§3 谓词演算的形式证明

1. §3 谓词演算的形式证明 • 一、形式证明 • P(Y)上的一阶谓词演算用Pred(Y)表示 • 定义21.14：称A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5 中的所有元素为Pred(Y)上的公理集。其中： A1={p→(q→p)|p,qP(Y)}； A2={(p→(q→r))→((p→q)→(p→r))|p,q,rP(Y)}； A3={p→p|pP(Y)}。 A4={x(p→q)→(p→xq)|p,qP(Y),xvar(p)} A5={xp(x)→p(t)|p(x)P(Y),项t对p(x)中的x是自由的}

2. 除了MP规则外，还要用一个推理规则，这个规则在以后的论证中常会用到：对任意的x证明了p(x)，则有xp(x)成立。这个推理规则称为全称推广规则，它使得在对一般的x证明了p(x)后，可推出xp(x)。在使用全称推广规则时必须仔细地陈述限制。全称推广规则也称为G规则。除了MP规则外，还要用一个推理规则，这个规则在以后的论证中常会用到：对任意的x证明了p(x)，则有xp(x)成立。这个推理规则称为全称推广规则，它使得在对一般的x证明了p(x)后，可推出xp(x)。在使用全称推广规则时必须仔细地陈述限制。全称推广规则也称为G规则。

3. 定义21.15:设pP(Y)，AP(Y)，由假设A导出p的长度为n的证明是一组有限序列 p1,…,pn，这里piP(Y)(i=1,…,n)，pn=p，而p1,…,pn-1是长度为n-1的由A导出pn-1的证明序列，并且：对所有kn， (1)pkA∪A，或者 (2)存在i,j(i,j<k)，有pi=(pj→pk)。或者 (3)pk=xw(x)，并且p1,…,pk-1的某个子序列pk1,…,pkr是一个由A的子集A0(xvar(A0))导出w(x)的证明(长度小于n)。

4. 如果存在一个由A导出p的证明，则记为A┣p，且用Ded(A)表示满足A┣p所有p的全体。对于Ø┣p，简写为┣p，并称p为 Pred(Y)的定理。 • 例:{xp}┣xp, pP(Y) • 根据定义，xp就是xp。 • p1=xp 假设 • p2=xp→xp A3 • p3=xp p1, p2 MP • p4=xp→p A5 • p5=p p3, p4 MP • p6=p→p A3 • p7=p p5, p6 MP • p8=xp p7 G规则(xvar({xp}))

5. 例: 设yvar(p(x))，且p(x)中的自由变元x不会出现在y的辖域中。证明：{xp(x)}┣yp(y)，这里p(x)P(Y).

6. 定理21.5:(演绎定理)设AP=P(Y)，设p,qP。则A┣p→q当且仅当A∪{p}┣q定理21.5:(演绎定理)设AP=P(Y)，设p,qP。则A┣p→q当且仅当A∪{p}┣q • 证明:(1)由A┣p→q,证明A∪{p}┝q • 存在A导出p→q的有限证明序列 p1,…,pn=p→q， • 由MP规则即得. • (2)若A∪{p}┣q • 对证明序列长度用归纳法 • 其他与命题逻辑类似,主要考虑q=xr(x) • 设A0是导出r(x)的假设集 • (i)pA0 • (ii)pA0

7. 二、等价替换定理与代换定理 • 定义21.16：设p,qP(Y)，若{p}┣q且{q}┣p，则称p,q语法等价，记为p┣┫q。 • 引理21.2:若p┣┫q，则xp┣┫xq • 因为{p}┣q,由演绎定理知┣ p→q,同样有 • ┣ q→p • 然后分别证明{xp}┣xq, {xq}┣xp

8. 定理21.6(等价替换定理):设p,p1,p2P(Y)，p1 ┣┫p2，现在p中将p1的某些(不一定所有)出现替换为p2而得到的结果记为p'，则p┣┫p'。 • 证明:对p在P(Y)中的层次l用归纳法 • l=0,则p是原子公式或p=F, • 因此p=p1,当用p1替换为p2而得到p', • 则p1┣┫p2得p┣┫p',成立 • 对l >0,假设对一切l<k结论成立, • 对l=k,除p=p1这种平凡情况外, • 分以下几种情况 • (1)p=(q→r) • (2)p=xq

9. 定理21.7(约束变元符可替换性):设在p中将xq(x)的某些(不一定所有)出现替换为yq(y)而得到p'(这里yvar(q(x))，且p(x)中的自由变元x不会出现在y的辖域中)，则p┣┫p'。定理21.7(约束变元符可替换性):设在p中将xq(x)的某些(不一定所有)出现替换为yq(y)而得到p'(这里yvar(q(x))，且p(x)中的自由变元x不会出现在y的辖域中)，则p┣┫p'。 • 定理21.8:在P(Y)中有： • (1)p→q┣┫pq； • (2)pq┣┫(pq)(pq)； • (3)pq┣┫(pq)(pq)； • (4)p┣┫p；

10. (5)xp(x)┣┫'xp(x)，这里我们约定：用'和'分别表示和；(5)xp(x)┣┫'xp(x)，这里我们约定：用'和'分别表示和； (6)pxq(x)┣┫x(pq(x))，xvar(p)； (7)pxq(x)┣┫x(pq(x))，xvar(p) ； (8)xp(x)xq(x)┣┫x(p(x)q(x))； (9)xp(x)xq(x)┣┫x(p(x)q(x))； (10)1xp(x)2yq(y)┣┫1x2y(p(x)q(y))，xvar(q(y)),yvar(p(x))； (11)1xp(x)2yq(y)┣┫1x2y(p(x)q(y))，xvar(q(y)),yvar(p(x))。

11. 在命题演算中，代换定理是基于同态映射:P1→P2，这里P1,P2为二个命题代数，如果P1,P2为谓词代数，则根据同态映射的要求，P1,P2应该有相同的运算集，对其个体符集有新的要求在命题演算中，代换定理是基于同态映射:P1→P2，这里P1,P2为二个命题代数，如果P1,P2为谓词代数，则根据同态映射的要求，P1,P2应该有相同的运算集，对其个体符集有新的要求

12. 作业:P423 18,19(1)