。如 矩阵 ，一维无限深势阱，谐振子，能量表象中 为本征值 。 4,如果 Q 算符的本征值只构成连续谱，本征值 不可数，（如坐标 ，动量 ），则 （积分后 中无 ） 如： 坐标表象 （积分后 无 二，例题 1，求一维线性谐振子的坐标 动量 和哈密顿量 在能量表象中的矩阵表示。 （ 分立谱） 解：以 表示线性谐振子 态的能量本征函数（ ） 有公式

14. 在自身表象中为对角矩阵 本题矩阵元为分立值，写成可数的矩阵元，是由于谐振子能量本征值构成分立谱。

15. Chapter4.3 量子力学公式的矩阵表述 一，平均值公式 简记： 在Q 表象中，以 Q 算符的本征函数系 展开 ：

16. 简写： 二，本征值方程 简记： 同上节步骤，写为

17. 有非0解，所以 称为久期方程 解久期方程可得一组 值： 它们就是 的本征值。把求得的 代入原方程，就 可以求出与 对应的本征矢： 其中 三，薛定谔方程 简记： 其中 是哈密顿算符 在 Q 表象中的矩阵元。

18. §4.4 么正变换 引入：量子力学中的表象的选取随所讨论的问题而定。表象取得适当可使得问题的 讨论大为简化。为此常需要将波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象。变换 的思路完全类同于将同一矢量 在两个正交坐标中用分量式表示，而求两组分量的 关系。所不同的是，态矢量展开表示的两个“坐标系”（即表象）中的基矢分别为力学 量 和 的本征函数系 。 以下按曾谨言导论内容表述，以求简单明了。注意 矩阵定义二者不同！ 一，平面矢量 在两个直角坐标系中的表示 1， 系： 其中 代表矢量 与两个基矢的标积（投影） 2. 系：原系顺时针转 角，基矢 其中 为矢量 在 系中的表示。

19. 3，同一个矢量在两个坐标系中的表示有什么关系？3，同一个矢量在两个坐标系中的表示有什么关系？ 对一式分别用 点乘（取标积）得： 注意，由 表示 ，用 点乘 将（2）改写成矩阵形式： 记为 为将 在两个坐标系中的表示 和 联系起来的变换矩阵。实际上变换矩阵 的矩阵 元正是两个坐标系的基矢之间的标积描述基矢之间的关系。由于矢量就均可表示成各 基矢的迭加，因而 可以变换不同坐标系中的同一矢量 的不同表示。

20. 4，变换矩阵 的性质： 转置 满足（6）式得矩阵为么正矩阵。一个矢量在两个坐标系中的表示由么正变换向 联系。 二，量子态的表象变换 1，任何一个量子态（可归一化），可以可以看成抽象的希尔伯特空间的一个态 矢量，体系的任何一组力学量完全集 的共同本征态 （设为分立谱），可以用来 构成此态空间的一组正交归一完备的基矢（称为 表象） 体系的任何一个状态 用 展开：

21. 展开系数 就是 态在 表象中的表示，它们分别是 与各基矢标积。 2，设有另外一组力学量完全集 ，共同的本征函数 （基矢）记为 ， 量子态 也用 展开： 展开系数 就是同一个量子态 在 表象中的表示。 3，两组表示 与 有何联系？描写同一 态 式中

22. 是 表象基矢与 表象基矢的标积，类似于一（4）式中 。（12）式可写为 矩阵形式： 从 ：已有 求 ， 用 去左乘 构成 。 简记为： （14）式就是同一个量子态在 表象中的表示与它在 表象中表示的关系。 变换矩阵 为么阵矩阵： 在 表象的表示与 表象表示之间为么阵变换。 4，证明 为么阵矩阵

23. 在 表象中为单位矩阵。而单位矩阵在任何表象中均为单位矩阵。 与表象无关。 三，力学量的变换 1，在 表象中（基矢 ），力学量 表示成 设有另一表象 （基矢 ），则在 表象中 表示成（ ），

24. 利用 将 展开： 用 展开 将（20）,(21)带入（19）式可得：

25. 其中 为么正矩阵元，而 分别是力学量 在 表 象和 表象的矩阵表示。 是从 表象 表象的么阵变换矩阵。 注意，此处么阵变换与周书 相反： 四，总结与比较 和 量子态 力学量 表象（基矢 ） 表象（基矢 ）

26. 其中 是从 表象 表象的么阵 变换矩阵 其逆变换为 。（实际上不需要逆变换，只需重新定义 。） 五。么阵变换的两个重要性质。 1，么阵变换不改变算符的本征值： 证：

27. 如果 是对角矩阵，即 表象是 自身的表象，那么 的对角元素就是 自身的表 象，那么 的对角元就是 算符的本征值。于是求算符本征值的问题归结为寻找一个 么正变换把算符 从原来的表象变换到自身表象。使 的矩阵表示对角化。解定态薛 定谔方程就是把坐标表象中的哈密顿量算符对角化，即有 表象变换到能量表象。 2，么正变换不改变矩阵的迹 矩阵在求逆运算下可依次轮换次序，迹不变。